Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Установить соотно- шения дз 1 дй дз 1 /дб ~ дй дт — — — — = — ~ — т~, — =т — Т вЂ”. дТ Т дТ' др Т~др )' др дТ' б. Два отсека трубы, изолированной от внешней среды жесткими адиабат. мыми стенками, разделяются друг от друга также адиабатной диафрагмой (рнс. 6). Отсеки наполнены идеальным газом, плотность внутренней энергии которого з (Т) выражаем как функцию рз(уз ЮР температуры. Давление в обоих отсеках одинаково, но температуры Т, и Т, различаются. Обозначим массы — ч- газа в отсеках соответственно тт н тз.
Не добавляя )У энергии или теплоты внутрь трубы, убираем Рис. 4 331 диафрагму. Как рассчитать конечную температуру, которую будет иметь газ после того, как установится ! 2 равновесие? ()гдельная теплоемкость постоянна.) 8. Вернемся к задаче б. На этот раз предполо. жим, что объемы отсеков и массы наполняющих их газов равны. Пусть ры Таире, Тз — давленияитемпеРис. б ратуры в соответствующих отсеках. Требуется най- ти изменение энтропии газа в трубе, когда после снятия диафрагмы(жесткой ы теплонепроницаемой) установится равйовесие.
Предполагаем, что газ †идеальн, удельыые теплоемкости †постоянн. Рассмотреть следующие два случая: 1) р,)рз (Опыге. Аэ МСр!ой ' ); (Тт+ Т»)з~. 4ТтТ» )' 2) Тг Т» (Оэмзе. Аз Мг!ой — э (.+,э) ~' 4ргрз Здесь Ср и г †соответствен удельная теплоемкость при постоянном давлении и газовая постояннаи для идеальных газов (Ср — С„= г). 7.
Предполагаем, что диссипативная фуйкция некоторой сплошной среды имеет вид Я(уы У„..., Ум)=Ь(ь), причем йа — У~г+Уез+... + Те, Ь(й)=й, если Ом."ье.1, Ь()»)=)»з, если 1»~ь. Определить (выделяя возможные случаи) некторы Х, ассоциированные некоторому данному вектору У. Найти сопряженную дисснпативную функцию эх)»(хю Х», ..., Х ) и исследовать векторы У, ассоциированные некоторому данному вектору Х. Определить псеваопотенциалы ~р и <р».
8. Вернемся к ситуации, описанной в Ч11.3А. Полагаем, что асе гипотезы выполняются и е=2. Область д на плоскости Хт, Х, является внутренней частью шестиугольника: 1~Х ~1 1»«Х ~1 1~Х Х «1. Определить векторы Т с компонентамн )гт и Рм ассоциированные некоторому данному вектору Х, если Х, и Хз являются координатами точки из области у+дф. Йайтн выражение для диссипативной функции В() (Уб )гз). 8. Пусть д- и Я'„Я з — выпуклые функции переменных Хг, Х„.. „Х,, непрерывно дифференцируемые н принимающие отрицательные значения в начале координат. Обозначим через У замкнутую выпуклую область, определяемую неравенствами К,~О, (Т, =О, уэ що. Пусть Х вЂ” одна из вершыы области 8, в которой рт=~з=~»=0.
Показать, что в рамках гипотез, сделаныых в ЧН.З 4, ассоцнировзнные векторы У определяются выражением У Ийгадкз+рзйтздд.е+и агадКз, в котором рг р». Рз — любые неотрицательные числа. Что можно сказать о векторах Т, ассоциированных некоторой точке иэ дд., расположенной нз ребре (например, при ф'т ф'э О, (тз < 0)? ГЛАВА ЧП! 1. Показать, что если Сл=(г(С... С), м* э»» -~„— "--(ЧС"- '),р. ад Используя формулы (П1, 62) и тождество Кэпи — Гамильтона, доказать формулы, примененные в г'П1.2,3: дС1 дС1 [ дСГИ вЂ” = дар, — Сгд 3 — С 3, — = СП1 (С" х) а а дС ай 2.
