Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Показать, что расстояние между двуми слоямн жидкости, которые колеблются в одной фазе, равно б= = 2п у' 2ч(ы. Интерпретировать этот результат. Обрисовать каргину, которая наблюдается, если при фиксированном ю кинематическая вязкость ч стремится к нулю (пограничный слой). Описать, как будут распространяться в некоторой данной жидкости колебательные движения стенки прн разных частотах.
Опреде. лить уснлне, которое следует приложить к стенке для поддержания гармонического колебательного движения. 1У. Не производя вычислений, опираясь только на интуитивные соображения, найти соотношение, существующее между течением, рассмотренным в прш дыдущей задаче, и течением, которое определяется следующими начальными и граничнымн условиями: в моменты ! < 0 жядкость и стенка покоятся, прн г > 0 стенка участвует в прямолинейном нолебательном движении со скоростью У, ы(. 18. Условия аналогичны условиям задачи 16, но стенка на этот раэ пористая и жидкость равномерно откачивается (как и в задаче 14), Показать, что и в этом случае существует течение с компонентом и, определяемым формулой (1) нз задачи 18, если выбрать подходящие значения величин а и Ь, зависящие от ч, пь %'.
Показать, что такое определение единственно. Найти нв основании решения физические свойства течения. 19. Область О~ха~8 наполнена вязкой жидкостью, образуя, таким образом, слой высотой Ь. В начальный момент времени Г 0 жидкость покоится. Жидкость смачивает неподвижную стенку ха=0. В момент 1=0 на поверхность хз=Ь начинают действовать поверхностные силы с поверхностной плотностью гйы направленные по касательной. Считая объезные силы равными нулю, давление постоянным, а траектории прямолинейными и параллельными вектору Ьы показать, что скорость определяется выражением и= — — + ~~~, ( — 1)г+ь — з!и (2р+1) — ехр ЬР! кз ч 1 яхз (2р+ 1) яз чг )э~д э о (2р+П* ~ 2Ь~ ~ 4Ьз 33' Интерпретировать полученный результат. 20.
Поверхность слоя тяжелой вязкой жидкости постоянной толщины Ь соприкасается о покоящейся атмосферой при постоянном давлении. Нижняя граница слоя смачивает плоскость (и), наклоненную под углом а к гориаонтальной плоскости. Исследовать стационарное течение, вызванноесилой тяжести.(Обозначить через х, высоту точки над плоскостью (и) н предположить, что давление и скорость зависят только от хэ. Допустить, что атмосфера представляет собой идеальный газ в, таким образом, вдоль поверхности нонтакта могут иметь место разрывы касательной скорости.) 21. Условия те же, что и в задаче!6, но жндкость занимаетобласть 0 < хз <Ь, причем плоскость хз — — Ь фиксирована.
Показать, что течение, определяемое формулой зй (() (Ь вЂ” кз) (!+!)) ) "= У ® (ехР !ыг зй (()Ь(1+;)) удовлетворяет всеы поставленным условиям. Исследовать это решение. Показать что увеличивая Ь до бесконечности, приходим к течению, рассмотренному в задаче 16, 389 22.
Найты самый общий вид течения, удовлетворяющий условиям задачи 2), если иавестыо только, что течение периодически меняется во времени 1, м исследовать вопрос о единственности рассматриваемого решения. (Функцию Уг можно искать в виде ряда Фурье н исследовать решеыня вида С„(хз) ехр(1лв1), где С„(хз) †некотор комплексная функция.) 2З. Рассмотрим несжимаемую жидкость, обладающую кинематнческой вязкостью » и текущую по плоскости, опредепяемой ортонормированнымн осями Ох и Оу. Обозначим через вй (й — единичный вектор) вектор угловой скорости (йвд го(У), а через Ч.'(х, у, 1) — функцию тока; объемными силами пренебрегаем. Вывестн уравнения дв дЧ дв дЧг дв 2 - — д'р — + — — — д — — бв. д1 ду дх дк ду 2В. Принять обозыачения предыдущей задачи и исследовать течения, у катоых в=оЧг (а — положительная постоянная).
Показать, что Чг=/(х, у) у(1), где — решение уравнении в частных производных, которое следует составить, ау (1)— некоторая фрнкция, которую следует найти в явном ваде. Показать, что величина р имеет вид р = ре — (аз/з+) йгаб / )з) уе (1). Исследовать случай, когда /=й (х) Л (у).
Интерпретировать полученный результат. 26. Принять обозначения предыдущей задачи и исследовать стациоыарные течения, у которых величина Ч." — Уу пропорциональна в, где У вЂ” некоторая заданная скорость. Показать, что Чг имеет вид Ч' Уу+/ (у) ехр (Хх). Найти уравнение в частных производных, решением которого является функция /(у). Если, кроме того, прямые у=О и у=б/2 являются единственными прямолынейными линиями тока в полосе О~у~д/2, з зз начало коордянат принята точка с нулевой скоростью, то Ч' имеет вид пу ( 2цй Ч'=У у — зги 2 — ехр — — х?), 2ц д где й — некоторая константа, которую следует выразить как функцию числа Рейыольдса (?е Уд/». Выявить свойства течения. Найти давление вдоль осн х. 2В. Рассмотрим плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости в полуплоскостн у > О (за ось х принята стенка, омываемая жидкостью) и пред« положим, что функция тока имеет внд Ч' х/(у).
