Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Ограничимся случаем, когда фиксированное значение момента М достигается при монотонном возрастании нагрузки от нуля. Если, как сказано, $ определяется на основании уравнения (61), то все точки, для которых ~ х,~ < й, остаются в упругой области, и поле перемещений в этих точках описывается формулами (24) и (25), если заменить в них М) ' константой С.
Вдоль нейтральной линии при х,=О, х;=О имеем 1 С а ха 2 2Е«2Е Кривизна средней линии этой упругой «сердцевины» или «ядра» ( — $ < х, < $) )т ', где )т' Е$ В упругопластической области при М, <М <М, зависимость изгибающего момента от кривизны выражается уже не формулой (26), а нелинейным соотношением 11Рч ! (63) з )71) ' )7 е» ' в котором гг.' — кривизна нейтральной линии при М=М . На рис. 12 показан график зависимости М от кривизны.
Видим, что при стремлении М к М, кривизна бесконечно возрастает. Точки, расположенные в областях (хД > $, находятся в пластической зоне. В силу уравнения (61) упругой режим для таких точек сохраняется до тех пор, пока М меньше значения М, 2йпаа(1 — ( — ) ~, (б4) при котором С ха 'й. Перемещение в этот момент определяется формулпии (24) в (25), если заменить 7-»М на х, 'М составляющие перемещения равны: д а а а тй ай 2Ех, — (х,+т(х,— ха)), — х„— ха.
Е ' Е Прн дальнейшем возрастании момента (М > Ма) тензор напряжений не ме- 257 9 ю !«тз няется. Производная от тензора скоростей деформаций определяется простымв равенствами 2ЛД ° Лй е О, е~з езз езг=б, езз —, ем зи — во, 3 в которых Л вЂ” полояштельная скалярная величина с произвольной зависимостью от времени Ь Таким образом, получаем, 2)л Лй Х = —,Х,=Х 3' ' ' 3' Точно так же, как и в случае чистого растяжения, перемещение не может быть определено однозначно. Ках только М превышает значение Мт (бд), соот- ветствующее волокно переходит в состояние пластического течения, и (в рамках схемы упруго-идеально-пластической среды) деформация волокна становится про- извольной. Одно из таких полей, отвечающих условиям постановки задачи, может иметь, например, такую форму: й М вЂ” М, Хг (хзз+т (х1 хз)) хи 2Ех, 3 Еьч тйх, а М вЂ” Мг чйхз 2а М вЂ” Мг Хз= — — — х,; Хз= — — + — — ха, Е 3 Еьз ' Е 3 Едз где и †безразмерн константа.
В атом случае неопределенная величина Л равна: а Л= — М. Ейзз Цель проведенных рассуждений — показать, что рассмотренное решение удовлетворяет всем условиям задачи. Основной результат исследования — формула (63), которая комментировалась выше. Х.2.4. Кручение круглого вала. Вернемся к исследованиям, проведенным в Х.1.8, и начнем с определения условий, при которых полученное решение (40) и (43) оы=охз=оз =ива=О, огз= рссхз ою рсзхг М = — ааа пр 2 остается справедливым в том случае, что все точки вала продолжают оставаться в упругой области.
Тензор, компоненты которого даются в (65),— теизор простого сдвига; максимальное касательное напряжение равно раг (г — расстояние точки от оси). Видно, что максимальное значение раса достигается на боковой поверхности. Тогда, согласно критерию Треска, должно иметь место неравенство 2рсга < й, где А — предел упругости среды при чистом растяжении. В соответствии с критерием Мизеса рзазаз < —.
3 Итак, для обоих критериев условие текучести будет иметь вид Рсгп < й'. (67) Выбор критерия влияет лишь иа связь между л и й. Материал вала целиком будет находиться в упругой области [в соответствии 253 Нетрудно показать, что определенное таким образом поле напряжений является непрерывным, имеет непрерывные производные, удовлетворяет уравнениям равновесия и условию Р=О на Х„не превосходит предела упругости при г <р и подчиняется критерию пластичности в зоне р<г<а.
На торце Е, приложенные поверхностные силы образуют, очевидно, пару сил с моментом, параллельным оси х„который легко рассчитать: М= ( (хрйа — хаога)бо=2я~ ( габг+й ( гас(г, или что приводит с учетом (69) к равенству М вЂ” пуаа(! — 4 ( а ) ). (70) Такова формула, определяющая за пределами упругой области нелинейную связь между крутящим моментом и углом закручивания на единицу длины а '. Это соотношение представлено на рис. !3. Предельный момент М = — пдаа. й г з (71) Когда М М„угол закручивания и бесконечно растет. Не будем проводить полного исследования поля перемещений. В упругой сердцевине уравнения (38), описывающие поле переме- ' Точнее, а †уг аакручнванни упругой сердцевины.
