Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Проверить, что дм 1 дЧ' д(р 1 ЗЧг дг гзз!и В 38 ' дВ з!и В дг Построить систему уравнений в частных иронзводных второго порядка, которым удовлетворяют функции ~р(г, В) и Ч'(г, В). Показать, что функции Р ! К созВ Ф= — — 9= 4п г' 4п гз определяют осесимметричные течения, которые называют (по причинам, которые выясняются ниже) источником с дебитом Р и диполем в начале координат с моментом К и осью Ох. Найти в каждом случае функцию тока и начертить линни тока в меридиональной плоскости. Оиямщ. В случае источника: Ч'= — (Р/4л) соэ В. В случае диполя: Ч'=(К/4м) зща В/г.
П. Показать, что течение, описанное в 1,1.2 и в задаче (1,1), определяется комплексным потенциалом /(з) = Уз (з+/?э/з) (см. задачу 14). Таким образом, такое течение вокруг цилиндра представляет собой суперпоэицию равномерного движения и днполя. Точно так же показать, что осесиммегрнчное течение, задаваемое наложением равномерного движения и диполя согласно уравненяю Кз 1 р=У, зВ[г+ — „~, 2г представляет собой течение вокруг сферы радиуса /?. С этой целью найти функцию тока.
Каково значение Уе? Йачертнть линии тока в мерндвональной плоскости. Найти в каждой точке сферы 4 абсолютную скорость (4=3/2Уез!и В). !8. Показать, что в случае несжимаемой среды скорость изменения удельной энергии внутренних усилий (1т/.3.3) не зависит от среднего напраження. !9. Идеалъная жидкость представляет собой среду, у которой тензор напра. жений — шаРовой (ог/= — Рббь Р— давление). Показать, что скоРость изменениЯ энергии внутренних усилий (1У.З.З) равна — р бт/бй где т=р-т — удельный объем среды.
Предполагаем, кроме того, что процесс — адиабатный (г=О, 4=0). Каково изменение внутренней энергии некоторой движущейся области !9 эа промежуток времеви !з — Гь если давление р остается постоянным в любой момент времени !т а. Г ~ /э? Показать, что в адиабатном процессе, когда р — известная функция т, удельная внутренняя знергия также является функцией г.
Исследовать случай, когда р Ат-т, где А — положительная константа, а у — некоторое число, большее единицы. 20. Если величина а терпит разрыв при переходе через ударную волну, то вводятся следующие обозначения для скачка а и среднею аначения величины а: от+о* (а) аэ — аь и= —, 2 где а, и аэ — значения а перед и ва фронтом ударной волны. Показать, что формула для скачка произведения двух величин имеет внд (аЬ) а (Ь)+(а) Ь. Используя этот результат и соотношения (1Ч,Зо/ и (1П,13), показать, что щ (е) Т! (Гг).
(1) Если, кроме того, тепэор напряжений — шаровой (оР— рй!/), то показать, что в этом случае (2) (Тц1, Т~з> У= Г Т!'! Т!э! да. )и 0 Ц Дать механическую ннтерпретацню Е(Щ, 0(Я) н скалярного произведения. Показать, что Е(И) тождественно векторному подпространству йТ(Я), образо. ванному иэ элементов. ортоговальных всем элементам 0 (Я). 23. Используя символику предыдущей задачи, обозначим через Е оператор, ставящей в соответствие некоторому пото»( из йТ(Щ поле тенэоров Г.ф, с компонентами еыеег дт,ьн Показать, что если одно из полей Тм> или ) тождественно равно нулю вне некоторого компактного множества, содержащегося внутри И, то имеет место равенство < Тв, Е(Т<и» > < Е(ты), (Тм) >. Обозначим через Е(Щ пространство значений оператора Ь.
Показать, что Е(Я) является подпростраиством Е(Я) (см. задачу П1,24) н что если 0 — одни нз злементов 0(Я), то Ь(0)=0. (Найденное соотношение, называемое ураенснием соеместности, будет непосредственно доказано в Н.4.4.) Показать, что Е тожлественна Е.
