Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Случай, когда по меньшей мере два нз собственных значеннй равны, не является нсключнтельным. Если Т вЂ” тензор вращения, то и также будет тензором вращення, к с учетом соотношення (75) можно положнть Фа=О. Если тензор Т— шаРовой, то г — также шаРовой, н можем пРинЯть Фз=чз=о. В самом деле, в обоих случаях нужно удовлетворить только двум нлн одному нз соотношеннй (75), н для втой целы можно нспользовать многочлен о(х) соответственно первой нлн нулевой степени.
Предположим, что в отображении (71) г — линейная функция Т или, что то же, У, — линейные функции Тр . Тем же способом, что и выше, можно доказать, что главные йаправления тензоров У и Т совпадают. Последние этапы доказательства могут быть значительно упрощены, так как в этом случае в соотношении (75) д †линейн функция только от (; и Т,: Уз=)Т, +2Р( ()ь и р — числовые константы). В этом случае имеем, следовательно, очень простой результат: )г = ).Т,!+ 2)ьТ. Иными словами, в любом ортонормированном базисе (77) У, =ХТааб~ +2рТ~ . (78) Замечание.
Оператор, который реализует линейное отображение Т У, является тензором четвертого ранга; из соотношений (77) и (78) немедленно следует, что тензор четвертого ранга с компо,нентами (урз = й~уубяз+ р (6„6)з+ 6/ бы) (79) является именно этим тензором. Он зависит от двух действительных параметров Х н р и может быть получен перестановкой индексов и линейной комбинацией тензорного произведения единичного тензора на этот же теизор: 7( ихч = (г7 га = ((бауер = 7(рзц.
быбязе,®е зи ®ез. Заметим, что данный тензор имеет одни и те же компоненты в любом ортонормнрованиом базисе н удовлетворяет соотношениям симметрии: П1.6. ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА П!.6.1, Определения. В векторном евклидовом ортонормированном пространстве с осями Ох, и направляющими единичными векторами базиса е, операторы йгад, йч; го1 элементарно определяются своими компонентами. Оператор йгад, по определению, ставит в соответствие функции точки (или скалярному полю) ф(х„хн х,), имаощей производную в любой точке области Ю, функцию точки с векторными значениями (векторное поле), по формуле йгад ф = ф,еь Оператор йч, по определению, ставит в соответствие векторному полю А(х„х„х,), дифференцируемому в Ю, скалярную функцию точки по формуле д!ч А=А~ ь Оператор го1, по определению, ставит в соответствие этому же векторному полю векторное поле го1 А = з,~э Аь.
тес Оператор Лапласа А (лапласиц) скалярного или векторного поля определяется формулами Ьр = д(ч (йгад ф), ЬА = (ЬА ) еь Полезно знать следующие тождества, которые легко проверяются и могут быть выписаны для любых функций, имеющих указанные производные: йч (го1 А) = О, го1 (игад ф) = О, йгад (фф) ф йгад ф+ ф йгад ф, йч (фА) = ф йч А+ ягад ф А, го1(фА) фго1А+йгадфЛА, йч (АЛ В) = В го1 А — А го1 В, го1 (го1 А) = йгад (йч А) — АА. Известно, что ягадф может быть введен независимо от выбора системы координат с помощью понятия производной по направлению; если ф — непрерывно дифференцируемая в окрестности данной точки области йр функция, « — единичный вектор, то производная ф по направлению и равна ф,~и~ — — «.дгадф.
Выше (1Ч.2.1) это определение распространено на непрерывно дифференцируемое векторное поле А; в этом случае йгадА — поле тензоров второго ранга, компоненты которых Аь~, такое, что производная от векторной функции А по направлейию « — это вектор с компонентами Аь~иг. 303 Напомним теперь, что дивергенция векторного поля А является также следом градиента этого поля: йч А 1г(йгай А). Аксиальный вектор, соответствующий йгайА (П1.3.36), с компонентами '(«з, „Аь совпадает, очевидно, с вектором «/«го1А.
