Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Теорема существования и единственности в применении к дифференциальному уравнению, приведенному выше, показывает, что Г (Г) существует, а ее производная в начале координат строго положительна, так как 5'(О) бг (О) =Х,б! ! б если предположить, что не все В! одновременно равны нулю. Но тогда —— бг строго положительна в интервале ( — Гь Г!), откуда вытекает, что существует дуга Ь, вдоль которой Ч возрастает и это, как бьшо показано, противоречит второму началу. Все Вг, следовательно, необходимо равны нулю, что и доказывает теорему Каратеодори.
Физический смысл переменных О и т) до снх пор остается невыясненным. Необходимо поэтому ввести новое понятие — температуру. П)млк СИСТЕМЫ, НАХОДЯЩИЕСЯ В ТЕРМИЧЕСКОМ РАВНОВЕСИИ ПШ.4.1. Понятие температуры. Нулевой закон термодинамики*. Определение 5. Две замкнутые простые системы, разделенные адиабатной перегородкой, находятся в термическом равновесии, если при замене адиабатной перегородки на диатермическую состояния систем не меняются. ' Основное свойство, которое позволяет ввести понятие температуры, часто называется «нулевым законом термодинамики».
Две системы, находящиеся в термическом равновесии относительно третьей, находятся в термическом равновесии между собой. Точнее, равновесные состояния системы, находящейся в термическом равновесии относительно некоторой системы в заданном состоянии, образуют в Уэ и-мерное подмногообразие вГ, называемое изотер- ч Закон транзитивности теплового равновесия.— Прим. ред.
мическим, которое будем считать связной регулярной гиперповерхностью с непрерывно вращающейся касательной плоскостью. Такие гиперповерхности е можно представить уравнением вида сопз1, где т а(Х Х ° Х ). (9) Таким образом, т — функция состояния. Соотношение (9) определяет шкалу температур, а т — температура системы в состоянии у„уо ..., у., принятой шкалы температур. Очевидно, что если т — шкала температур, то т'=1(т) — также некоторая шкала температур, причем изотермические гиперповерхности одинаковы для обеих шкал, Известно, что этот принцип и определяемое им понятие температуры позволяют дать характеристику некоторых частных систем, таких, например, как термометры и термостаты. Первые служат для измерения значения т (не внося заметных изменений в состояние иаучаемой системы); вторые дают возможность поддерживать систему при постоянной температуре (несмотря на происходящие в системе процессы).
ПП1.4.2. Обобщение второго начала на термически простые системы. Определение 6. Сложная замкнутая система Х называется термически простой, если все составляющие ее простые подсистемы Х, имеют одну и ту же температуру, При изучении различных состояний простой термической системы из процессов, рассмотренных в П1П.1.2, следует отобрать только те, при которых составные части остаются при той же температуре и в конечном состоянии. Это условие легко сформулировать, если в качестве одной из переменных, описывающих состояние системы Е, выбрать именно т.
С помощью т можно также описывать состояние каждой из подсистем Хо Второе начало (продолжение). Второй закон (начало) термодинамики является справедливым для термически простых систем. Теперь можно доказать следующее важное утверждение. Теорема 2 (Карно). Существует универсальная шкала температур Т, называемая абсолютной температурой, и для всякой простой термической системы — некоторая функция состояния 8, называемая энтропией, для которой (1О) Кроме того, энтропия объединения простых термических систем равна сумме энтропий каждой из этих систем.
Поясним сначала утверждения данной теоремы. Заметим прежде всего, что для любой другой пары Т'- и 3' равенство (10) будет иметь место только тогда, когда Т'=а 'Т, 5'=а5+Ь, где а и Ь вЂ” некоторые постоянные. Из определения 5 вытекает, что абсолютная температура Т никогда не может быть равной нулю. Таким образом, ее всегда можно считать положительной, Числовой множитель можно зафиксировать, если принять при нормальных условиях разность температур тающего льда н кипящей воды рав- ной 100.
Тогда энтропия 5 определяется с точностью до адднтнвной постоянной*. При таких уточнениях абсолютная температура и эн- тропия (нлн по меньшей мере разности энтропий) имеют универсаль- ный характер и вполне определены. Таким образом, теорема Карно уточняет теорему Каратеодори. Из теоремы Карно видно, что 0 в соотношении (7) — температурная шкала, и что шкале 8=Т н, следовательно, переменной Ч=З„ определяющей те многообразия у, которые нз очевидных соображе- ний назовем нзоэнтропнйными, можно придать универсальный ха- рактер.
Отныне всякий процесс, который является и обратимым и адиабатным, будем называть изоэнтропийным. Приведем теперь основные этапы доказательства теоремы Карно. Рзссмотрям простую термическую систему Е, состоящую нз двух подснстем Ев и Ев. Каж- дая нз этих подсистем определяется следующими параметрами: ЕЫХе 'г> Хь " Х» Ев:Чв г, Чв " Чю, Е4м щ $„".,йюр «+я+). Один нэ параметров системы — температура т, в некоторой температурной шкале. Что касается переменных Ха, Чв, св, то нх существование обеспечивается теоремой Каратеодорн; следовательно, элементарные обрзтнмые притоки теплоты можно записать в такой форме; Фв= МГ(хв, т " Хе)бхв Фв~™в(чв т ".