(Приходим, таким образом, к результату, полученному в задаче П1,25.) 24. Случай, «огда енутренняя энергия не валяется аддитиеной. Примем еле. дующую гипотезу. Пусть ч и Я вЂ д внутренние части нэ Е с непересекакхцимися замыканиями, тогда существует функция р(М, Р), такая, что от части ий к части 2) поступает приток теплоты, определяемый в любой точке Р из Я объемной плотностью ю (Р): ы( ) ) „2Р(М Р) ба= $ ~Р(М Р) йаж. (е)+Р ( г) = О, где т=р-г — удельный объем среды.
Соотношения (!) н (2) называют соотношениями Гюгонио на ударной саяне. 21. В данной задаче требуется показать, что при некоторых предположениях иэ уравнения сохранения энергии можно получить уравнения сохранения массы н количества движения. Записав уравнение сохранения энергии. в виде — р (е+ — 010!) Йс=~ )10! йа+~ т101 йа+~ 4 йо+~ г йо, (1) предположим, что прн наложении на поле скоростей поля торсора У! = 01+е0аыуяа+ уь Ф в котором ы) и у! †произвольн константы, величины р, е, Тн д, г не меняются (ре=р, е е'...), равно как н комбинации)! — руу)г — реу~ =71 — руь Выяснить, используя концепцию объективности, фиэнческйй смысл данной гипотезы и, в частности, последнего равенства.
Показать затем, что закон сохранения знергин (!) — обмкяиынмй закон, т. е. остается в силе для велвчнн, отмеченных звездочкой (ре, ее, ...), тогда н только тогда, когда выполняются законы сохранения массы и количества движения. (Подстановка в уравнение (1) выраження (2) при ы) 0 приводит снова к закону сохранения массы н соотношению для главных вшггоров, вытекаощему нз основного закона. Подстановка выражения (2) при У!=О приводит к соотношению между главнымя моментамн, также вытекающему из того же основного закона.
22. Обозначен через йр'(И) — векторное пространство симметричных тенэоров, заданных н по меньшей мере трижды днфференцируемых в ограниченной области Я; Е(٠— векторное надпространство нэ Я (Щ, состоящее из полей, дивергенция которых равна нулю; 0 (٠— векторное надпространство нэ у (Я), включающее поля, равные симметричной части градиента векторного поля, равного нулю вне компактного множества, находящегося внутри Я. Определим, наконец, скалярное произведение полей Та( и Т~е! иэ у; полагая (в очевидных обозначениях): 373 В этом случае функция р(М, Р) представляет собой объемную плотность скоросты прнтока излучаемой теплоты.
Предположим, что радиационный теплообмен можно прибавлять к теплообмепу, о котором говорилось в главе 1Ч. Показать, что скорость притока теплоты, получаемой частью ~9 нз 5, в этом случае записывается в таком виде: О= — ~ х41лг+~ гбе+~,боп ~ й,р(М, Р) беж, где Яе — дополнение честя 15 до снстемы Е. Найти также выражение для мощности внешних воздействий, приложенных к )Я) в случае, когдз существуют снляя внутреннего вззнмодействня нз расстоянии (определенне дано в задаче П,29).
Выписать равенство, относящееся к первому началу термодннамнкя, я убедиться в том, что скорость возрастания внутренней энергнн Е (Ж)) = б/Й1(Е (Ж))) не является больше аддитнвпой функцией множестве. Положнть в этом случае т) (Л()) Е(Ю)+~ бел ~ (р(М, Р)+ Ц(Р) йг(М, Р)) бэ,ц. Показать, что з)(12)) — зддитпвная функцня множества. Далее, если предположить, что ! Е(Ю))~С$'з(Ю), где $о(ж)) — объем частн 1к), з С вЂ” положительная константа, не ззвнсящая от 12), то можно показать, что существует функцня е (М), определенная в 3, для которой т)(~9)=$ е(М)бо. Велнчнна е(М) равна скорости нзменення объемной плотности внутренней эпергнн.' Обосновать такое название п выяснить физический смысл данной величины (нногдз говорят, что з) (٠— здднтнвная часть скорости изменения внутренней энергия). Предполагая, что г (Р)=г(Р)+~хр(М, Р)азль показать, что уравненне (31) можно обобщнть, записав локальное уравненне зпергнн рбе/бт=огу()Π— бпг+гэ.
