Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Найти линии тока, траектории и линни испускания. Найти поле ускоренвй. 4. Пусть поле скоростей задано формулами (обозначения те же, что и в пре- дыдущей задаче): (С~ — хзв(г), 0~ х»е(г), 0~ й» (г)+ у~ з)п ог, где »'» †заданн скорость; о †заданн частота. Пусть задана точка Я с коор- динатами х, а, хз х» О.
Найти: где г и и — константы. Показать, что линии тока — гиперболы. Описать движение в переменных Лагранжа (обозначить через аь а„аэ координаты частицы в момент 1=0) и начертить примерный график нескольких траекторий. Найти функции х;=~1(х', 1', 1) и уравнения линий испускания. 6. Рассмотрим сплошную среду, движущуюся в области Ю пространства кг > хэ > 0; хэ > 1. Обозначим через (х„ хэ, хэ) и (аы пэ, а,) координаты частицы соответственно в моменты времени Г и О.
В любой момент времени 1 лоле скоростей определяется формулами: 1 из=х,—. «а и,-хэ — 3 „и,= — 2х,, Найти хм хэ, хэ как функции а„аэ, аэ, Г. Определить линии тока и траектории и описать в целом, исследуя их проекции на плоскости (хы хэ) и (хэ, хэ). Изучить (как частный случай) течения на фронтальных поверхностях области й(). 9. Сплошная среда движется стационарно как абсолютно твердое тело.
Показать, что это движение является геликоидальным и что, в частности, линни тока — круговые спирали. 1О. Сплошная среда движется как абсолютно твердое тело. Найти дивергенцню и ротор ускорения ( ойту= — 2ы, го17=2— бы бг 11. Найти формулы (44) н (45) перехода от одно системы координат н другой и классическую формулу для ускорения Корнолиса, опираясь на формулу (31), в которой хе — функция времени. 12. Пусть задано л-мерное векторное пространство. Показать, что если ь)-антнсиммегричная матрица, то 1)э — симметричная матрица, а Р=ехр((1)— ортогональная матрица. Показать, что антисимметричная матрица (1 не может иметь ненулевого действительного собственного значения н что любое ненулевое комплексное собственное значение — чисто мнимая величина. Что можно сказать о собственных значениях ()е) Что можно сказать о собственных значениях ехр~И)7 ()з Напомним, что ехр(()) разлагается в ряд 1+ — + — +.... Определение 11 21 360 х а) линию тока, проходящую через А в Кх ц Х момент времени 1=0; б) траекторию чзспщы, которая в мо- мент времеви 1=0 проходит через точку А; ,г в) линию испускания иэ точки А вдан- ный момент 1=0.
1 Дать физическую интерпретацию этого ,'х,-х, движения. Р ! 5. Рассмотрим плоскопараллельиое ста- ционарное движение, которое в системе отхг+уэь счета Я определяется полем скоростей У, = г = — ахм У,=ахм У,=О (а — положительная константа). Найти линии тока. Показать, что часРис. 1 тицы, которые в момент Гэ находились на плоскости хг=сэ, перейдут в момент времени 1 на плоскость х, 6. Могут ли частицы, находящиеся на плоскости х =О, достичь плоскости хг =0 в течение конечного отрезна времени? 6.
Пусть системз отсчета из предыдущей задачи Я равномерно и поступательно движется относительно системы отсчета Яь вдоль осн х,, Исследовать движение относительно Я,. Найти уравнения траекторий. (Координаты точки выразить в лагранжевых переменных.) Исследовать форму траекторий. 7. Поле скоростей среды задано формулами: хт — вГ хэ и,= —, и,= — —, из=О, т ' собственных значений и собственных векторов несимметричной матрицы дано в П!.4.4, а. 13. Применить общие результаты, полученные в предыдущей задаче, к случаю, когда я=3. Исследовать, в частности, собственные значения матрицы !7'. Обозначив через ~рз собственные ненулевые значения, дать физическую интерпретацию функции ~р.
Вывести формулы т Ф~ — ~ () = — (! + 2 сов р) 1+2 (1+ сов <р) Р— Р'. % Для решения задачи можно совместить ось хэ с собственным направлением матрицы ()з, соответствующим нулевому собственному значению. !4. В ортонормированной системе координат Я задана антисимметрнчная матрица !1, элементы которой ()17 — известные функции времени д Показать, что если некоторый вектор Х (!) является решением дифференциального уравнения — (7Х бХ б! (!) в котором Х вЂ” множество компонентов вектора Х в Я, то модуль вектора Х не меняется.
Доказать, что если Хг н Хз †д решения уравнения (1), то угол между этими двумя векторами остается постоянным. Пусть дана матраца Р (!), удовлетворяющая уравнению — +Р(1= О. бР б! (2) Показать, что матрица РРТ вЂ” постоянная.
Пусть Х(!) — решение уравнения (1), которое прн ! 0 принимает заданное значение Хч. Показать, что справедливо равенство Х=Р "Х", в котором Р— ортогональная матрица. 13. Предположим, что координаты х! частиц сплошной среды являются решением дифференциальных уравнений (см. (43)) ~ =У!(!)+агу(О хю бх! (Ц в которых Уг(!) — компоненты некоторого вектора, а Я!7 — некоторой антисимметичной матрицы. Показать, что среда движется как абсолютно твердое тело. ная, что в момент 1=0 частица х находится в точке хч, найти х(!), решив уравнение (!).