Чм)бчв >Ь Мйв> т>" йг>)бйв Ив ахднтнвностн внутренних энергий следует, что М бй,-М,бх,+М,бвв нли, так как М отлично от нуля, р=м-в, то с%е=рМв бХв+РМв бЧ' Из этого равенства прежде всего можно сделать вывод о том, что произве- дения рмв н рмв зависят только от Х„н Чв. Точно так же обстоит дело и с отношением М,мв ~, откуда следует, что Мв (Х .
т, Х, ", Х ) - Мв (Ч, т, Ч, ", Ч;) а (Х, Ь) Твк как пеРеменные Хв, ..., Х„, Чв, ...,Ч„, независимые величины, то отсюда следует, что Мв зависит только от Хе н'т, т. е. Мв (Хв, т); аналогичным образом, Мв — функция только переменных ти н г, т. е. М, (Чв, т). С другой стороны, для фиксированного значения т=т, имеем Мв(Хвд т) Мв(Хв тв) Мв(т)в. г) Мв(чв тв) ' так как отношение Мв/Мв завнснт только от переменных Хв в Чв.
Следовательно, Мв(Хв т) Мв(Чв т) м(х тй м(ч ° Поскольку Ха н Чв — независимые переменные, то каждое нз написанных отношений не зависит от Ха н г)в и является, таким образом, функцией т (т) только одной переменной ч, н можно написать (тх — постоянная), что Мд =*ш (т) ав (Хв) Мв щ (т) ав (ти) в Иэ соображений, на которых не будем здесь останавливаться> иногда полагают 5=0 для предельного состояния прн Т вЂ” О. вх ге гага 337 откуда имеем М ш (т) — бй = (Хз)буз+аз(пе)бЧ.
Правая часть является точным днфференцналом н, следовательно, левая часть — также, н можно написать. что М пв (т) о (1е). Если теперь 8з(ке) н 8з(пз) определим соответственно как первеобразные функцнн оз(те) н аз(пз), то получим а(Ы бйе=б8з+б8з. Существует, таким образом, первообраэная 8($е) функции а($е), для котароа 8=81+8з. Выбирая 8ь 8з н 8 за новые независимые переменные вместо уз, Че, яз соответственно н обозначая через Т ш(т) новую шкалу температур, которая введена прн доказательстве, находнм, что элементарные обратимые прнтокн теплоты здесь таковы: ф,=тб8„ф,=тб8,, ф=рг+р, та8. Теорема, таким образом, доказана.
П111.4.3. Примеры — идеальный газ. Рассмотрим простейший случай — газ (заключенный, например, в трубу с поршнем). Термостатически данная система определяется двумя переменными, например: своим удельным обьемом т', который, по определению, есть величина, обратная плотности р(т=р '), н давлением р, характеризующим силы внутреннего взаимодействия. Заметим, что константы т н р характеризуют состояние некоторого газа, который предполагается однородным.
Отсюда необходимо следует, что все внешние силы, действующие на расстоянии (которые в общем случае обозначим через у), пренебрежимо малы. Многообразие Уо в этом случае †плоскос (т, р). Определенне 7. Идеальным называется газ, подчиняющийся следующим законам, которые можно подтеердить экспериментально для широкого класса обычных газов при нормальных условиях. Закон Мариотта Изотермы — кривые рт=сопв(. Иными словами, можно написать, что рт — )' (Т). (11) 3 а к о н Д ж о у л я. Внутренняя энергия является функцией только температуры. Можно, не ограничивая общности, полагать массу газа равной единице. Тогда.
внутреннюю энергию н энтропию, которые при объединении простых термодинамических систем обладают свойством аддитивности, можно считать удельными н обозначать через е н з соответственно. Закон Джоуля запишется тогда в таком виде: е= у(Т). (12) е Не следует опасаться путаницы между с — удельным объемом н т — переменной, использованной выше для температуры, так кан отныне будет систематически йспользоваться только абсолютная температура Т. Поставим теперь следующую задачу: используя результаты термостатики, уточнить вид функций )'(Т) и й(Т) и вывести отсюда иекото ые следствия.
Р режде всего заметим, что элементарная работа внешних сил в обратимом процессе и = — р ат, (1З) что следует нз теоремы о кинетической энергии (1т'.1.2) (в обратимом процессе кинетическая энергия равна нулю) и из выражения для мощности внутренних сил ра1ч 0 — —, когда тензор напряр ат жений — шаровой. Следовательно, величина — р ат в точности равна элементарной работе внешних поверхностных сил в объеме т(например, при очень медленном элементарном движении поршня). Учитывая формулу (10), соотношение (6) можно переписать в такой форме: аа = Т аз — р ат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
