Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(23) Решение можно попытаться построить «методом» подбора '. Полагая тМ М Ха =Е Х»Ха, Ха= — —.Х1Ха, (24) сразу же удовлетворим уравнениям (23)„(23)„(23),. Остальные три уравнения из системы (23) будут выполнены, еслй принять М Хг — 2е (ха+о (хг — ха)). (25) Итак, формулы (22), (24) и (25) определяют одно из решений задачи. С другой стороны, это решение единственное, при котором перемещение и вращение в точке 0 тождественно равны нулю. Если длина цилиндра 1 достатояно велика по сравнению с поперечными размерами, то физическую интерпретацию полученного решения можно расширить на основании (и в рамках) принципа Сен-Венана.
В этом случае можно считать, что поле напряжений (22) и поле перемещений (24), (25) те же, что и в балке, один конец которой — сечение Хе — жестко заделан, а к другому йриложена пара сил с моментом Ме (пара сил чистого .изгиба), находящимся на главной оси инерции сечения. Обратим внимание на некоторые важные следствия полученного решения, которые, в частности, оправдывают принятую терминологию. Предположим для определенности, что М положительно (рис. 6).
а) Можно убедиться в том, что волокна балки (т. е. линни, параллельные образующим), лежащие в области ха > О, сжаты, а волокна в области х, < О растянуты. б) Ось ОА (нейтральная линия) деформируется в параболу. В самом деле, обозначив через х координаты точки после деформации (х'=хг+хг), имеем: М а ха=о, х( = — ха, ха= х 2Е! а Более систематический метод указан в задаче Ч.16. Так как используется линейная теория упругости, то кривизна дуги параболы будет бесконечно малой, главная ее часть (в предположении, что 1 ограничено) равна 1 М м Е( (26) Этот результат взвестен как закон Эйлера — Бернулли: изгибающий момент яроиорционалги кривизна балки. Комйфициеит пропорциональности Вг называют жесткостью балки иа изгиб (относительно оси Охз). в) Сечение ал)л, которое в естественном состоянии находится в плоскости ха а, после деформации переходит в плоскость хз а (1 — — хт) а ~1 — -~-) 1 последнее равенство, где переменная хг заменена на х', обусловлено линейным характером классической теории упругости.
Эта плоскость перпендикулярна парабола, в которую перешла нейтральная линия. Все зги выводы имеют важное значение в теории криволинейных упругих сред (в сопротивлении материалов). Заметны, наконец, что для того, чтобы увеличить жесткость балки на изгиб Е! для фиксированного материала, необходиыо увеличить момент инерции Д Так как масса балки определяется площадью ее поперечного сечения, то целесообразно использовать такие формы сечения, которые при данной площади сечения дают ббльшие значения моментов /. Отсюда ясно, почему нз практике используют балки, сечения которых имеют вид Т, Е, В. Х.1.7.
Равновесие сферического резервуара под внутренним давлением. Речь здесь снова пойдет о регулярной задаче типа 11. Область 5 на этот раз шаровой слой, ограниченный двумя концентрическими сферами, радиусы которых г и )т(г ( гт). Снова считаем, что,К=О и что внешняя поверхность свободна от нагрузок (га= 0). Внутренняя полость наполнена газом под давлением, которое равномерно распределено по внутренней поверхности малой сферы (Р— рта), и-единичный вектор нормали, внешний относительнорезервуара, т. е.
направленный к центру сфер О (рис. 7). Так как область обладает сферической симметрией, заданные величины инвариантны относительно преобразования поворота вокруг любой оси, проходящей через О, то в любой точке М тензор напряжений не меняется при преобразованиях поворота относительно прямой ОМ. Обозначим через цг главное нормальное напряжение в направлении ОМ, а через о, †главн нормальное напряжение для любого ортогонального направления. Точно так же, без ограничения общности можно предположить, что перемещение Х(М) коллинеарно ОМ, так как величина Х зависит только от расстояния р точки М до центра. Итак, имеем ОМ=ри, (и)=1, г(р(Я; Х(М) =$(р)п, Х,=В(р) хи (27) где рй (р) и (р) (28) Далее, тензор напряжений можно представить в виде суммы шарового тензора оаб,у и одноосного тензора напряжений в направле- нии и, причем усилие растяжения или сжатия равно о,— о,.
