Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Такая прямая тем более не пересекается с С. Предположим теперь, что 1( р ( ~в — 2. Пусть С-множество, образованное элементами вида Х= Г-Е, причем г не принадлежит С, а Я принадлежит А; легко проверить, что зто выпуклое открытое множество, не содержащее начала (в противном случае С и А имели бы общую точку), но содержащее множество С, Пусть  — векторное (а — р)-'мерное подпространство, дополняющее А до множества 8„; С'-пересечеиие С' и В: С"=С'0В. В векторном подпространстве В, размер которого не превышает и — 1, можно найти (и — р — 1)-мерную гиперплоскость К, проходящую через начало и не пересекающую С", так как, по предположению, теорема считается верной для значений размера, не превосходящего а-1.
Рассмотрим (и — 1)-мерную гиперплоскость Н из 8„, порождаемую векторными подпространствами А и К, элементы которых имеют вид Я+ Т, где ЕЕ А, Т~ К. Такая гиперплоскость отвечает поставленному выше требованию. В самом деле, если бы гиперплоскость имела общую точку с С, то равенство Х+Т=К, КЕС было бы возможным. Но тогда К имела бы общую точку с С", что противоречило. бы построению этого множества.
Отсюда, в частности, вытекает следующее свойство. Свойство 9. Через любую граничную точку выпуклого множества проходит по меньшей мере одна опорная гиперплоскость. Это позволяет сразу же обобщить теорему 3, оставляя неизменным доказательство. Теорема 9. Замкнутое выпуклое множество из 8„идентично пересечению всех полупространств, которые его содержат. Точно так же формулировка теоремы 4 остается справедливой для любого конечного числа измерений.
~~ »а шз Теорема 10. Любая выпуклая замкнутая функция идентична поточечной верхней грани своих аффннных мннорант. Обратно, поточечная верхняя грань семейства аффинных функций есть выпуклая замкнутая функция. Доказательство такое же, как н в случае п= 1. Заметим также, что в точке Х, лежащей внутри дот(г), существует точная аффинная мнноранта. Сказанное справедливо для всех точек области боп»(1), кроме тех, где все опорные множества — «вертикальные» гиперплоскостн Ь(Г). Пусть У вЂ” одна нз таких точек. Рассечем ЬЦ) некоторой вертикальной плоскостью Р (двухмерное аффинное многообразие), проходящей через точку У, и пусть р — ее след на 8„; $ — точки, принадлежащие р.
В плоскости Р можно найти прямую А, уравненне которой Х +,— — Ь,($), для которой на плоскости Р 1(у) — Ь,(у) < з (теорема 4). С другой стороны, через А можно провести гнперплоскость Н (невертикальную), которая не пересекает й (Г), ее уравнение Х„+,— Ь(Х)=0, где Ь($)=Ь,(я). Таким образом, Ь(Х) — аффинная мйноранта функция 1(Х), которая прн Х= К аппрокснмирует 1(г) с точностью з; иными словами, 1(У) — Ь(г) < з. ПП.З.З. Сопряженные функции.
Преобразование Лежандра. Построение сопряженных функций легко обобщается на случай нескольких действительных переменных. Теорема 11. Если )(Х) †замкнут выпуклая функция из Е„, то равенство 1' (Х') зпр [Х Х'-1 (Х)1 (8) определяет некоторую замкнутую выпуклую функцию('(Х»), называемую сопряженной ~(Х). Функцией, сопряженной функции 1'(Х'), будет сама функция 1(Х). Установленное соответствие между 1(Х) н 1'(Х') во множестве замкнутых выпуклых функций называется инволютивным (нлн ннволюцией). Прн любых Х и Х' имеем 1(Х)+г" (Х'))Х Х'. Если для некоторой пары Х и Х' имеет место равенство, то Х'— субградиент функции г(Х) в точке Х, а Х, в свою очередь, субградиент функции )' (Х') в точке Х'.
Отметим следующее очевидное свойство. Свойство 10. Если 1,(Х,) и г»(Х») две выпуклые замкнутые функции, для которых )',(Х) ~()»(Х), то Д(Х') ~()» (Х'). Для функций, приведенных в ПП.1.2, сопряженные функции вычисляются без труда. Заметим, в частности, что функции из примеров в) и г) образуют пару замкнутых выпуклых н сопряженных функций. Следующая теорема дает простой способ построения выпуклых функций. Теорема 12. Если д (г) — выпуклая неубьпиющая функция действительной переменной г, ~р(Х) — выпуклая функцня на 8„, тогда функция 1=уО<р или 1(х) =у[р(х)1 (О) является выпуклой функцией переменной Х.
