Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 88
Текст из файла (страница 88)
задачу ЧП,О). акое представление поверхносгн текучести приходится использовать в случае, когда граница дб области а имеет «ребра» илн «вершины». 16. Убедиться в справедливости результата, приведенного в конце ЧП1.3.3: если в некоторой упругопластнческой среде, подчиняющейся критерию Треска, главные направления напряжений параллельны координатным осям, то в качестве дисснпативной функции можно принять выражение В[), = ф ((1)„[+~ пр, [+~ пй,[[, в котоРом пеРеменные ЮР„!)Гв, Рй УдовлетвоРЯют Условию пластической Яесжн. маемости Щ= О.
Для того чтобы убедыться в справедливости данного утверждения, следует прежде всего обратиться к результату, полученному в предыдущей задаче. Затем, отталкиваясь от выражения Я)в, можно проверить, что соответствующая ей область 6 определяагся именно ыераненствами (Ч1П,114). Показать на этом примере многозначность соогветствия между напряжениями н скоростями пластическик деформаций. ГЛАВА 1Х 1.
Жидкость содержится в резервуаре, одна яз стенок которого а — плоская. Свободная поверхность, как н сам резервуар, находятся в контакте с атмосферой. Определить суммарную силу Р, которая действует на эту стенку, и точку пере. сечения линией ее действия. Обозначая через г расстояние от свободыой поверхности, показать, что сила Р =рйгаА, где А †плоша поверхности а; га †высо центра инерции стеыкн.
Показать также, что если гр — расстояния упомянутой выше точки пересечения от свободной поверхности, то Агагвр = г'б . ге Рассмотреть частный случай, когда плоская стенка а горизонтальна (дно резер. нуара), когда а †прямоугольн, две стороны которого горизонтальны. 2. Рассмотреть равновесие жидкости в сосуде, который равномерно врмцается вокруг горизонтальной оси. 3. Найти давление, плотность и температуру адиабатно равновесной атмосферы. [По предположению, энтропия постоянна и, следовательно, р=йрт где, у †показате адиабаты (П1!1.4.3).) 4.
Исследовать равновесное состояние атмосферы, температура которой из. меняется по закону Т= Тв~/1 — Ьгв. 5. Показать, что силы давления, равномерыо распределенного по поверхности 5, ограниченной плоской кривой С, образуют одновекторный торсор. Найти линию действия и модуль суммарного вектора. 6. Применим результаты, полученные в 1Х.2.3, к стационарному течению в вллнптыческой трубе (полуоси ав и ав). Требуется найти распрелеление скоростей и количество протекающей в единицу времени жидкости (дебит). Рассмотреть предельный.
случай, когда ав бесконечно растет (ав=сопз1). (Проверить, что функция а пропорциональна выражению авва» в†аввг⠻†ав.) Сравнить дебит труб различных эллиптических сеченый, площадь которых равна площади сечения некоторой ззданыой круглой трубы. Олмеш. Искомый дебит. () пР ав ав 4Р аз»+а»в ' 336 7. Исследовать прямолинейное стационарное течение в трубе с кольцеабраз. ным прямым сечением, ограниченным окружностямя с радиусами а и Ь (а < Ь).
Найти дебит. Оюаеш: г и г= —, и= —, Яд ' ид Я= — В!=в дд'д йд ид )гд и и= —, р=— ид ' рид а~)! 11, , юд — —, (1= ид ' 1)д' где р и ч — соответственно плотность и кинематнческая вязкость жидкости. Написать систему дйфференпиальных уравнений, решения которой — функции и(г), и(г), р(г).
Воспользоваться формулами, приведенными в П 17.1. Найти значения функции и(г) н о(г) пря г=! и г=)!. Найтя и, как функцию ид и А'. Показать, что и= — и= — +Вгд+®, р — р = — — — + гз (д+®+ — г 1 А 1 Ад+1 Ва 2АВ иэ 2 гз 2 (1 +лд) где ре †произвольн поегоянная; А и  †постоянн, определяемые через )1, Юд, Я, Й.
Исследовать предельный случай, когда Я, ю, и ь) остаются фиксированными, а вязкость т стремится к нулю. Построить, нанрнмер, график функции и(г) для очень малого значения т. Перечислить все течения идеальной жидкости, удовлетворяющие условиям данной задачи (вращение цилиндров, известные приток в расход лшдкости, осе. симметричность течения). Интерпретировать результат.
36У 8. Рассмотреть теченне, описанное в 1Х.2.3, для случая, когда сеченне— равносторонний треугольник со сторонами, равнымн а. (Убедиться в том, что функция и для внутренней части треугольника представляется полиномом третьей степени.) Показать, что дебит равен Зд)~ Раа)3Щ.
9. Рассмотрим течение Пуазейля в круглой трубе в предположении, что би условие прилипания заменяется условием и= — )д — . (В 1Х.2.3 рассмотрен дг' случай а=О. Данное условие было использовано в некоторых работах; )д про. порциоиальна козффицненту вязкости.) Найти для этого 'случая распределение скоростей и (г) и дебит 5. Показать, пВдр / 4!д'д что 3= — ~1+ — 1. Показать, что при этом торможение струй жидкости =ОД ~ г). стенками трубй слабее, чем в случае прилнпания. Сравнение с экспериментом показывает, что при обычных условиях ограничение )д=О лучше других соответствует наблюдаемым результатам. 10. Рассмотрим плоскопараллельное стационарное течение вязкой несжимае.
