Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Методом индукции можно доказать, что они являются также достаточными. В самом деле, пусть зто условие справедливо для и переменных $„..., $„,. Производя (если зто нужно) .замену переменных, можно записать матрицу Я, в точке $„..., $„в виде а„О ...0 а, О а, ... О а, (35) О 0 а„ , а„ , а, а~ .. а„ , а, Квадратичная форма, соответствующая втой матрице, запишется в такой форме! а,Х-'+а,Х! +...
+а„„~Х'„, + 2а,Х,Х„+... ... + 2сс„~Х„гХ„+а„Х'„. Индуктивное предположение дает а,>0, ..., а„,>0. Эту же квадратичную форму можно записать еледующим образом: а, ~Х„+ ч'-', Х„) +... +а„г (Х„1+ "— "' Х„) + а„Х;;, где 3 $ яО ии-1 ао ' а„,' Определитель матрицы (35); по предположению, положителен, откуда после разложения следует, что а„— также положительная величина. Квздратияная форма является, таким образом, суммой квадратов $46' с положительными коэффициентами, откуда следует, что матрица из величин ф» — положительно определенная. Пример.
Пусть з(з, т) — удельная внутренняя энергия газа, т— удельный объем, тогда д'е Ре Ре уе / уе т' д— „>Π— >Π— — ~ ~— ) >О дхз ' дтх ' дУ дт~ ~дх дтпл с учетом того, что Йе=Тбз — рбт, имеем также — (з, т) > О> д~ (з, т) < О, (36) ®(,, т))'+" ,(, )ф(з, )<О. П!П.7.4. Свойства выпуклости потенциалов. Изучим теперь влияние свойств выпуклости функции е($„ $„ ..., $„) на потенциалы, полученные преобразованием Лежандра.
Переменные $ запишем либо в виде $-', либо в виде $"; в первом случае Ц=$„ Ц = $„ ..., $„ $, т. е. переменные совпадают с теми, по которым применяют йреоодразование Лежандра; во вторую группу переменных э;, = $Р+„ ..., $„ $„ входят те, которые остаются без изменения (если нужно провести четкое разделение этих двух групп переменных). Очевидно, что порядок нумерации переменных не имеет значения и общность ие уменьшается, если предположить, что преобразование Лежандра применяется к (р+ 1) первым переменным. Обозначим через е(Ц*, ..., $;;, $",+„ ..., $„) преобразование Лежандра функции е($„, $„ ..., $„), определяемое соотношением е= — зпр[ЦЦ* — е(Ц, ..., $р, Ц„, ..., 5„")). (37) Таким образом, если р О, $„ з, то е равна удельной свободной энергии ф(Т, Ц, ..., $,), так как соотношение (37) в этом случае записывается в форме ф 1п((е(з, Ц, ..., $„) — Тз»= — зпр(Тз — е).
Из соотношения (37) вытекает, что при любых Ц, Ц" и Ц имеет место неравенство Н (Ц, Ц, Ц) = е (Ц, Ц) — е (Ц, $";) + ЦЦ < О, (38) и для фиксированных значений Ц' и $; существует одна (и только одна) система значений Ц (при которых неравенство переходит в равенство), удовлетворяющая соотношениям Ц'- — ", ((=О, 1, ..., р). (39) В этом случае переменные Ц, Ц и Ц образуют сиотему термодинамически связанных величин. дг Ц= — — ".
дЦ (40) В самом деле, для фиксированных Ц функции е и — е являются сопряженными функциями, определенными в П11.3.3. Рассмотрим теперь функцию К(Ц', Ц), которая получается, если переменные Ц в определении Н принимают фиксированные значения Ц: К(Ц, Ц)=Н(Ц. Ц', Ц). (41) Функция К всегда неположительна, она достигает максимума при любых Ц' и Ц, образующих вместе с Ц систему термодинамически связанных величин.
Для таких значений Ц', Ц имеем дК=О, <РК<0 (42) (так как, по предположению, функция е — дважды дифференцируема, то функция К также дважды дифференцируема). Первое из соотношений (42) в развернутом виде таково: д — = — Ц (43) д$1 —. (Ц, Ц) = — ", (Ц, Ц) дй) д$у (44) Равенство (43) приводит снова к (40). Из соотношения (44) следует, что сопряженную интенсивную переменную цт для переменной $,, которую ие затрагивает преобразование Лежандра, можно выражать как через е, так и через е. Приходим (с точностью до обозначений) к результатам, найденным ранее в П 111.5.
Раскрыв последнее из соотношений (42), получим, что для любых значений дЦ", ЙЦ имеет место неравенство †.бЦ'бЦ+ †" -бЦ'бЫ'+ †. *бЦбЦ вЂ вЂ . .бЦбЦ~0 (43) д$~ дй! дЦ д$ь дЯд$~ дЯдЯ из которого следует, в частности, что матрица величин (приравнивая нулю все дЦ), м,= ~'„ дЦ д$ь (46) неположительна. Этот вывод опять-таки не новый. В самом деле, из определения (37) следует, что для фиксированных Ц функция — е сопряжена функции е (определение приведено в П11.3.3)'и что она, следовательно, является выпуклой функцией переменных Ц'.
