Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 85
Текст из файла (страница 85)
1О. Рассмотреть вновь задачу 1Ч,4 и найти скорости главных относительных удлинений и максимальное значение в каждый момент скорости сдвига в каждой точке. 11. Пусть  — угол между двумя единичными векторами а н Ь, приложенными в точке М; (? н х? — квадратичная и билинейная формы тензора скоростей деформациА в М. Показать, что 2Е<а, 3)= эВт<п)+О<В)) — ш —,. дВ бг' Рассмотреть случаи В=О; В я/2. 12. Поле перемыценнй некоторой сплошной среды прн малых деформацнях описывается уравнениями Хг Акгкз, Х =Ак,кз, Х =2»( +кэ) где й — достаточно малая константа, обеспечивающая применимость гипотезы о малых возмущениях. Найти поле тенэоров деформаций.
В каких точках одно из главных относительных уданненнй равно нулю? Найти в этих точках главные направления н главные относительные удлинения. Определить вектор угловой скорости. Часпшчлмй ответ: прн кэ — кг 5 О, 6 ~ 'г'3»хб при кэ кг 6 О, 6 (Зш УЗ)»кь где 5 — собственные значения.
13. Пусть пч, ае, пе — относительные удлинения по координатным осям Окы Окз, Окэ, а Аь йэ, ()э — относительные удлинййря по направлениям внутренних бнссектрис углов (Окэ, Окэ), (Охз, Ока), (Око, Окз) в некоторой точке среды, 376 взятой за начало координат. Найти компоненты теизора деформаций (при малых возмущениях). Найти основные инварианты. !4.
Показать, что следующее поле тенэоров деформаций при малых возму. щениях езз = ззз ззз =О еез лхз, (1) е,1 ем — — — чаха удовлетворяет условиям интегрнруемости, н найти все поля соответствующих перемещений. Лля этой цели можно испольэовать следующий метод. Показать, что иэ трех последних уравнений (!) следует, что с з Хз= — чахчхз+ рг (хз хз) Хз= — чпхвхз+Ч>з (хз~ хт) Хз= 2 «г+9з (хз хт).
Выписать далее три первых уравнения (1), образующих неоднородную линейную систему Е, связывающую между собой фуйкцнн ~ры юз, ~рз. Затем следует найти общее решение соответствующей однородной линейнои системы (объяснить резуль- тат) н частное решение системы Е. 16. Найти поле перемещений, если известно, что поле тенаоров деформаций (прн малых возмущениях) таково: ззз=зы=звг=О, еа=зш — — чЬхб ещ — Ьхб Можно применить метод, предложенный в предыдущей задаче. 16. Пусть главные направления поля тензоров скоростей де4юрмацнй в каж- дой точке совпадают с ортонормнрованиой системой осц хь ненулевые компо- ненты поля прн этом равны: ()ы-а, ()з-ЬК, ()з= 3„ где 3 — некоторая функция от хм хз, «з, О а, Ь, с — константы.
Показать, что в случае, когда зти три константы отличны от нуля, 3 будет полиномом первой степени по хь хз, хз с коэффициентами — функцнями д Найти для этого случая все поля скоростей, соответствующие данному полю тензоров скоростей деформаций. Чосаичныд ошзет. Если 3=уха+6, то ()1=а(бхз+ухтхз), Уз Ь (Ьхз+ухьтз), и,- ~Ьх,+у — ~ ~— (,+Ь з). ха 1 7 з з 2 3 2 17. Решить предыдущую задачу, полагая последовательно с=О, а Ь ~ О, Ь=с=О, аФО, 13. ПУсть ()~у — компоненты полЯ симмегРичиых дважды диффеРенциРУемых тензоров. Вычислим иа атом поле левые части уравнений (38) илн (56): И;жм зз;)з,г„згмззрз))р, Показать, что функции )1гуг, — компоненты некоторого поля тензоров четвертого ранга и что имеют место равенства: )тгггм = )тгму (1) ауге )1уам= — )1ггм (2) Й1жм+)1алу+ ЙГм)а=О.
(3) Показать, что если величины И1уьз удовлетворяют тождествам (2) н (3), то онн необходимо удовлетворяют н тождествам (1). 19. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, установить тождество %/Ав, «+%ри, и+)(О и», г Каково число нетривиальных и различных получающихся таким образом соот- ношений) Тензор Йгуг аналогичен тензору кривизны Римана — Кристоффеля, играю- 316 щему важную роль в геометрии.
Если Ргу — теиэор скоростей деформаций, соот. ветсгвующий полю скоростей ()ь то тензор )7гуг,„тождественно равен нулю. Очевидно, шесть разных уравнейий и частнмх производных в системе (33) не являются независимыми. В теории дислокаций приходится иметь дело с попами тенэоров скоростей деформаций, не удовлетворяющих уравнениям совместности. В атом случае тензор Гггуг, уже не равен тождественно нулю н является кннематнческой величиной, характеризующей объемную плотность дислокаций средм.