мой жидкости между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами (имеется приток и расход жидкости). Обозначим радиусы цнлиюдров через Йд и Йз()(д < Йд); ()д и Яд †соответственно угловые скорости внутреннего (Г,) и внешнего (Гд) цилиндров; г †расстояние М от оси; и и и — составляющие скорости в точке М соответственно по направлению ОМ и по перпендикулярному ему направлению; р — давление в точке М; ид (ид > 0) — заданное постоянное значение й на Гд (приток жидкости через границу Гд); из(из < 0) — постоянное значение, которое и принимает на Гз (расход жидкости через границу Гд). По предположению, течение симметрично относительно общей осн цилиндров Г, и Гд в, следовательно, функции й и и р зависят только от переменной г. Чтобы упростить обозначения, введем безразмерные величины: Следует прежде всего заметить, что при малых и вблизи внешнего цилиндра существует пограничный слой толщиной О (Й-з).
С другой стороны, существует лишь одно течение идеальной жидкости, являющееся предельным случаем тече. ния вязкой жидкости при стремлении вязкости к нулю. В самом же общем случае такое течение не может быть найдено только из уравнений Эйлера и соответствующих граничных условий. 11. Найти распределение скоростей в прямолинейном стационарном течении несжимаемой вязкой жидкости между двумя коаксиальными круговыми цилиндрами, когда при постоянном давлении внутреннн й цилиндр фиксирован, а внешний движется поступательно вдоль оси цилиндров со скоростью (). Опалю. Пусть радиусы циляндров равны Их и )гз(йх < кз), а г — расстояние точни а от оси.
Тогда распределеняе скоростей дается формулой !ой г — !ой )1, и= () !ой )(з — !ой )1г ' 12. Решить предыдущую задачу для случая, когда оси цилиндров не совпадают. Олмеш: Если выбрать оси и длину с, стем чтобы, полагая $ = йгй(п з 2с$ определить область между цилиндрами неравенствами зг < зз < зз, а граничные поверхности — уравнениями з=$~, з=зз ($, > О), получим следующее распреде. ление скоростей; 3 кз =и 13.
Исследовать прямолинейное стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости в трубе, у которой сечение ограничено дугамн двух пересекающихся окружностей. Рассмотреть случай, когда один из двух кусков цилиндрических поверхностей трубы движется поступательно со скоростью У, другой остается неподвижным. Найтн диссипативную функцию. Что можно сказать о значениях интеграла этой функции по прямому сечению? Ошзелк Выберем оси я данну с так, чтобы точки внутри трубы определялнсь сз — х' — у' а — сгз неравенствами а, < и < аз, где гх агс!й; тогда и=У вЂ”.
2у аг — а,' 14. Поле скоростей движущейся жидкости, кннематнческая вязкость кото. рой равна ч, задзегся уравнениями У,=и(хз, (), Уз=О, Уз ю(хз, Г). Объемные силы равны нулю, а давление ие зависит от хз. Показать, что функция ю— постоянная величина. По предположению, жидкость занимает пространство хз > О. При бесконечном увеличении хз величина и стремится к некоторой заданной функции у (г), так как частные производные ди/дхз и дзи/дхз устремятся к нулю. Жидкость омывает неподвижную плоскую пористую стеаку, через которую происходит равномерная откачка таким образом, что при ха=О имеем и=О, ш= = (йг †2à †некот константа).
Показать, что и (хз, Г) является решением уравнения в частных производных: ди ди бр д'и — )У вЂ” = — +ч— д) дхз бх дхз Определить течение в предположении, что оно стационарное, т. е. (г(1) =уз. Изучить поведение течения при ч — О. Показать, что вблизи стенки существует пограничный слой толщиной 0(ч). 1б. Решить пРедыдУщУю задачУ длЯ слУчаЯ, когда У(г)=уз(!+асозв(), и цокаешь, что существует решение вида и й (хз)+а (( (хз) соз ыг-)-у (хз) з1п ю!]. Найти функции й(хз), )(хз) а)хз).
Для удобства вычислений можно ввести й(хз)=((х) — !я(хз) и построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Д(хз). Интерпретировать результат. 388 18. Повупространство ха~0 наполнено вязкой несжимаемой жидкостью, кинематнческая вязкость которой ч. Жидкость смачивает стенку (язв - О), которая гармонически колеблется вдоль осн хг по зенону Уэсозей где е — заданная приведенная (круговая) частота. Влиянием объемных сил можно пренебречы давление полагаем постоянным, а скорость на бесконечности — равной нулю. Показать, что поле скоростей, компонент У, которой дается выражением Уз = и= Уз ехр ( — ахэ) соз (ю( — бхз) удовлетворяет всем поставленным условиям, есле выбрать подходящие значения постоянных а н Ь. Исследовать профиль скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
