Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Определение н элементарные свойства тензора второго ранга. а) Определение. Тензор второго ранга Т является линейным оператором, который всякому ее«нюру Г из Е ставит в соответствие вектор У из Е, Обозначим это линейное отображение Г- У следующим образом: тов из Е.
Положим В(У)= Я )/уЬ|, тогда булем иметь следующие равенства: ! ж л м и; у,эу- и; у! ч,' /.//ьр /=! ! ! ! ! иными словзмн, )/г' 2' Еу!г'/, 1=1, 2, ..., пь с ! Рассмотренный выше случай является таким, когда г" тождественно Е— некоторому трехмерному пространству. Последняя формула совпадает тогда (с точностью до обозначений) с формулой (29). Таким обрезом, (28) и (29) явля. ются обычнымн формулами линейной алгебры. Именно поэтому их системзтнчески используют в данном курсе (например, в 11.3.3), тогда кзк некоторые авторы прибегают к трзнспонироввнной матрице и звписывзют формулу (11,35), лающую линейное отобрвжеиие и- а в виде и!=ау!ир б) Векторное пространство тгнэоров второю ранга. Задание двух векторов А и В определяет тензор через линейное отображение (30) й — А(В эг).
Зтот тензор равен произведению тензоров А и В, которое обозначается А®В; произведение, очевидно, является линейным относительно обоих сомножителей, его компоненты в е, равны А/В, Тензорные произведения двух векторов образуют подмножество векторного пространства тензоров второго ранга (пространство девяти измерений), которое содержит, в частности, девять элементов е,® е/ (1, 1'= 1, 2, 3), линейно независимых в пространстве тензоров второго ранга [все компоненты е/® еу Равны нУлю, за исключением компонента (1, 1), равного 11.
Пространство линейных. комбинаций тензорных произведений двух векторов является, таким образом, тождественным пространству тензоров второго ранга. В частности, любой тензор второго ранга может быть записан в виде т- Т//е/Я е/. (31) Тензор, определяемый тождественным отображением, называется единичным и обозначается 1, он равен сумме: е,®е,+е,®е,+ + е,®е,. В любом ортонормироваииом базисе единичному тензору соответствует единичная матрица, а его компоненты равны символам Кронекера 6,/.
в) Билинейная форма, ассоциированная твнэору шпорою ранга. Равенство т(Х, )г) Х т()г) (32) определяет билинейную форму Т(Х, У) на векторах Х и г из пространства Е путем сопоставления этим двум векторам некоторого действительного числа (в силу линейности,Ф, с одной стороны, 284 и линейности скалярного произведения — с другой). Очевидно, что т(еь е)=т,, Т(Х, У) Т,гХ,У =ХтТУ, (33) если обозначить через Х матрицу-столбец с компонентами Х,, а через Хт транспонированную матрицу-строку. Обратно, задание билинейной формы Т(Х, г) определяет тензор второго ранга.
Действительно, зафиксируем значение Г, вектора У; Т (Х, 1;) — линейная форма от Х, равна скалярному пройзведению Х на вектор В„не зависящий от Х и зависящий, следовательно, только от Г„очевидно, что эта зависимость — линейная. Таким способом определяется тензор Т, соответствующий форме Т(Х, 1'); линейный оператор Ю (Г), определяющий данный тензор, удовлетворяет равенству (32). П1.2.2. Тензоры высших рангов. Понятие тензора второго ранга представляет собой обобщение понятия вектора, так как любой вектор А можно рассматривать как линейный оператор, ставящий в соответствие любому вектору Х некоторый скаляр по формуле (6). Таким образом, вектор можно считать тензором первого ранга.
Тензор третьего ранга Я определяется «ак линейный оператор, «оторый любому вектору У из Е ставит в соответствие тензор второго ранга йг. Таким образом, теизор третьего ранга определяется линейным отображением У Пг или Ю='э (У). Три вектора А, В и С определяют тензор третьего ранга, отождествляемый с линейным отображением: г А®В(С л'). Этот тензор обозначается через А®В® С.
Как и раньше, можно показать, что набор тензоров е,эе~($ е„ образует базис векторного пространства размерности 3' тензоров третьего ранга, и, следовательно, тензор Я можно записать в виде линейной комбинации: В=В, „е®е ®е,. Линейное отображение Х- Ю, использованное для исходного определения тензора третьего ранга, запишется в такой форме: йг;,= я;,ья„. Как и выше, любому тензору третьего ранга В можно поставить в соответствие трилинейиую форму, зависящую от трех векторов Х, Г, У из пространства Е; значения этой формы — числа 5(Х, Г, У): 3(Х, У; Х)-Е,.„Х,У,Х,.