Збз В силу свойств выпуклости н дифференцируемости функции е при фиксированных Ц н Ц существует одна (и только одна) система аиачений Ц', образующих вместе с данными Ц и Ц систему термодинамически связанных величин, для которых к тому же имеет место равенство Если теперь приравнять нулю все дЦ' в (45) и положить аэе У Ф~,--* — „„, У~,— — — „ да)д$1 д$ д$1 (47) то видно, что матрица У(,— ӄ— неотрицательная.
Иными словами, для любого вектора Хх(1 р+1, ..., и) имеем (48) Как известно, У~,Х~Х,— положительно определенная квадратичная форма в силу того, что функция е — строго выпуклая. Неравенство (48) определяет предельное значение квадратичной формы 0(Х)=У„Х,Хп не давая, однако, возможности сделать вывод о том, является лн форма положительно или отрицательно определенной. Допустим здесь без обоснования, что 4 (Х) — положительно определенная квадратичная форма, или, иными словами, при фиксированных Ц' потенциал е является строго выпуклой функцией относительно переменных Ц. Для того чтобы подвести итог рассуждений и только что введенной гипотезы, вернемся к обычным.
обозначениям, обозначив интенсивнУю сопРЯженнУю пеРеменной 3, чеРез Чс Основной результат термостатики. Пусть е($„ Ц„, ..., $„)— удельная внутренняя энергия, выраженная через нормальные удельные переменные ($, з); т), †интенсивн переменная, сопряженная 'а ' переменной $~ (Чс= З~ Че Т) ~ е(Ч6 Чо ° Чю $р+з ° ° ° ° 5в) потенциал, полученный из функции е с помощью преобразования Лежандра (37): При фиксированных т1,(1=0, ..., р) величина е — выпуклая функция переменных $~ (1 р+ 1, ..., и); при фиксированных же $ ()=р+1, ..., п) — это вогнутая функция переменных Ч,(1=.0,...
..., р). Говорят, что е представляет собой вогнуто-выпуклое «сеяло». Далее, при фиксированных Ч, положительно определенная квадратичная форма (второй дифференциал функции е), равная Я(д$) ° Ф , Й$~6$„ всегда ограничена сверху квадратичной формой Я (б$) = .Ъ~,д$~ 6$„ равной второму дифференциалу е при фиксированных $„$„..., $ (1, 1 я+1,, «). Пример. Свободная энергия ф(Т, $„.. „$„) при любом фиксированном Т (т. е. в любом изотермическом процессе) есть выпуклая функция переменных 5„..., $„. Если использовать терминологию, введенную в ПП.3.5, то формулировка будет более краткой. 381 Удельная внутренняя энергия е($„$м ..., $„), выраженная через нормальные удельные переменные, есть выпуклая функция, все преобразования Лежандра которой — вогнуто выпуклые функции, причем каждая из них составляет с е пару частично сопряженных функций, Замечание.
По предположению, которое принято без доказательства, () (Х) — положительно определенная квадратичная форма. Это утверждение можно увязать со следствиями второго начала термодинамики, как это было сделано для функции е, если рассмотреть течение процессов в данной системе, когда некоторые из параметров остаются постоянными. П1П.7.5. Следствия из свойств выпуклости. Установленные выше свойства выпуклости ведут к очень важным неравенствам, которые часто называют неравенствами тгрмодинамической устойчивости н которые можно найти во всех курсах термодинамики. Здесь приведены в качестве иллюстраций только некоторые результаты. а) Проследим за некоторой переменной $ и сопряженной ей переменной ть например $, и цо и значениями величины ( — ) ! дч1'1 ~д$1),~, г ' когда некоторые переменные $~(! чь1) и и, остаются фиксированными, причем индексы ! н ! пробегают непересекающиеся множества индексов ! и (, не содержащие 1, такие, что обьединение 1, !, У накрывают один и только один раз последовательность О, 1, ..., п.
Пусть ! и / — непересекающиеся множества, дополнительные к единице. Все указанные производные положительны (что легко показать, если учесть, что все $~(!Е.!) и все ти(!Е !) фиксированы, так как такая производная — этовторая производная по $, некоторого потенциала, выпуклого по переменным 5). Далее, если целое число нз последовательности l перевести в последовательность !, то полученная новая производная э- не будет больше производной, расзчч 1 смотренной перед операцией перехода.
Пусть индексы справа указывают, какие из переменных сохраняются фиксированными, тогда можно, например, написать, что б) Удельная теплоемкость. Предыдущий результат можно применить к паре сопряженных переменных э и Т н получить важные неравенства, относящиеся к удельной теплоемкости. Пусть ! н /— не пересекающиеся множества, дополнительные к нулю, Удельной теплоемкостью Сы в процессе 1, ! называют величину (50) Из этого определения принятых обозначений следует, что $ (! Е.!) и ц,(1Е !) сохраняются постоянными, так что з зависит только от 352 действительной переменной Т. Очевидно также, что (дТ)Л г (да)Л г' Этот результат позволяет сравнить некоторые из производных ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
