Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 86
Текст из файла (страница 86)
3). В сечении 1 скорость равномерна н равна У». Вблизи сечение 2 теченяе все еще параллельно образующим круглой трубы, но профиль скоростей ямеет внд и=У, (1 — — з). Предполагаем, что в срченнях 1 н 2 давление равномерное и равно соответственно рт н рз. Найти выражение, связывающее Уз н У». Зная Ум р, ! н рд †, определить торсор усилий взаимодействия жидкости н огрезка трубы между сеченяями ! и 2. Можно жкпользовзться теоремой сохранения количества двн. щения (П1Д.7). 4. Если аанагн поведения жидкости в системе отсчета Я имеет форму (!2), то каково ег(Я~выражение в другой системе отсчета Я».
Для решения задачй можно воспользоваться результатом, полученным в задаче У.4. Убедиться еще раз в том, что из принципа независимости от выбора системы отсчета следует, что функция К не может зависеть от () н О. б. Закон поведения упругой среды имеет в системе отсчета Я форму (!7). Нзйтн его выражение в другой системе отсчета Я». На основании этого убедиться, что функция В должна удовлетворять тождеству В (РР)=РВ (Р) Р Г для любой невырожденной матрицы Р и любой ортогональной матрицы Р. Проверить, что зто утверждение справедливо тогда н только тогда, когда функция $ (Е) удовлетворяет тождеству (2О) $(Р)=ВВ(%)4(Т, в котором Й!У вЂ” полярное разложение (единственное) матрицы Р: Р=й!Ч.
373 6. Малые упругие деформации ошногительно иргдгариимгьна нилряаггннаго гогшоянил. Используем общую формулу (18) ',г )л в предположении, что среда испытывает .', только малые деформации; положим. (как и в ЧА.1) И=1+в, !У=! и, кроме тога, К(1)=Ег. Показать, что Е=Ег-1-юЕг— "г г — югЕ+К(е), где К [е) — некоторая лиыейная функция тензора з. Выразить зту Рис. 3 функцию через тензор четвертого ранга, выяснить свойства симметрии этого тензора. Рассмотреть частный случай, когда Ее=О. Такой закон линейной упругости может быть использован, например, для описания поведеныя накачанной воздухом шины в колесе автомобиля (и находящейся, таким образом, в состоянви, далеком от естественного), которая во время движения испмтывает лишь небольшие деформации. 7.
Пусть в любой точке некоторой среды, подчиняющейся законам поведе. ння линейной упругости, тензор напряжений представлен тенгором плоских напряжений. Показать, что имеет место равенспю а я — — Х'г „б„з+2ре„б, (1) в котором индексы а, () и у не могут принимать других значений, кроме 1 ылн 2; а' †моду упаугости, который следует выразить через козффнциенты Ламе данной среды (а и р). Какие другие соотношения должны быть выписаны дая того, чтобы получить все формулы, относящиеся к поведеяию среды? Обратить внимание на то, что уравнение (1) полыостью зквивалентно аналогичному уравнению для двухмерной среды, удовлетворяющей законам классической теория упругости.
8. Уравнения Бггыпрами. Показать, что в покоящейся среде, подчяняющейся законам поведения классической теория упругости, поле тензоров напряжений а (х) должно удовлетворять следующей системе уравнений в частных произ- Н водных: 1 т агЛу+)1=0, Ьащ+ 1 Ег,ц+! )а абг!+)1 )+/Лг О. Доказать обратное утверждение. Вторая группа приведенных уравнений называется уравнениями Юегьшрами. Оии могут быть получены, если в решение задачи (Ч,6) подставить соотношения (Ч1,31). 9. Уравнения Нгмгг г теории упругости. Показать, что в покоящейся среде, подчиняющейся законам поведения классической теории упругости, поле перемещений Х удовлетворяет уравыеииям в частных производных (через ) обозначены объемные силы) рхп н+р,+м) хл н+)г-о, которые можно также записать в виде ()г+2Р) бган (б!ч Х) — Р Г01 го1 Х+~= О. Вычислить лапласиан объемного расширения.
Показать, что лоле перемещений будет безвнхревым (го1 Х=О) только тогда, к а поле яваяется потенциальным. Определить в этом случае (го! Х=О) огд сит объемное расширение эь Обратить прежде всего внимание на то, что гг аави от потенциала (у= — йгаб "ро), и получить равенство (и+2Р) э! ="ро. 16. Найти скалярные ннваряанты г (А, п) симметричного тенэора А н век- ра п. Если Л н и соответственно симметричыая матрица н матрица-ст п, опйсывающие А н и в ортонормнрованной системе отсчета, то г можно выразит как скалярную функцию шести перемеыных: 1г(Л) (г(Лэ) (г(Лз) птп птдп птЛгп. (1) Доказать обратное, т. е.
что любая функция ) переменных (1) являешя скаляр- 379 яым ииварвантом тензора А и вектора а. Если Х (А, а) †полип по Компоиен. там тензора А и вектора а, то / †полин относительно шести переменных (1). 11. Определить совместнме скалярные инварианты 1(А, В) двух симметричных тензоров А и В я показать, что функция матоиц А и В, описывающих тензоры А и В в некоторой ортонормироваиной системе отсчета, должна удовлетворять нзоэнтропному тождеству 1 (РАРТ РВРТ) ! (А В) какова бы ни была ортогональная матрица Р.