20. Показать, что всегда имеется возможность определить в окрестности некоторой данной точки М лоле скоростей ()г так, что величины г»,эг »жэг гцю рзэг будут равны любым заданным наперед значениям. Опираясь на этот результат, установить, что шесть нетривиальных уравнений совместности, полученных, например, в (57) в фиксированной точке М, представляют собой набор линейных независимых форм компонентов Ар» г. Убедиться, что этот вывод не противоречит результату предыдущей задачи.
21. Испольауем обозначения аадачи 4. Пусть Т вЂ” тенэор второго ранга, определяемый матрицей Т в системе отсчета Я. Леть интерпретацию матрицы Т=РТТР. Дифференцируя матрицу Т по времени Г, найти условие (которому должна удовлетворять матрица Т) постоянства компонентов тенэора Т в системе отсчета Я» н получить его физическую интерпретацию. 22. Показать, что злементарные инварианты тенэора напряжений стацнонарны в любой момент времени в том случае, когда производная Яуманна от тенэора напряжений равна нулю. Убедиться, что это утверждение перестает быть справедливым, если заменить производную Яумзвна на конвективначю производную.
23. Пусть в двух системах отсчета, обозначенных Я н Я , вектор Х представлен матрицами-столбцами Х и Х», которые связаны между собой соотношением х»= Р (1) х, где Р (г) †ортогональн матрица, зависящая от времени г. Обозначим через й и Я» угловые скорости в одной и той же точке среды, наблюдаемые соответственно в системах Я и Я» Показать, что в этом случае имеет место равенство = ߻Р— РО. бР бг (1) 24. Пусть матрицы Т и Т» представляют в системах отсчета Я и Я» одни и тот же симметричный тензор второго ранга Т. Предположим, используя обычные обозначения (1П, 30), что Т»=РТРТ.
Найти полную (субстанциональную) производную от этого равенства н заменить производную 6Р)бг ее значением, приведенным в задаче 23. Определив матрицу Т равенством бТ Т вЂ” +ТΠ— ОТ бг а матрицу 1» — 'таким же равенством в системе Я», показать, что имеет место соотношение Т»=РТРТ. Используя этот результат, доказать, что матрицы Т и Т ° представлжот в Я н Я» соответственно один и тот же тензор. 23. Поставим еще раэ задачу определить объективные производные симмет- 6 нчного тензора Т. Обозначим через К матрицу-градиент поля скоростей. оказать, что любую вз матриц — +ТК+К гТ, бТ бг — — ТК г — КТ, бТ бг — +ТК вЂ” КТ, бТ бг ТКт+КТТ бг 377 можно использовать для определенна производных по времени тензора Т.
(Использовать результат предыдущей задачи.) Доказать, что одна нз этих матриц совпадает с конвектнвной производной, о которой гозорйлось в У.6.1. ГЛАВА Ч! !. Несжимаемая вязкая жидкость (коэффициент вязкости Р) течет в круглой цилиндрической трубе радиуса а; центральная ось трубы направлеяа по Охг. Поле скоростей задается уравнениями гз Ч и,-У,(! — — ), из-и,=О, аз) в которых У» — постоянная положятельнзя скорость, г=(ха+ха) 1 — расстояние точки от оси. Определить в каждой точке тенэор вязких напряжений и касательное воздействие струй жидкости друг на друга. Определить в каждой точке трубы касательные усилия взаимодействия жндкоств н трубы и найти равнодействующую этих сил на длине 7.
трубы. Определить давление. 2. Рассмотрим ссесимметричное движение вязкой несжимаемой жидкости, описываемое функцией тока: 31 1 '1 энга 9 ч'=Уз (гз — — + — ) —, 2 2г) 2 где г — расстояние точки М от фиксированной точки О на оси Ох; 6 — угол (Ох, ОМ). Показать, что сфера Е с центром в точке О н радиусом, равным единице, является поверхностью тока. Найти скорость в каждой точке сферы; в точках, далеко отстоящих от начала координат. Определнть (обозначив через )з коэффициент вязкости) силу воздействия жидкости на единицу поверхности сферы н главный вектор этих сил, называемый иначе лебезил сопролшзлением сферы.
Такое течение наблюдается вокруг удержяваемой в фиксированном положении сферы, помещенной в поступательно движущуюся сильно вяакую жидкость. Прн решении этой задачи можно воспользоваться результатамн, приведенными в П1У.2, или решениями задачи П,12. 3. Рассмотрнм стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в трубе (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