Показать, что решение будет иметь внд (3!) при с(!)=Р (!) $ Р(з) Ч(з) бз. Таким образом, решение сведетоя к переходу от эйлеровых переменных к переменным Лагранжа для случая движения абсолютно твердого тела. Используйте решение зцхачи 14. 13. Из решения задачя !Б следует, что если поле скоростей абсолютно твер. дого тела совпадает с полем некоторого торсора, причем составляющие торсорз по крординатным осям системы Я известны, то движение абсолютно твердого тела,'определяемое соотношением (31), может быть найдено.
Рассмотреть ту же задачу в предположении, что известны компоненты торсора скоростей в системе отсчета Яе, связанной с абсолютно твердым телом. 17. Показать, что движение абсолютно твердого тела в системе отсчета Я описывается о помощью функций й'! формуламн вида х=у(С', Г)+()Т(!', !) х', (4) где 7 — некоторый вектор в Я, а !) — ортогональная матрица. Найти тождества, которым должны удовлетворять функции 7 н г3 переменных !! и й Выразить у н () через функпны с (1) и Р(1), фнгурнруныцне в формуле (31). В двух яихеследуюиусч задачах используется для очеяь ярхтоео случая 4юрлализи лияеариэации, раюишвй в ЧЛЬ.
18. Вернемся к рассмотреняю движения прогрессивной волны, о котором говорилось в 1.1.3. Движение описывается формуламн: к, ал+т)еье' соз (йа — вс), Х а +т)зэе' З1П (уа — Вг), ха=па в которых аэе~О. Предполагая т) малым, лннеаризуйте движение. Найдите движение поверхности, уравнение которой в невозмущепном состоянии а,= — Ь, где й — заданное число.
Найдыте линии тока. Исследуйте нх формулу и дайте обоснование хода кривых на рнс. 1,7. 19. Движение стационарной волны определяется формулами: ха =а,+т1е"е' соз йаь э1п оМ, «э=аз+э)еал'э1п йаэ сов вй «э=аз. Исследуйте траектории движения. Предполагая э) малым, линеарнзуйте движение. Какова форма поверхности, уравнение которой в невозмущенном состоянии аь — й, где Ь вЂ” положительное число. Найдите линни тока. Сравните полученные результаты с выводами предыдущей задачи.
ГЛАВА П 1. Пусть х (хв хэ, ха, 1) — скалярная функция, удовлетворяющая уравнению в частных производных: — +У,— =С, дх дх дс дхс (И в котором Уг и С вЂ” известные функции от хы «э, хэ, 1. Величины Уг можно интерпретировать как поле скоростей некоторой фиктив- ной сплошной среды. Обозначим через Г траектории частиц, составляющих дан. ную сплошную среду. Как интерпретируется в этом случае уравнение (1)? Пока- зать, что прн ызвестных кривых Г решение уравнения сводится к квадратуре. Приложение. Полетав У;= кг н С = О, исследовать поведеыие кривых Г. Задаваясь значением х при 1=0 х (к„х,, х,, 0) =в (хм хе, х,), где ф — некоторая заданная функция, найти в явном виде функцию з(хь хэ, хэ, 1).
Решить ту же задачу для случая, когда С вЂ” однородный полинам второй степени по хм х,, кэ, когда С вЂ” любой полипом по хы кэ, хэ. В качестве упражнения проверить, что найденное решение действитеаьйо удовлетворяет уравнению (1). 2. Обобщить решение предыдущей задачи и доказать, что его можно найти, решив уравнение в частяых производных: дх дз р,— -~...+р„— -О, дкт '" "дх„ (1) в котоРом Рт, Рэ, ..., Є— некотоРые фУнкЦии хы хэ, ..., х„, если сначала найти решения систеиы дифференциальных уравнений бк1 — рг (1= 1, 2, ..., л). бг Интегральные кривые этой системы з пространстве хы хэ, ..., х„называются хавактеристыкамы уравнеыия (1).
ййй 3. Дано нелинейное уравнение з частнык про. пзводных первого порядка дг д㠄— +...+эя — =С, (1) к, ''' дх„ в котором дг и С вЂ некотор известные функцпп от г, кп дг(кьх,, ...,х„,г), С(кт,кв, хя, г). Показать, что накожденне решений этого уравнення можно свести к пнтегрпрованпю спстемы дпфференцнальяых уравнений Фе-0 п,му бхт бх, бхи бг о, = Э, ="'б„=с= решения которой хг(1) и г(1) определяют хзрактернстякп данного уравнения в частных пропзводных.
Можно, например, испольэовать результат предыдущей эадачн, полагая: Рг(хт кв ° °" хя+т)=эг(ть хв ° ° кл. «я+с) у(х„к„..., хи, х,+т) г(хь х„..., к ) — х„+ь рн+т(хм х„..., х„+,) С(к,, «э, ..., кя, к„+т). 4. Движение среды определяется полем скоростей ()т и(х, г), ()в Уэ --О, (1) ГДЕ ДЛЯ ПРОСтатн КтнмХ. В ЭТОМ СЛУЧаЕ 11анжвппн — ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ.
КРОМЕ ТОГО, предполжается, что каждая частица движется равномерно. Показать, что это возможно только в том случае (и только з том), когда функция и (х, 1) удовлетво- ряет уравнению в частных пропзводныхг ди ди — +и — О. дг дх Рвс. 2, Изображение па полуплоскостп (к 1) решения задачи 4, соответствующего начальным условиям (4). Прямив ливии ивлвмтся ляректернствкемн (нл можно ннтероретироввте иек веобрвження еле. ментернмк эолв1, не истерик функция я солреияет лсстеяввое внесение. равное скоростя респростреневия данной элемевтер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
