Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Показать, что В С (Ьэ — гэ) (1 — 2а (соэ ~р/г)), где С вЂ” подлежащая определению постоянная. Какие точки первыми достигают преяела упругости, когда крутящий момент возрастаету Определть максимальное значение крутящего момента, который можно приложить, не превышая предела упругости. Каково предельное значение этого момента, когда Ь стремятся к нулю? (Оно равно половине крутящего момента для круглого вала беэ желоба.) 6. Кручение цилиндрической трубы. Поперечное сечение ограничено концентрнческимн окружностями радиусов а и Ь (Ь < а). Показать, что жесткость на кручение равна 1/2яр(аг — Ьг). Каков максимальный момент, который можно приложить не превышая предела упругостну В.
Иа решения задач нз кручение видно, что сечения вала (первоначально плоскне е естественном состоянны) принимают внд нэогнутоА поверхности, причем линиями уровня являются лнння 9 сопэ1. Изучыть форму втой поверхности для случаев, когда поперечное сечение †элли н равносторонний треугольник. Изучить длн этих двух случаев ляынн В сопз1 (онн касаются вектора напряжения на площадке с нормалью еа). 7. Кручение вала, имеющего форму тела еращенив.
Пусть ось вращения совпадает с осью хз, перемещение точкн М нормально меридианальной плоскостн, проходящеА через М, н его велнчина о зависит только от расстояния г точки М от осн хз н от координаты «з. Вычислять компоненты тенэора напряженый в функцыи от о(г, «э). Показать, что существует функция Г(г, хг), 392 удовлетворяющая соотношению (д (о) д(о) ) Найти для г" уравнение в частных производных. Пусть (С) — меридиан вала; показать, что г постоянна вдоль (С). Определить торсор усилий, приложенных на двух концевых гранях вала «э а и «э= Ь (О < а < Ь).
В случае вала в форме усеченного конуса (С) является отрезком прямоА, проходящей через начало координат и составляющей угол сс с, осью О«з; показать, что здесь можно прянять « =!(9), где «зк=г, Определить функцню г (к) н провести в этом случае полное исследование задачи. (Показать, что [()-.((~+В ' — 3О+В "~, где с-постоянная.) 8. Рассмотрим тяжелый уиругий цилиндрический вал. Образующие вала параллельны оси «э, которая направлена вверх по вертикали. Основание вала ЕГ в плоскости «э=( жестко заделано в неподвшкный потолок. Основание Ез в плоскости «э 0 н боковая поверхность Еэ вала — свободные.
Обозначим через ([ плотность силы тяжести. Определить поле напряженнА. Для записи условий закрепления вала испольэовать принцип Сен-Венана и затем рбеднться в том, чго тензор напряженкА в любоА точке вала является тензором чистого растяжения. Определить поле перемещений к найти форму, которую принимает цилиндр под действием собственного веса. (Убедиться, в частности, что основание Ее принимает форму параболоида вращения.) 9. Рассмотрим покоящуюся упругую среду, для которой выполняются типо. тезм классическоА теории упругости. Среда занимает некоторую односвязную область Я. Будем считать, что известны: а) обьемнме силы гг внутри области Е; б) поле геометрических перемещений Х! на связноА части Е гранипм дЯ, определяемое заданным торсором (Ь); в) в любой точке части, являющедся дополнением Е до границы д5, известны некоторые характеристнни величин Р! или Хь удовлетворяющие условию локальной регулярности.
Презполэгаем далее, что задача имеет единственное решение. Показать, что поверхностные силы г! на Š— аффинные функции элементов приведения торсора (Ь) в некоторой точке. То же очевидно, справедливо н для торсора [(г'[, определяемого поверхностными силами гь Выявить смысл коэффициентов аффинных функций, которые описывают данную зависимость. Рассмотреть эту задачу для случая, когда пункт б) записывается так: на части Е перемещения определяются некоторым заранее не заданным торсором, а поверхностнме силы определяют некоторый известный торсор [ф'[. Условия а) и в) остаются бев изменения.
Показать, что в таком виде задача имеет одно н только одно решение. 10. Попытайтесь сформулировагь на основе примера, рассмотренного в задаче 9, общее определение регулярной задачи, которая необязательно является локально регулярной. 11. Рассмотрим упругий массив, занимающий яолупространство 8 с высверленной полусферой «э ~ 0 г Рь ) (гз «\+«э+«з) Объемные усилия [; по предположению равны нулю. Часть граничной поверх. ности, задаваемую соотношениями «э=О и г > й, обозначим через Ег.
Другую частьграиичнод поверхности, представляющую собой полусферу г )1,— через Е9. Пусть Х=дгай6. Показать, что функция Π— гармоническая. (Можно испольэовать результат, полученный в задаче У1,9.) В точке Р поверхности Е надти компоненты поверхностных усилий )г„и компоненты усилня )г9 в точке ([ полусферы Еп в виде функции «г и производных от О. Рассмотреть, в частности, случай 0 а!оя («з+г), где а — некоторая постоянная. Показать, что торсор усилий, приложенных на Еф, эквивалентен торсору, определяемому одной равнодействующей силой 4Г"=4праиэ.
393 12. В массиве Я, о котором идет речь в предыдущей задаче, поле перемщ щений задано формулами: Кт=йлз, Кз=й,эз, Лэ=й.зз — лба, где я — фуикпдя переменных хь кз, хэ. Найти значение постоянной а. Найти компоненты усилий Рр и РО как функций переменнмх кг и производных от я. Рассмотреть случай я=()г (() некоторая постоянная). Убедиться в справедли- вости равенства Р бр я (()) ( () бй+ (бр О- ~ Р й+„ 13. Используя результаты задач 11 н 12, определить в массиве Я поле пере- мещений в предположении, что Рр=О на Е, и что усилия, приложенные к ЕО, определяют торсор, эквивалентный торсору силы Я'=Аеэ (А †некотор извест- ная константа).