Действительно, если 2, и р — два положительных числа в сумме равные 1, то 21(х)+и1 (х') =)1д[р(х)1+ру[р(х)~>у[)ир(х)+)ир(х)1, так как функция у(г) — выпуклая. С другой стороны, йлр (х) +)ир (х') > р Рх+ их'), ибо функция и(Х) — выпуклая, и так как у(г) — неубывающая, то имеем М (х) + р1 (х') > 1(хх+ их'). В частности, выпуклой будет функция ~ Х ~, следовательно, у(~Х!) также выпуклая, если сама функция у(г) — выпуклая и неубывающая при г>0. В общем случае функцию й(Х), выпуклую, замкнутую и положительно однородную первой степени, неотрицательную и равную нулю при Х=О, иногда называют калибровочной Функцией (нздграфик Л(я) является, конечно, выпуклым конусом в 8„+,).
Пусть у(г) — выпуклая замкнутая функция, для которой богп(у) — интервал 0 <г<р, в котором у(г) не убывает (рчьО, но может быть бесконечным. Тогда функция 1(х) =у(й(х)) (10) замкнута и выпукла; она называется кваэиположительно однородной функцией.
К атому классу функций относятся, например, диссипативные функции, рассмотренные в главе ЧП. Поставим задачу определения сопряженной для такой функции. Прежде всего заметим, что если ограничиться лишь значениями д'(г') и д(г) при неотрицательных значениях переменных (обозначим их через у'(г') и д(г)), то одна функция определяется через другую по формулам: у'(г')=зпр(гг' — у(г)), у(г)= зпр(гг' — д*(г')), (11) а> 0 г~>0 причем д'(г') при г' > 0 — неубывающая. Введем также калибровочную функцию й'(Х') (поляру калибровочной функции в(х)), равную нижней границе чисел $>0, удовлетворяющих соотношению х х <<Р(х).
(12) То обстоятельство, что й' (Х') — калибровочная функция, подтверждается тем, что йо(0) =О, й'(аХ')=И'(Х'), если 2,— положительное число, а функция И(Х') — замкнута и выпукла. Заметим, что надграфики функций й(Х) и И(Х') — два взаимно дополняющих конуса, если базисы 8„и 8„' — ортонормированы и если 8„' отождествляется с 8,.
323 Таким образом, имеет место теорема. Теорема 13. Замкнутая квазиположительно однородная выпуклая функция ~(Х)=й(й(Х)), где д(г) — выпуклая замкнутая невозра- стающая функция, й(Х) — калибровочная функция, имеет своей со- пряженной функцию 1' (Х') = л' (я" (Х')), где яо(Х')-калибровочная поляра функции й(Х); д'(з') — значения при г'> О функции, сопряженной с у(г), причем д'(г') сама явля- ется замкнутой выпуклой и невозрастающей.
В самом деле, 1' (Х') = зпр [Х. Х' — л(я (Х)11. Если задан некоторый вектор Х', то всегда имеет место неравен- ство (12): Х Х' — й" (Х') я(Х)(0 и всегда существуют такие Х, что левая часть будет сколь угодно мала. Следовательно, 1' (Х ) = зпр 1я (Х) И (Х ) — л (й (Х))1 = зи р ай' (Х ) — д (г)1, к и теорема доказана, если учесть равенства (11). П1!.3.4. Выпуклые дифференцируемые функции. Если выпуклая функция 1(Х) дифференцируема в точке Х, то ее субднфференциал содержит только один субградиент, который равен градиенту функ- ции 1(Х).
Обратно, если в каждой точке некоторой внутренней части бот ()) функция 1(Х) имеет только один субградиент, то он непрерывен, а функция )(Х) в атой области непрерывно дифферен- цируема. Нетрудно установить обобщение теоремы б. Теорема 14. Дважды непрерывно дифференцируемая в открытом выпуклом множестве С из 8, функция 1(Х) является выпуклой на С тогда и только тогда, когда матрица чисел ахи дл) дХ дХ в каждой точке С положительно полуопределена.