Положим В1 1г(В), Вц 1г(В'), В1ы =1г(В') и запишем плотность свободной знергни некоторой гиперупругой нестранной среды в виде Ч'(В~, В„, Выы Т). Показать, что тензор напряжений дается выражением 2- 2р ( — В+2 — Вз+3 — Вз), / дЧ' дЧг з дЧ' ~, дВ1 дВП дВгы и вывести формулу (46). 3.
Показать, что закон поведения гиперупругой нзотропной среды может быть записан в виде дЧ дЧ 2РВ = — йр — В. дВ дВ 4. Рассмотрим гиперупругую иэотропную среду, плотность которой в естественном состоянии постоянна и равна ре. Пусть Ч' — свободная энергия. Положим ш=рзЧ', н пусть ю — функция Т н компонент 1ар тензора деформаций Грина— Лагранжа. Вводя инварианты 1 1 1х=(аа 1з 1 ар(ра 1э= 1ад(рт1та, 2 ' 3 показать, что в этом случае теыэор напряжений Пиала — Кнрхгофа может быть записан в виде В = — 1+-З вЂ” С+ — (,з.
дш дю дш д1, '37э д(з Каков будет вид этого соотыошення в случае несжимаемой среды? 6. Исследуем условия равновесия несжимаемого упругого кругового цилиндра пад+а~~ Вз, 0 < аз < 1 в деформированном состоянии (хг), которое можно связать с естественным состоянием (а„) с помощью соотношений: ха = ах соа (ааз) — аз а1п (аа,), 1 хз — — ад агп (ааэ) — аэ соа (аав) (1) ха=аа Описать деформацию. Найти компоненты 1.~а теыаора Грина — Лаграыжа и затем компоненты этого же тензора в локальном ортонормированыом репере, свяэаныом с цилиндрическими координшами р, у, а с осью Оаз(а,мрсоза, аз=раша, аз а). Проверить, что только компоненты В, В = х ад, (.а =* — а р отличны от нуля. Убедиться в том, что условие несжнмаемости действительно выполняется при деформации, описываемой соотношениями (1). Найти тензор напряжений Пиала — Кирхгофа для внутренних точек цилиндра (испольэуя, например, обозначения и результаты задачи 4).
Исследоза:ь внешние воздействия, уравновешивающие цилиндр в деформированном состоянии,. и интерпретировать результат. 6. Изучыть двойственную формулировку законов поведения гиперупругой иэотропыой среды, рассмотренной в задаче 4. Положить 1 1 эаа з 2 эарзра з= В ~арэрттта' Обозначив через 0 потенциал Лежандра, ассоциированный величине в, в (э 9, Т) э в1 9 — в (Ь р, Т), показать, что 0 можно определить как функцию переменных 16 1з, 1э н Т и что тензор деформаций Грина — Лаграыжа дается выражеыием Š— 1+ — 3+ — дз.
дф дф дф д1т дуз дуэ 7. Рассмотрим задачу 4 длн случая, когда в не зависит от 1э. Показать, что ассоциированный потенциал Лежандра 0 (задача 6) не зависит от 1з. В. Показать, что в случае нзотропной несжимаемой гиперупругой среды функции в и в иа задач 4 и 6 могут быть записаны в виде в=в(11, 1э, 1з)+Н(Т), р= р(11, 1,, 1,) — Н(Т). Учитывая, что в и 0 не зависит от температуры Т, написать уравнение сохранеыия зыергин длы случая, когда теплопередэча подчиняется аэкону Фурье, интерпретировать результат. 9.
Найти векторную функцию У(А, м) симметричною тенэора А и векторам. Показать, что такая функция в матричном представлении будет иметь форму Ч = Вре1+9хА+ фэАэ) и, где все 91 — скалярные функции шести совместных скалярных нывариаытов тензора А и вектора и, приведенных в задаче Ч!,10. 10. Показать, что самый общий закон поведения, определяющий поток теплоты 0 как функцию градиента температуры (л=йгад Т), в случае гиперупруюй нэотропной среды может быть записан в виде я Оре!+01Б+фа( э) д, (О где нсе 0 — скалярные функции семи переменных: 16 1э 1э Т' 8аеа ЕадйаЯР ЕатЕтййайй~ причем 11, 1э, 1з определыются так же, как и в задаче 4.