Показать, что / =!г(АиВЯ] — нзотропная функция матриц А н В, как н всякий полипом А составленный из !мр. Показать, что в трехмерном пространстве такие функции ! могут быть самй выражены в виде полинома относительно 1О совместных инвариантов: !вм 1вм !вв. /гв !м. )вв /ы !ы /вт /вв (1) Можно установить более общий результат: в трехмерном пространстве любой совместный инвариант А являющийся полиномом по компонентам двух симметричных тензоров А н В,— это поливом от 1О совместных инварнантов (1). 12.
Найти функцию Р(А, В) от двух симметричных тензоров А и В, аначеиня которой саин являются симметричнымн тензорами второго ранга. Найти тождество, которому должна удовлетворять матричная изотропная функция Р (А, В), выражающая данное соотношение. Показать, что функция /в!+/вА+/вВ+/вдв+/вВв+/в (АВ+ВА)+/в (АвВ+ВАв)+ +/т (А В в+ ВвА)+/в (АвВв+ВвАв) где / — функции 10 инвариантов (!) в задаче 11, есть матричная нэотропиая функция. Можно доказать обратное, т. е. что всякая функция Р(А, В), компоненты которой — полиномы по компонентам А и В, может быть представлена в виде (1), где все / — полиномы по тем переменным, от которых онв зависят.
13. 6оказать, что совместные билинейные инварианты двух заданных симмырнчных тензоров А н В имеют форму /(А, В)=Св 1г (АВ)+Се!г(А) (г(В). 14. Найти в явном виде законы поведения гиперупругой среды, выражаемые соотношениями (40) и (45). Показать, что 0зо0=(Х+Х'ор 0 +иаы0ы) О!у+()огу0зь+2 (Р+Р'орр) 01)+ + 22 (ога0ь/+ огз0ы) 1Ь.
Рассмотрим гипоупругую среду, заков поведения которой дается соотношением (1) в предыдущей задаче. Кроме того, предположим, что поле скоростей— ато поле чистого сдвига 0,-Я „(/,-(),-О, где с — константа, и что к тому же все о0 равны нулю в начальный момент!=О. Выписать уравнения, связывающие компоненты ог/ и их частные производные по времени. Показать, что ощ н ов, всегда равны нулю. Убедиться в том, что величина о„ является решением дифференциального уравнения второго порядка по времени. Рассмотреть частный случай, когда а=О, Р'=О, у= 1/2 н определить о0 как функцию времени. Дать общую постановку задачи.
ГЛАВА Ч11 1. Ударная мыка е идеальной жидкости. Пусть У, р, р, е, з — соответственно скорость жидкости относительно ударной волны Х, давление, плотность массы, плотность внутренней энергии и удельная энтропия. Убедиться в том, что нз ааконов, которым подчиняются разрывы при переходе через ударную волну, следует, что относительная касательная скорость остается непрерывной (о †положительная нормальная составляющая относительной скорости) и имеют место соотношения р+и+=р-и- =ш, р+ — р =аз (и- — и+), о+2 и" з Ь++ — =Д + —, з+ — з-)О, 2 2 где й=з+рр-з — удельыза энтальпия. Полагая ч р а — удельный объем жидкости, вывести соотношение Гюгонио: е+ — е-+ — (т+ — г )=О.
р++ р- 2 (1) Предположим далее, что имеем дело с идеальным газом, обладающим посто- яыными удельными теплоемкостями, для которых (ПП1, (21)) ?ггт=ехр(з/С„), где Со и у — постоянные, причем 1 < у~ 5/3. Построить в плосности (ч, р) график кривой, являющейся геометрическим местом точек (т+, р+), когда ч- и р предполагаются известными. Показать, что р+ ) р- н что, следовательно, при переходе через ударную волну давление растет. Показать также, что р+)р-; Те)Т- (Т вЂ” абсолютная температура). И ыаконец, обозначая через с скорость звука, установить неравенства о+ ив ~1, — ~1.
с+ ' с- 2. В трубе, образующие которой параллельяы осн Ох, перемещается поршень с постояыной скоростью У. Ударная волна Е распростраыяется также равномерно со скоростью 3'. Ударная волна отделяет зону !, в которой покоящийся гаэ с плотностью рз находится под давлением рз, от эоны П, где гаэ с плотностью р движется со скоростью У под давлением р.
Предполагаем, что имеем дело с идеальным газом, обладающим постоянной удельной теплоемкостью. Для реше- ния полезно использовать результаты предыдущей задачи. 1'. Полагаем скорость йт известной. Показать, что йг ограничена снизу не.
которой величиной (дать ее физическую интерпретацию). Найти затем р, р, У, предполагая ПГ известным, 2'. Как вычислить 27, если известна скорость У? Показать, что йт — возра- стаощая функция У. 3'. Пусть некоторое тело поступательно перемещается в идеальном газе, заключенном в изолированный сосуд, с постоянной удельной теплоемкостью. В любой момент времеыи равнодействующая сил, с которыми жидкость действует на тело, по предположеыию, коллинеарнз скорости У и направлена в противо- положную ей сторону.
Именно зто лобовое сопротивление др считаем известной функцией от У. Среда покоится перед началом движения (момент (д) н в конце движения (момент Гз). Показать, что если Тз и Тэ †начальн и конечная тем- пературы газа, то имеет место равенство Т =Тэехр(С 1 Т б(). 4. Для определения термодинамическнх функций жидкости принимаем за термодинамические переменные абсолютную температуру Т н давленые р. Пусть т, з, й †удельн объем, плотность знтропии н плотность энтальпии соответ- ственно (Л=з+чр, где з †плотнос внутренней энергии).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