Замечание. Функция 1(Х) является строго выпуклой в случае (н только в том случае), когда в каждой точке С матрица Я, положительно определена. Доказательство очевидно, если рассмотреть значения д(Х) функции ((Х) только на одном сегменте из С, точки которого определяются уравнением Х= У+ХЕ, где Г и У вЂ фиксирова, а 1, меняется. Действительно, д" ®= О„(Х) г,г,, и теперь достаточно применить теорему б, чтобы получить нужный результат. 324 П11.3.б. Частичное сопряжение. В заключение рассмотрим весьма важный для изучения термодинамического потенциала (ПП1.7) случай, когда преобразование Лежандра проводится только по части переменных.
Запишем функцию 7(Х) в виде г(Х)=ф(У, 2), где У и Х вЂ” элементы двух взаимно дополняющих подпространств пространства Е„с размерностями р и и соответственно; п р+Ч. Пусть г(Х) †замкнут выпуклая функция; частично сопряженная ей функция определится соотношением ф(у», я)=энгр[у у' — <р(у, 2)]. Из сказанного выше следует, что функция ~р(у», 2»), полученная при фиксированном значении 2= 2», является выпуклой функцией переменной у». Более общего заключения относительно выпуклости функций <р(у", Я), когда у' фиксирован, без дополнительной информации сделать нельзя.
Это становится понятным, если предположить е и е дважды дифференцнруемымн и рассмотреть выражение Н(У, У', Х)= р(У', К)+р(У, К) — У У. Очевидно, что Н вЂ” всегда неотрицательная функция. Далее, для данного У, У=У» существуют значения У' н К, при которых Н=О. Для таких значений К(У», Х~=Н(У», У», К) минимально. Тогда первый дифференциал К равен нулю, а второй.— неотрицателен. Если при фиксированном К изменять У', то ог К срьр, н, следовательно, вновь видно, что и является выпуклой функцвей переменной У' (при постоянном 2). Если же изменять только К (при фиксиро. ванном У»), то йзвК = длф+ йхо.
Однако йалф — квадратичная неотрицательная форма от йа, откуда следует, что йюр ) (дг<р). Это неравенство не позволяет утверждать, что йхм является знакоопределенной квадратичной формой. Предположим теперь, что функция ~р(у», Я) — выпуклая в у (при фиксированном 2) и вогнутая в Я (при фиксированном у'). В этом случае ф является выпукло-вогнутым «седлом». Рассмотрим теперь функцию Ч'(у, Я), определяемую равенствами д(Х)=Ч'(у, Я)=зпр[у у» — ю(у', 2)1. т Легко видеть, что д(Х) — выпуклая функция переменной Х.
Действительно, если ), и р — два положительных числа, равные в сумме единице, то д() Х+рХ') =Ч~() у+ру', ) 2+рХ') = зпр((Ху+ру).у -Ф(у, ) Е+ру'И. 326 С другой стороны, р(), и+рай')>ър(), я~+рр(у", г'). следовательно, (ХГ+рУ') У' — ~р(У', ХЯ+рУ') (А[У Г' — <р, У)]+ + р [)" ) — ~ (р', г')1. После проведения операции зир получаем, что 1 ° я(ХХ+вХ') (~ Хд (Х)+щ(Х'). Использовав условие замыкания (регулярности на краях), кото- рое не будем уточнять, можно показать, что д(Х) тождественна исходной замкнутой выпуклой функции. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между 'выпукло-вогнутыми функциями Ч~(У', Я) и подмножеством замкнутых выпуклых функций г(Х).
На этом закончим рассмотрение выпуклых функций, которые могут быть полезными для углубленного понимания приложений, изучаемых в данном курсе. ПРИЛОЖЕНИЕ РП ТЕРМОСТАТИКА СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Содержание Представляется полезным объединить в этом разделе основные положения термостатики, которые получают свое естественное обобщение в термодинамике, при условии, конечно, что термодинамика основывается на методе локального состояния. Напомним еще раз, что глава Ч11 и рассмотренные в главе Ч111 приложения могут прорабатываться независимо от результатов, даваемых в данном разделе, если принять (иапример, в качестве аксиом) все определения и свойства вводимых термодннамических величин. Основная задача данного раздела — показать, каким образом могут быть введены и согласованы такие фундаментальные понятия, как внутренняя энергия, температура, энтропия и другие, на основании небольшого количества определений и принципов, формулирующих и систематизирующих опытные данные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