(Для докззательства этого вмвода обратнться к решенню задачи Ш,29.) ГЛАВА Ч 1. Пусть аы а„аз — координаты некоторой частнцы в момент временн 1=О. В момент времени 1=1 частица занимает положение х,=а,+Фаз, хе=аз, хе=аз. Пусть АВСР— квадрат, стороны которого равны цй н параллельны воср. дннзтным осям в конфигурация Ез. Предполагаем, что велнчяна г) бесконечно мала.
Найти тензор дплзтацпн С в моменты времепп от 1=0 до 1= 1. Определвть его собственные значения п главные направлення. Найтн также собственные значения п главные пзправлення тензора В. Полностью Фжследовать вид деформированного квадрата АЕСО в момент Г = 1. Определить правый тензор расшнреннй, найти его главные направления н собственные значення, а также компоненты матрнцы вращений Еы. Найти тензоры дерормацин Грина — Лагранже н Альмансн — Эйлера.
2. Обозначим через Е1, Еы, Ею н Ьь Еп, Ьы1 элементзрные ннварнанты тензоров деформаций Альмзнсн — Эйлера н Грина — Лагранжа. Показать, что еслп У=де((Р), то Уз 1+2(.~+4(.п+8(.гм, Х э=1 — 2Е~+4Е~~ — 8Епп 3. Показать, что выражение (1Ч,19) может быть тзкже записано в виде Ягд,=ззуззрчОр,, 874 Получить соотношения совместности (58, обратив внимание на то, что выражение Аг дкг является полным дифференциалом некоторой функцнв тогда и только тогда, когда згг згы?(~ „-— О. Йайтн формы (56), (57) соотношений совместности.
4. Обозначим через У, О, й соответственно поле скоростей, поле тенэоров скоростей деформаций н поле матриц угловой скорости, наблюдаемые в некогорой системе отсчета Я. Найти значения Пь, Оь, Яе, овнсываюпше то же движение в другой системе отсчета Я'. Относительное движение обеих систем дается уравнением хе=се+Рх, где сь(1) н Р(О являются соответственно известными матрицей столбцом н ортогональной матрицей, зависящими от времени Д 5. Показать, что в плоскопараллельном движении ненулевые компоненты тензора скоростей деформаций связаны только одним соотношением совместности.
Получить это соотношение непосредственно (см. задачу (Ч, 9). 6. Показать, что соотношения совместности, иэ которых следует, что матрица еО(кь кз, кэ, Г) может представлять поле теизоров малых деформаций, могут быть записаны в виде ЬеО+ец Π— (эг» у»+е?» ы) О, где Ь вЂ” лапласнан; з~ — первыА элементарныА инвариант. За исходное можно взять, например, выражение (56) для еО и провести суммирование по двум индексам.
7. Найти саммй общий вид стационарного плоскопараллельного движения несжимаемой жидкости, при котором в каждой точке направления осей координат являются главными для тензора скоростей деформаций. 8. Показать, что в кюкдой точке движущейся сплошной среды в данный момент времени существует по меньшей мере одно направление, остающееся неподвижным (во времени). Если угловая скорость частиц в окрестности рассматриваемой точки равна нулю, то существуют по меньшей мерв три таких -взаимно ортогональных направления. 9. Какому уравнению в частных производных должна удовлетворять функция ~р (кы «з) для того, чтобы тензор с компонентами еы =~р,,~р, у был тензором скоростей деформаций некоторой находящейся в движении сплошной среды? Найти главные направления н скорости главных относительных удлинений этого тензора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