В общем случае градиент непрерывно днфференцируемого тензорного поля Т (х, х„х,) ранга а является тензором ранга а+ 1. Если, например, п=3, то компоненты йгад Т=Т, м;, таким образом, йгай Т=Тц,,е,®)егзе„(3е, (81) и, следовательно, производная тензора Т по направлению а имеет компоненты Т, „,,иг Дивергенция поля Т вычисляется сверткой по двум последним индексам: в данном примере йч Т вЂ” тензор второго ранга с компонентами Ты« м Заметим еще, что если г †единичн тензор (второго ранга), а <р-скалярное поле, то йч (~р4=йгаб ~р.
Введенные определения позволяют записать некоторые из уравнений, представленные ранее своими компонентами, в форме, не зависящей от выбора системы координат. Так, общее уравнение движения сплошной среды (111,8) может быть записано, как уже отмечалось, в виде Уравнение (1.П,б) может быть переписано в таком виде: —, (ро) + йч (р0® 0- У) П1.6.2. Днадные обозначения. Запись выведенных операций можно упростить, если ввести символический вектор 7, называемый зачастую «набла>-оператором, компоненты которого операторы — частные производные по переменным х„х„х„обозначаемые через д„ д„ д«. При таком обозначении йгай~р=р~р, йчА=ч А, го1А=уЛА.
Компоненты У~Р, УЛА Равны соответственно дРР и з, адгА„пРоиззедение у-А-скаляр д,АР В диадном представлении лапласнан ~р запишется в виде ЙР Ч 7<Р= 7'Ч> Оператор набла можно использовать для определения градиента векторного или тенэорного поля чТ=йтай Т, или в развернутом виде [Т вЂ” ттгг же тензор, что и в формуле (81)1: 7Т=дгТпэе18е Эеээег. (82) Дивергенция тензора Т может быть записана в следующей форме: с[[у Т=7.Т=дэТ1уэе18е Т, а, эе,эеу, (83) и если А — некоторый вектор, то гэА=7 7А. Замечанне. Как правило, для производных используются нндексные обозначення, поэтому было естественным определить граднент по формуле (81).
Производная тензора Т по направленню а — тензор с компонентамн Тмэ, гяг, который с нспольэованнем ннварнантных обозначений запишется в ваде втаб Т и. Впро. чем, это определение согласуется с обшнм определением, взятым за основу прн введеннн понятия тензора: тенэор четвертого ранга с компоневтамн Змд является оператором, который ставят в оютветствне вектору А тензор третьего ранга: ЛмэгА~ [(см. П 1.2.1, П 1.2.2 н формулу (29)[. Некоторые авторы берут за определение граднентз тензор, полученный перестановкой индексов у выбранного тенэора, т. е. дгТЫэе, ф ег ® ег 1Я) еэ С использованием введенных обозначений формулы (80) перепн- шутся следующим образом: 77ЛА О, 7Л7'Р=О> 7 (фф) = ф7ф+ ф77 7 (фА)=~р7 А+7~р А, 7Л(ФА) =<Р7ЛА+7фЛА, 7 (АЛВ)=(7ЛА)  — А 7ЛВ, 7Л(7ЛА)=7(7 А) — 7*А И наконец, удобно ввести оператор (А пгаг[) или (А 7).
Если А †заданн вектор, то вводимый оператор †тенз, который ставит в соответствие векторному полю Х с компонентами Х, вектор с компонентами А Хь у —— Ауд Хь т. е. (А дгад)Х=(А 7)Х АудуХ,е,=АуХг,уен В таких обозначениях уравнения движения (111,5) запишутся в виде [ср. с (1ш)1, что представляется естественным прн нспользованнн сбоэначення дг для производных. Прояэводная тенэорэ Т по направленню а будет нрн таком определенна градиента равна и ЧТ. Итак, как указывалось выше, важно точно знать, какому оператору соответствуют вводимые нлн определяемые тензоры. Полезно знать следующие тождества: го1(АЛВ)=ЧЛ(АЛВ) =(В 7)А — (А Ч)В+АЧ В вЂ” ВЧ А, (88) йгай(А В) =7 (А В)=(А.7) В+(В Ч) А+АЛ(7 В)+ВЛ(ЧЛА).