Рассмотреть переход к пределу при )т — 0 и объяснить физи- ческий смысл полученного результата, 14. Исследовать условия равновесия цилиндрического резервуара, ограни- ченного двумя цилиндрами, раднусм которых а и Ь (а < Ь), Применив для етого метод, описанный в Х.1.7. Предполагается, что перемещение происходйт строго в радиальном направлении. Внутреннее давление обозначаем через Р. О авель В В ЗА В п=А — —, а=А+ —, в= гэ' " гэ' 2(ЗК+р) 2р ' г+ — г, где (Ьэ — аэ) А = Рлэ, (Ь' — аз) В РаэЬз. 1З.
Рассмотрим предыдущую задачу, предполагая иа этот раз, что внешняя поверхность г Ь болыпого цилиндра имеет подкрепление из упругого материала, такое, что действующие на поверхности усилия пропорциональны перемещению. Принять Ьо,(Ь)= — п4(Ь), где т — некоторая постоянная. Определить перемещения и поле напряжений в резервуаре.
Рассмотреть частные случаи и=О н ш ээ и интерпретировать полученные результаты. Ощзещ. Ответ тот же, что и в задаче 14, если постоянные А и В определить из равенств (Ьэ †) А = Ра' (1 — б), (Ье †) В = Раэ(Ьэ — атб), где Ь = (ЗК+4р) Ьэт (2р (ЗК+ р) (Ьэ — аэ)+ш ((ЗК+р) а'+ ЗРЬэ)) -т. 18. Имеется сферический резервуар (г~р~Я) из вязкоупругого материала, модуль релаксации которого прн объемном расширении — постоянная величина, а модуль релаксации удлинения при чистом растяжении описывается трехпараметрической моделью.
Найти изменение радиального смещения сферм в двух следующих случаях (Р— внутреннее давление): а) Р(()=0 пви ( < 0 и пви Г > (э, Р(()=Р,сопз( пРи 0 < 1< Гэ; б) Р(1)=0 при 1 < 0; Р(()=Р,зщы( прн Г > О. 17. Сферический резервуар составлен нз упругой оболочки (а~р~)7) н сферического слоя (г(р~а) из вязкоупругого несжимаемого материала, модуль релаксации удлинения которого при чистом растяжении опнсмвается трехпараметрической моделью. Внешнее давление равно нулю (при р) В), а внутреннее Р (Г) известно. Предполагается, что оболочка и сферический слой плотно прилегыот друг к другу, так что перемещения непрерывны. Укажите путь решения аадачи. Найти решение в явном виде для некоторых характерных частных случаев. 16 Вернемся к рассмотрению цилнндряческого резервуара, о котором идет речь в задаче 14, предполагая на зтот раз, что среда †вязкоупруг.
Предположим также, что модуль релаксации при объемном расширенни К вЂ постоянн величина, а модуль релаксации при сдвиге дается трехпараметрической моделью р=р +(ре — р )ехр( — -). Найти перемещение $(г, 1), полагая, что внешняя поверхность (г з) по-прежнему свободна, внутреннее давление Р прн Г < О, а при Г > 0 принимает постоянное значение Рэ. Показать, что существует два характерных времени Ог и 0 . Определить их.
Найти для общего случая (г=ьО), когда внутреннее давление представляет собой известную функцию, выражение для $, яспользуя для этой цели функции Е (ь) и Х (ь), характеризующие среду. 19. Обобщить результаты предыдущей задачи на случай цилиндра с подкреплением, рассмотренным в задаче 15, Найти напряжения при следующих условиях (Р=О при Г < 0): а) Р Р, при 1~0;б) Р=Р,з!пв( при 1>0(в последнем случае уточнить основные (преобладающие во времени) значения при 1- еэ). 20. Резервуар 5 имеет форму цилиндрической трубы, высота которой равна Ь, внутренний радиус л, внешняй Зл.
Внутренний цилиндр закрыт круглыми пластинками Рд и Рэ. Обозначим через Ег и Хг граничные поверхности (кольца) трубы в торцах. Объемные силы равны нулю. Внешняя поверхность (г Зл) свободна от усилий,,внутренняя же поверхность и торцы находятся под действием равномерно распределенного нормального давления рр (давление газа в резервуаре), а на торцы трубы действуют нормальные усилия, коллинеарные оси Ог, среднее значение которых Е таково, что их результирующая равна 9пагЕ, Предполагаем далее, что среда — однородная, изотропная и несжимаемая и что можно применить гипотезу о малых возмущениях и о квазисгатичности процесса.
Радиальная составляющая йеремещений любой точки трубы и (г, 1); перемещение по оси в (г, г), Показать, что из условия несжимаемостн следует, что а(1) аг и= — — г+11(1) —, в=а(Г) г, 2 причем функции а, (1, у зависят только от времени 1. Предполагая среду упругой (Š— модуль Юнга среды), найтя поле напряжений и поле перемещений. Олм ель Р l йоэ'1 Р Т йлг ~ ОЕ+Р о = — !ь1 — ?1, оэч — ~1+ — ), ог 2?Р лэ 9Р 9)? и= — — — г, вне — г 1ОЕ г 16Е ' ЗЕ 21. Форма резервуара та же, что и в предыдущей задаче, но труба наго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
