Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Профяль скоростей получается сечеявем поверх. почтя ь (о) плсскостямя з=рв. скорсстя даютгя вю)торамя, проведенвммв от ордяяат 1, 11, Ы1 до крявмх 1, 11, 111. Звачеяяя дабята чвсленко рахн» площадям, таютрнхоааннмм агния векторами Рис. 15. Дебит круглой трубы заданного сечения в зависимости ог перепада давления: - - — — кьютонова жвдкссттч — - - — — жмдкость пня гама; — - собственно жидкость На рис. 1З,а приведен график функции т(й), а на рис. 13, б— функции ))(5) для трех жидкостей — ньютоновой, бингамовой и неньютоновой, характеристики которых — промежуточные между характеристикамй первых двух. На рис.
14 даны графики первообразиых функций ))(5) для всех трех жидкостей. Для каждого фиксированного Р можно построить, с одной стороны, профиль скоростей, а с другой — получить расходы. Из рисунка сразу же видно, что наибольший расход у ньютоновой жидкости. 1Х.б.2. Течение в круглой трубе. Результаты 1Х.4.3 также распространяются и на случай жидкости Бингама. Приведем результат, относящийся к расходу (71). Легко находим (задача 32): ! 8 ( РР) ( + ЗРр+ 3 рърЪт' ЕСЛ~ Р~ На рнс.
15 приведена зависимость расхода Я от перепада дав- л(~-),"л(ф)аФ лений Р для трубы радиусом )т и для сравнения даны расходы 'для ньютоновой и неньютоновой жидкостей (вискозиметрическая функция т(й) последней приведена иа рис.
13,а). ! х.а. устОЙчиВОсть течений. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ РЕЖИМОВ (НЬЮТОНОВЫ ЖИДКОСТИ) В этом разделе ставится цель — сравнить найденные результаты с данными эксперимента. Это позволит определить пределы применимости излагаемой в настоящем курсе теории жидкостей. Ограничимся рассмотрением ньютоновой жидкости и начнем а рассмотрения течения в круглой трубе или вообще в трубопроводе, что позволит выявить тот факт, что кроме изученных течений (называемых лаиинарнылш) существуют совершенно отличные от них течения, называемые п(урбулеилн(ыми. Затем на примере течения внутри двух концентрических вращающихся цилиндров будут приведены некоторые замечания — весьма общего характера — относительно уетойчивости течения, рассмотренного в 1Х,2.4.
Изучение вопропов об устойчивости течений (которое здесь не проводится) позволяет уточнить границы применимости найденных решений и выявить начальные механизмы перехода от ламинарного режима к турбулентному. 1Х.6.1. Турбулентные режимы лечений н трубах. Изученное в 1Х.2.3 течение Пуазейля дает возможность легко сопоставить теоретические выводы и данные экспериментов. С этой целью целесообразно представить полученное решение в безразмерной форме. Пусть диаметр трубы х(= 2)т( Р,— р,— разность давлений между двумя отмеченными точками трубы, отстоящими друг от друга на расстоянии 1; и — средняя скорость течения. Введем два безразмерных числа Л н Йе, определяемых по формулам~ Л=.=, Ке= —, 2РН 2(р, — р,) и риб (60) рие рие( ' И где Л вЂ” коэффициент падения нагрузки; Ке — число Рейнольдса.
Формула (26), позволяющая оценить среднюю скорость в зависимости от падения нагрузки, принимает универсальный вид Л=У (81) На рис. 16 показана схема опыта, поставленного для изучения данной проблемы. Жидкость в резервуаре (А) поддерживается на постоянном уровне, с тем чтобы сохранить постоянство давлений р, — р,. В воронке (С) содержится подкрашенная жидкость, питающая вводимую в течение струйку, за которой ведется наблюдение. Расход определяется путем измерения объема накопленной в сосуде (г) жидкости. Труба изготовлена таким образом, чтобы стенки были как можно более гладкими е.