Можно, таким образом, написать (задача 111.6) равенство оо —— о,бы + (о, — о,) и;и = о, (р) 6 +а (р) х,х, (29) в котором введено обозначение р' а (р) = о, (р) — о, (р). (30) Задача заключается в нахождении функций о,(р), о,(р) и $(р). резервуар под дзвлеПрежде всего выпишем уравнения равнове- нпем сия. Заметив, что Рз = х,х „(к(Р хубх~, (х;ху), у 4х„ дифференцированием уравнения (29) получаем (помечая производные по переменной р штрихом вверху): о, х,('" +ра'+4а), ~ Р Из соотношения (30) вытекает, что уравнения равновесия будут выполнены тогда и только тогда, когда о',+ ( ' и')=О.
(31) р С другой стороны, из формул (27) имеем 1 Х, у — — д(р)60+ — д х~хг $;,, поскольку (что легко проверяется) матрица вращения езы тождественно равна нулю. Сравнивая найденное выражение с (29) [с учетом (30)1, видим, что тензор деформаций является сферически симметричным, а его главные значения 1с учетом (28)] равны: а, $',е, (32) Заметим, что установленные формулы (31) и (32) можно было бы получить непосредственно, переходя в данном (очень простом) случае к сферическим координатам (П1Ч.2). Из определяющих соотношений вытекает, что о, = Л ~$'+ 2 — ~ + 2~4', о, = Л ~В'+ — ~ + 21з —, (ЗЗ) и, следовательно, согласно уравнению (31) функция $-решение диф- ференциального уравнения + р~+~ф ~$" + ( — „— — е)] =(Л+21$) ~ф'+-~ э.
О. Таким образом, объемное расширение $'+2р '$ — постоянная величина, равная Г+з~-3 . Р После интегрирования имеем $ ер+ -г. ь р (34) Здесь е и Ь вЂ” две постоянные, подлежащие определению из граничных условий. Поле напряжений (33) запишется теперь в такой форме: о,(р) (3)з+2р)е — +, о,(р)=(38+ 2р)е+ф.. (36) Граничные условия здесь имеют внд о,(зс)=О, а,(г) — р, так что (ЗХ+2р)н=ЗКа — г, нз-~ — — 1) * Р. 4рЬ 4рЬ /Нз (36) Итак, можно выписать полное решение: г' Гсз — рз о = — Р—— з рз нз зе з зз д)з+ ерз оз=РЗ— „з Нз — р з (37) Из этого решения видно, что величина о„(р) отрицательна и возрастает.
В радиальном направлении резервуар сжимается, причем сжатие стремится к нулю, когда р приближается к )с. Далее, аз(р) — положительно и убывает, т. е. в окружном направлении материал растягивается (рис. 8). И наконец, можно показать, что перемещение $ положительно и убывает, причем из соотношений (36) вытекает, что 2ЬР— 3) 2Ьсс а=в н, следовательно, производная выражения (34) отрицательна.
Х.1.8. Кручение цилиндрического вала. бЧ Вернемся к цилиндру, рассмотренному в Х.1.4 и Х.1.6. Предполагаем по-прежнему, что Г"= О, а боковая поверхность Х; свобод.зз „' на от нагрузок. На торцах Хз и Х, в дан- Л (з ном случае приложены усилия, которые со- 1 1 здают соответственно две крутящие противоположныа пары Ме, и — Мез (рис.