Обратно, всякая трилинейная форма, значения которой †чис, определяет тензор третьего ранга, так как любому вектору Х эта форма ставит в соответствие билинейную форму от Х и У, определяющую тензор второго ранга Ф', линейно зависящий ог У. Очевидно, что следуя дальше этой методике, можно определить тензоры и-го ранга, где и†целое положительное число. 288 Условимся, кроме того, считать, что скаляр есть тензор нулевого ранга. Замечание. Можно также следовать более общему методу. Рассмотрим г векторных евклндовых пространств конечной размерности Е<'>, Е<'>, ..., Б<г>; Х<п, Аи' †векто нз ЕЮ.
Тогда г †линейн форма (Хн>, Х<н... „Х<?» «(Ан>,хо» (А<з>.Х<з» ... (А<с>.Х<«» заданная на Ео> Х Е<'> Х ... Х Е<" (линейное отображение Е<'> Х ... Х Ео> иа множество действительных чисел) и определенная заданием векторов А<'> ... А<'>, называется тензорным произведением А<м 8 А<з> Э ... Я А<'>.
Это элемент векторного пространства линейных форм на пространстве ЕпгЭЕ<з>®... ®Е<«>, которое называют >неизорным произведением данных ярос>иринста и обозначают Ен' Е'з> ®... ЭЕ<"'. ф аметим, что для любого г — линейного отображения Х пространства Е<'> Х Х Е<'> Х ... Х Е<"> на векторное пространство г существует и прнтом только одно линейное отображение М тензорного произведения Е«>ЭЕ<з>®... ®Е"> на р, для которого г (Х ', Х<з>, ..., Х< »=М (Х ><И)Л ' 8 ...<Р Х< ».
Пусть дано векторное звклидово пространство Е, тогда пространство Е<ЗЕЗ... >о>ч ... ® Е=с называют л-й тензорной степенью пространства Е; злементы етого пространства называются тензорами. П1.2.3. Замена базиса. Введенные объекты — тензоры, являются инвариантными величинами, т. е. они не зависят от выбранного базиса. Однако иногда нужно найти компоненты тензора в ортонормированном базисе е;, зная его компоненты в другом ортонормироваином базисе еь Иными словами, следует распространить иа тензоры результаты, найденные для векторов (П1.1.3).
Начнем с тензора второго ранга, который запишем для двух базисов: Т=Т;те< ее?=Т< е«Зе . Из формул (19) и (20) и линейности тензорного произведения вытекает, что е<®е< =Р„Р?,еазео е<®е,= Ра<Рце;Эи<', следовательно, имеем равенства Та< = Рь<РцТц Та< = Р<аР><Т<>« (34) которые можно также переписать в таком виде: Т<> Р< Та<Р 'и Т<? РмТа<Рц или в матричной записи: Т' = РТРТ, Т = РТТ'Р. (35) Эту же формулу (34) можно найти, используя билинейную форму Т (Х, Г), соответствующую тензору Т, и соотношение (33): Т;, =Т (еь, е<) = Т (Р>ме„Рцеу) = Р„<РцТ (е„иу) Р„<РцТц.
266 Нетрудно убедиться в том, что в любом базисе единичный тенэор представлен единичной матрицей. Формулы (34) легко обобщаются на случай любого тензора и-го ранга, например: Я Я'цее,"эе) Зеа-Яцае,®еуэеа, (36 ( ) Яг)» РгрРуеРа Яре ° Яца РргРеуРгаЯаа ° Формулы (22), выведенные для вектора, представляют собой частный случай полученных формул при п=1.
Обратно, если множества, состоящие из 3' чисел Я, а и Яг)ы связаны соотношениями (36), то их можно рассматривать как компоненты одного и того же тенэора Я в базисах е, и е), причем переход от базиса к базису определяется соотношениями (19) и (20). Для доказательства достаточно убедиться в том, что Яцае,®еуеее Яг)вел ®в) ®еа. Последнее равенство очевидно, если учесть формулы (21), отражающие ортогональность' матрицы Р. П1.2.4.
Тензорные операции. Основная идея, которая используется в этом разделе, такова: всякая линейная операция над тензорными произведениями векторов может быть сразу же распространена и на порождаемые в результате тензорного умножения теизоры. Это утверждение следует непосредственно из замечания в конце П!.2.1. а) Тензорное умножение..Понятие тензорного произведения было дано в замечании к П1.2.2. Рассмотрим тензор третьего ранга А3ВгзС, определяемый тремя векторами А, В, С, и тензор второго ранга Р® Е, определяемый векторами Р и Е. Естественное определение тензорного произведения этих двух тензоров таково: (А®В®С)®(Р®Е) А®ВЗСЯРЗЕ. В силу линейности операции ® ее можно распространить и на случай линейных комбинаций тензорных произведений, т. е. на случай тензоров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