с (66)1, если И М < М„М,= — даа, (68) гй Если М слегка превосходит М„то можно рг„, (из соображений симметрии и по аналогии с предыдущим) предположить, что вал содержит упругую «сердцевину» (О < г < р) и ан а «кольцо» (р < г < а), находящееся в состоя- рис. !З. Зависимость мемнии пластического течения. Поле напряже- ду крутапгнм моментом н ний в упругой зоне будет по-прежнему опи- углом закручивании сываться уравнениями (65) со значением а, определяемым из равенства Ргар = вг1 (69) так как на цилиндрической поверхности 'г =р достигнут предел упругости.
Максимальное касательное напряжение в зоне пластического течения равно 8. Можем принять теперь, что х, хг пг«=о»а=о»а=па»=О, ага~ у . е па»=+у щений, остаются справедливыми. В части р < г < а среда находится в режиме пластического течения, однако постулируемая теоретическая схема не обеспечивает однозначного определения поля перемещений как функции времени.
Х.2.5, Сферический резервуар. Вернемся к задаче, рассмотренной в Х.1.7, и начнем снова с определения области применимости найденного решения. В каждой точке тензор напряжений является тензором вращения, т. е. суммой одноосного и шарового тензоров. Критерий Треска и критерий Мизеса приводят к одному и тому же результату.
Так как а, > о„ то критерий текучести записывается в такой форме: Р < Р., р. = —, й (1 — я.) . (72) Итак, р, будет тем больше, чем меньше отношение гЯ, или чем больше относительная толщина (Р— г)/Р. Этого и следовало ожидать. Однако, очевидно также, что имеется какой-то предел, когда дальнейший расход материала на утолщение для увеличения значения р, перестает быть разумным. Если р > р„, то по соображениям симметрии будем иметь упругий внешний слой $(р<Р, охватывающий зону пластического течения г(р($. Исследование этого вопроса перенесено в упражнения (задача 22). Заметим лишь, что в пластической зоне по критерию пластичности имеем и,— о,=й.
Согласно уравнению равновесия (31) в этом случае а,=2й!одр+с, (73) где с — константа, которая может зависеть от $ и которую предстоит определить так, чтобы переход от построенного решения к решению в упругой зоне был непрерывен. Здесь интересно только определение предельного давления ра при котором резервуар целиком находился бы в состоянии пластического течения ($= Я). Так как в этом случае должны иметь место равенства о, (г) — р„о, (Р) О, то в силу (73) р, = 2й!од — .
(74) Очевидно, что при фиксированных г и Я имеем р, < рг Итак, рассматриваемый резервуар может выдерживать внутреннее 260 а,— о, <й, где й — предел упругости при чистом растяжении. Применив это условие к решению (35), получим брЬ < йр', и это неравенство будет выполняться в любой точке области г и" р ( Я, если брЬ < йг', или, учитывая (Зб), при условии давление, не превышающее рг Если давление повышается до р, и остается равным этому значению, то зона упругости исчезает — весь материал приходит в состояние пластического разрушения. Х.2.6.
Одновременное растяжение и кручение кругового вала. В предыдущих примерах рассматривались только случаи, когда имел место только один тип нагружения. Покажем' теперь на простом примере кругового вала радиуса а, подвергаемого одновременно растяжению и кручению, что напряженное состояние на самом деле зависит от предыстории нагружения в пластической зоне. Положим для простоты, что коэффициент Пуассона среды равен 1/2 (упругая несжимаемость), тогда Е=З1д. Рассмотрим поле перемещений, являющееся суперпозицией двух полей, найденных в Х.1А и Х.1.8: Ха = ека Х, = — 2 х, — ахаха Ха =а — 2 ха+ сдхдка, (75) е е где е и а — константы (зависящие, возможно, от времени), и поле тензоров напряжений п,д о;,=а„=О, о„о(г), а„— т(г) —, к, (76) ода ' т (г) г В упругой области из определяющих уравнений имеем о *З)дз, т )дга; и так как среда несжимаема, то эти законы относятся только к де- виаторам.
Например, девиатор напряжений имеет следующие компо- ненты: ка кд зав -$-д зеа эп Хд еда Од эдв — т — д еав т — ° Если используется критерий Мизеса (58), то предел текучестк достигается при выполнении условия ! о' / 4' ! ! т еа - з э. а'+ — — + -+ — = т'+ — э' 2 ЫЫ 2~9 9 9) 3 где й' — заданная константа — характеристика материала. Для удобства введем обозначения: !дФ 3 !два д р — е, д —, р а ' е р(р)= — =„', ()(р)- — '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