9). ! Для начала рассмотрим случай, когда поперечное сечение Ю является кругом радиуса а с центром на оси Ох,. Можно ожиРнс. З. Главные напрязнення в сферняеснон резер- дать, что Различные пРЯмые сечениЯ испы- вуаре под давленнен тывают относительно какого-либо сечения Рнс. 9. Кручение цилиндрического вала: и-пряпожеяяме усппяя; 6-ерещеппе прямого сеееяяя: е-опредепепяе вупяппп пепряжеяпа Е пв некоторый поворот, например, относительно торца ~„ пропорциональный расстоянию до те. Так, если а в угол закручивания на единицу длины вала (по предположению бесконечно малый), то можно предположить, что поле перемещений (в обозначениях рис. 9, б) таково: Х=ахег/ или Х, — ах,х;, Х,=ах,х„Х,*=О. (38) Этому полю соответствует тензор деформаций 1 1 вгг=егя=нее=нее=О, емрп 2 ахя в„2 ахи (39) Иными словами, в любой точке М тензор деформаций является тензором чистого сдвига в ортогональных направлениях,/ н ге.
В соответствии с определяющими уравнениями тензор напряжений равен: о„=о„=о„=о,а=О, о„= — рах„о„=рахи (40) Такое поле напряжений удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям на Е;. На торце Е, имеют место очевидные равенства (41) гг*=т/, я=рог, которые, впрочем, можно установить с помощью уравнений (2). Торсор усилий, создаваемых поверхностной плотностью (41) на Е„, сводится к паре сил с осью Ох, и моментом Ме„где М = ( рад г 2пг Йг = — раа'; (42) ,1 е 2 М вЂ” крутяи1ий момент, пропорциональный углу а, называемому относитгльным углом кручения (на единицу длины) вала; М =Оа, с)=рс), г)= — а'.
2 (43) По определению, 0 называется жесткостью вала на кручение. Она равна произведению модуля сдвига на некоторый множитель, зависящий от геометрии сечения, с размерностью четвертой степени длины, равный моменту инерции кругового сечения относительно центра (поверхностная плотность массы предполагается постоянной о„=й.
„о„= — О,, (45) (остальные компоненты о, равны нулю), будет удовлетворять уравнениям равновесия внутри 5, граничному условию на В„условию Р,=О на Х, и на Хп Кроме того, силы, действующие на торцах Х, и Е„создают моменты, равные соответственно Ме, и — Ме„ причем М = 2 ) > Обо. (46) Остается определить поле перемещений, удовлетворяющее граничным условиям (44), относящимся к Х, и Х, на Е, и Х,. Это поле можно искать в форме Х,= — ах,х„Х,=ах,х,, Х,=а<р(х„х„х,), при которой выполняются упомянутые граничные условия. Отсюда получаем а а з„=е„=з,а=О, е„=а<р.э.
з~~=-(<р,з-х,) зе =-(<р,а+х,). Проблема заключается в том, чтобы выяснить, можно ли найти функцию <р, удовлетворяющую всем этим условиям. Из определяющих уравнений следует, с одной стороны, что р и равной единице). Таким образом, формулы (38), (40) и (43) дают решение задачи кручения круглого вала. Найдем теперь решение в общем случае, когда сечение связное, но произвольной формы.
Сформулируем регулярную задачу, которая позволит получить решение проблемы в целом. Очевидно, поле перемещений (38) не подойдет, однако можно предположить, что по крайней мере горизонтальные проекции сечений испытывают повороты относительно торца Х,. Можно далее выбрать на торцах 2, и Е„, как и в (41), Р,=О. Этот выбор обеспечивает коллинеарность момента сил, действующих на Х~ (или Х,) относительно некоторой точки сечения оси Ох,. Итак, йредстоит рассмотреть регулярную задачу со следующими условиями: внутри 5 Р"=О, Х, Р=О (44) на Х, Х,=Х,=Р,=О, на Х, На самом деле, можно убедиться в том, что поставленная задача является регулярной и имеет единственное решение †по напряжений и поле деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