(88) Докажем, например, формулу (86). Компоненты выражения Ал(рдВ) аы»А)аар«В«, р Ф(барб/в — 61«б/р) АуВ«ра='А/(В/ 1 — В1 7), так что правая часть (86) — вектор с компонентами АгВ1 7+В7А1 7+А7 (Вр 1 — Ва 7)+В7 (Аг « — А1 7)= А7В) 1+В7А7 1=(А7В7) ь равный, таким обратом, вектору в левой части равенства. Если А=В У, то й (и 7) И-йгаб (ие)+8 го( и р,и. (87) Вто тождество испольэовано для аапнси ускоренна (11,6). (88) * Теорема Гаусса — Остроградского.— Прим.
парве, П1.6.3. Преобразования интегралов. Формулы преобразования тройных интегралов в двойные, которые будут использованы, довольно просто выводятся из следующей теоремы. Теорема. Если Ю-область, связ- ная или несвязная с кусочно-гладкой и л границей дЮ, на которой в любой ре,в гулярной точке можно определить единичный вектор внешней нормали а, ф (х„х„х,) — непрерывная функция в 0' вамкнутой области Ю+дЮ, имеющая первые производные в Ю, то имеет меХд сто следующее равенство: Рис. 1. ~рп,ба= ),~р1бп, (88) я~" '" 1 Кусочно-гладкая поверхность пред- ставляет собой замыкание объединения конечного числа поверхностей, нз каждой из которых касательная плоскость изменяется непрерывно. Граница может иметь «ребра» и «вершины», но в любых других точках, называемых регулярными, можно однозначно задать единичный вектор внешней нормали и.
Эту теорему примем без доказательства; ее, впрочем, легко до-' казать для частного случая, когда Ю- †цилин, образующие которого параллельны оси х, (рис. 1). Доказанное для случая цилиндра равенство нетрудно распространить и на рассматриваемые в приложениях области. Запишем формулу (88) для компонентов тензора Г)да Тыап,бо ~)и ТЫ»,, ПП. Эта формула имеет многочисленные приложения.
Принимая й=1 н суммируя по немым (повторяющимся) индексам, получаем теорему о дивергенции е: которую можно также записать в виде ф+бп=~ йгадф йгабфбо+~ фйфбэ. (91) Можно получить еще одно тождество (формулу Трина), если поменять местами <р н ф и вычесть почленно однб равенство иэ другого: Х ~„(ф-3 — ф,"~) б =~,(фйф— — файф) гЬ (99) рис. 2 С помощью той же теоремы преобразуем теперь поверхностные интегралы в криволинейные. Если поверхность Х вЂ” плоская (рис.
2) и расположена в плоскости П, ориентация которой определяется нормальным к плоскости единичным вектором Ф, то, применяя теорему Гаусса — Остроградского (в двухмерном евклидовом пространстве) к вектору АЛФ, по- лучим (Ф.го$А) до=)» А тбв, (93) так как брв(АЛФ)=й го(А, (АЛЬ) л=А (ЬЛга)=А ч. Первое равенство вытекает из тождества (84),; ч — единичный вектор касательной к кривой дЕ, ориентированный относительно й по правилу правого винта. Левая часть равна потоку ротора вектора А через поверхность Е, натянутую на контур дХ„а интеграл слева является циркуляцией этого же вектора вдоль дЕ. Если записать это равенство в декартовых координатах х, у на плоскости П, обозначая через Р (х, у) и Я (х, у) компоненты *Первее иа формул совпадает, очевидно, с (88). (~аз Тыапвбп )я Тыл, або.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