Использовать решение задачи 9. 11. Вывести уравыения Навье в линейной термоупругосты (см. задачу Ч,19) и показать, что если объемыые силы равыы нулю, то этн уравнения могут быть записаны в виде ЬХ1+ — (Хэ э),1 2 ~ — ) аВ 1. 1 11+чЪ 1 — 2 ° ~1 — ) Вывести уравнения Бельтрами линейной термоупругости (см.
задачу Ч1,В) и показать, что при равных нулю обьемных силах уравнения Бельтрамн могут быть записаны в виде (1+в) Ьп11+(пэе) 11-)-Е (В 11+ — ЬЭЬ!1) О. 1+в 12. Выписать уравнение сохраыения энергии классической термоупругосты, Взять, например, за отправную точку выражение (1Ч,31).
Прюшолагаа, что удельная теплоемкость при постоянной деформации постоянна, показать, что йЬЮ+г треСв д) +ЪКаТе дг ° (1) В приложениях обычно пр енебрегают последним членом по сравнению с остзль. ными и получают в результате следующее уравнение теплопроводноств, описывающее изменения температуры: ййю+г=рчСв х-. дЕ (2) Говорят, что уравнение (2) справедливо в рамках несвязанной термоупругости. Физический смысл слагаемого, определяющего связанность, ясен из уравнений (1) н (2). Показать, что сжатие «работзетв как источник теплоты, а расширение— как теплопрнемник. 13.
В упругой среде удельная теплоемкость при постоянных напряжениях определяется по формуле С„= — (офч Т). Показать, что для среды, характеризуемой внутренней энергией (67), имеем РвСо =РвСв+ 0КаТв' !4. Процессы в упругой среде остаются адиабатными, если г и приток теплоты д всегда равны нулю. Опираясь на уравнение сохранения энергии, пока. зать, что в этом случае энтропия в также остаегся постоянной. Записав соотношение Рве=го(згу), показать, что, как и при изотермнческив процессах, имеем также дге ог/— де~у Ограничиваясь рамкамн классической трорин упругости (линеаризозанной и нэо- тропной), показагь, что законы поведения могут быть даны также соотношеннямн оеу= Хвезабю+21гвеО, в которых )ч и р — константы.
Считая, что Х и Р значения коэффициентов Ламе в изотермической теории упругости, показать, что РКвы Тв )чв Д+ ° И = Рв. Р,С, Для втой цели можно использовать формулы (63) н (65). Сравнить модуль Юнга и коэффициенты Пуассона для одной и той же среды, находящейся в ади- абатном н изотермическом движении. Показать, используя обозначения задачи !3, что модули объемного расши- рения — сжатия связаны соотношением К„Св= КСо. Показать, что при постоянной удельной геплоемкости среды (прн постоян- ных деформациях) е классической термоупругостн свободная энергия ф (Т, вО) и внутренняя энергия е(е, егг) могут быть записаны е виде Т чу =в (еО) — ЗКи (Т вЂ” Т,) еаа+Св (Т вЂ” Тв — Т 1ой Т ), в=се(зю)+ЗКиТввзз+СвТв ~ехр( С ~ — 11 ° в 13.
Закон поведения упрусоплостической среды, у которой поверхность текучести определяется конечным числом пластические потенциалов. Распространить полученные результаты в ЧП1.8.2 на случай, когда поверхность текучести определяется несколькими неравенствами: ест(аО)~0, ..., й' (агу)~0. Показать, что соотношения (ЧШ,101) можно обобщить следующим образом: дуг дй'р веу Агульоьз+)ч — +...+й —, дг, "' рд / 383 где )4, )гв, ..., )«р — некоторые неотрнцательные числа. В любой точке, в которой „< О, Х„О. Так же обстоит дело, ногда 6 =О, 4г < О (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