Построить дифференциальное уравнение (Е), решением которого является функция /(у). Каким образом найти дзвиение? Предполагая, что давление — убывающая функция хз (при фиксированном у),наказать, что +21 +Р ) Га где ре — постояныая. Показать, что, принимая т)= /г — у, /(у)='г'а»Ф(у), получим уравнение (Е) в виде бзФ б Ф 1ВФ~з буз бу' ~ ду) — +Ф вЂ” ( — ) +(-О. Каким граничным условиям должна удовлетворять функция Ф(у)? Допустим, что существует решение Ф (у), удовлетворяющее етым условиям, для которого ВФ вЂ” — возрастающая функция иь которая стремится к единице при Ч -ч +се. бу Построить профиль скоростей на полупрямой э= хе.
Как изменяется внд профиля, если прв фиксированных х«и а кинематнческая вязкость стремится к нулю? Интерпретировать полученный результат. 27. Закон поведения жндкости имеет вид Е= — р1+2)«О+ 4ийз, где р и а — константы. Показать, что в цилиндрической трубе любого сечения может существовать стационарное прямолинейное течение данной жидкости. Детально исследовать случай, когдапрямоесечениетрубмпредставляетсобой эллипс. 23. Рассмотрим течение неньютоновой жидкости, закон поведения которой имеет вид Е= — р1+2р,р(б)(?, где ф — непрерывная нозрастающая функция, равная нулю при 8=О, а величина б пропорциональна квадратному корню из второго инварианта Ю(со знаком «минус«) н равна 3=2Е(ОП)«(з. Определить вискозиметрнческие функции данной жидкости.
Пусть данная жидкость течет между двумя цилиндрами Г н Гз, радиусы которых соответственно а и Ь. Пилиндр Г неподвижен, а цилиндр Гз вращается с постоянной угловой скоростью Я. Пусть соотношение, связывающее 11 с моментом М пары сил, которые следует прикладывать к цилиндру Гз, имеет вид — =А [1+юМ], (? М где А и т †констан. Показать, что при ю=б фунхцня ф (б) тождественно равна 1.
Доказать справедливость обратного утверждения. Найти значение,А. Предположим теперь, что и Ф О, и примем Е +Ь* щ=а — —. 2щ«, а'Ь' Показать, что а †безразмерн константа. Показать, что ь (Я) †полин второй степени по 3, и найти этот полинам. Определить затем функцию 9 (6). 29. Вывестн уравнения (88) без использования формул в цилиндрических координатах. Испольэовать метод, примененный для вывода формул (28). 30. Изучить течение неньютоновой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами, т. е.
обобщить исследование, проведенное в 1Х.2.4, в обосновать формулы (73). Показать, что зта формула в случае классической ньютоновой жидкости приводит к формуле (31). 31. Каким образом можно испольэовать формулу (73) для определения функции ь(5), если известны а, Ь, Я«, (?ь и М? Сначала рассмотреть случай, когда разности радиусов (Ь вЂ” а) и угловых скоростей вращения И=йь — Я, очень малы.
В общем случае, положив С (у) = 4лаэуР' (2лазу), где О(М)=Р(М) — функция, определяющая Я в зависимости от М при фиксированных а и Ь, показать справедливость соотношения вида й (у)-й (уу)-С [у). Затем получить функцию л(З) в виде разложения в ряд. 32. Изучить течение жидкостн Бингама в круговой трубе и подтвердить справедливость формулы (79). 391 ГЛАВА Х 1. Вернуться к изучению равновесня упругого сферического резервуаре, используя последний результат, полученный в задаче Ч1,9 (строго показать применимость полученного решения в рассматриваемом случае). Этны путем непосредственно придем к решению (Х,37). 2. Кручение цилиндрического тиа гллиитичегхого сечения.
Показать, что функция напряжений имеет знд если уравнение прямого сечения 8=0. Предположнм, что а, < аэ. НаАтн жесткость на кручение. Показать, что если Ь вЂ пред упругости среды прн чистом растяженнн, то максимальный момент, который можно прнложнть к валу, не превышая ня в одной точке предела упругости, равен Ь э М = — Маэ2аы 2~3 3. Кручение призиатичгскаго вала с поперечным сечением э виде равностороннего треуголытка. Выберем поперечное сечение в плоскостн Ох,хэ, ось Охд направим по высоте треугольника (длнна которой За), начало Π— в центре треугольника.
Проверить, что функция 8 дается формулоА В С(а — «Д(хг — хз)ГЗ+2а) (хт+хэ~ 3+2а), где С вЂ” подлежащая определению постоянная. Показать, что жесткость на крученые 0 (9)/ 3/5) раг. Какне точки первыми достигают предела упругости, когда крутящнй момент воэрастаету Каково максимальное значение крутящего момента, коюрый можно прилолить, не превышая предела упругостыу Сравнить найденное решение с решением задачи (1Х,З). 4. Кручение круглого вала г желобом. Поперечное сечение — область, определЯемаа неРавенствами (хт — а)з+хэ ~ аэ, «~э+«за ) Ь (Ь < а). Положнть хг = г сов ер, хэ = г э1п <р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