Шероховатые стенки трубы изменили бы, рааумеетсн, результаты опытов, особенно при больших числах Реанольаса. а ()07 Цбб зрб ()бб обз Рнс. 16. Схема экспернментй по изучению течения в трубе: А -питыощвй резервуар. Заслонке Лг регупрустов таким образом, атаби урозеяь Вдкостн оставался постоянным; М -манометр дли измерения перепада давления Рз- РЫ (- СОСУД ЛЛЯ СбОРа Отзабстаиаей жядкосгя (дли намереяия дебвтзн С-сосуд Вля ззедевяв струйки окрашенной жидкости Рнс. (Т.
Изменение коэффициента потери нагрузки в зависимости от числа Рейнольдсв для разных режимов течения: 1-Х б4 Яе-'-ламиварвый режим; Х-Х О,З!б Не Зга-турбулентный режим (абсолжтяо гладкяе степкин З-переходный режим; 4-искажение решения при больших вислах Рейпокьдса из-зашерохозатосги Стенок На рис. 17 приведены полученные результаты. На осях абсцисс и ординат значения Ке и Л даны в логарифмических координатах.
Очевидно, существуют два основных режима. Первый режим, называемый Ааминарным, отвечает малым числам Рейнольдса, для него формула (80) находится в замечательном СООТВЕТСТВИИ С ОПЫТОМ. Второй режим, называемый тррбрлентным, соответствует большим числам Рейнольдса. Приближенные значения Л как функции Ке даются для довольно широкого диапазона значений Ке следующей эмпирической формулой: Л = 0,316Ке-х/4.
(82) На основании многочисленных опытных данных можно сделать следующее заключение: течение всегда ламинарное при Ке ( 2000 и, как правило, турбулентное при Ке) 4000. Эти цифры имеют только познавательное значение, так как, принимая специальные меры (особые профили трубопроводов, предельная гладкость смачиваемой поверхности труб, полное равновесие в питающем резервуаре и т. д.), можно получить ламинарные режимы для чисел Рейнольдса намного больших 10'.
Течения в промышленных трубопроводах в основном турбулентные. При обычных температуре и давлении, например, течение воды в трубе диаметром 10 см со скоростью 1 м(с и движение воздуха в воздухопроводах диаметром 30 см при средней скорости 5 м/с происходит при числах Рейнольдса порядка 100 000. В тонких же трубах медленные течения, как правило, ламинарные. Введение в течение подкрашенной струйки позволяет выявить фундаментальное различие между турбулентными и ламинарными режимами. В ламинарном режиме струя долгое время остается Рис. 1З. диффузия окрашенной струйки: а-лемееерема режем; у-лерелелема режим; а-туроулелтема режем Ве= — „' Ке,= —, а. Ьар Ф 229 прямолинейной и диффундирует очень слабо; этим подтверждается тот факт, что теоретическая схема, постулированная вначале, хорошо описывает траектории частиц. В тур- г булентном режиме диффузия происходит очень быстро, и жидкость вскоре окрашивается полностью (рис.
18). Отсюда вытекает, что скорость частицы не параллельна стенкам трубы, а испытывает случайные колебания около некоторой средней скорости, параллельной оси трубы. Напрашивается вывод, что изучение столь сложных явлений, какими являются турбулентные течения, должно вестись на основе теоретической схемы, в корне отличающейся от применявшейся до сих пор,— основную роль в ней будут играть статистические методы. Кроме того, профиль локальных средних скоростей здесь имеет вид, резко отличающийся от профиля скоростей ламинарного течения.
В переходном режиме при числах Рейнольдса порядка 3000 тра* ектория окрашенной струи начицает размываться (диффузия проявляется лишь на некотором расстоянии), ее можно еще различить, но она имеет вид как бы синусоиды, обвитой вокруг прямой, по которой следовала бы частица в ламинарном режиме.
Отсюда вытекает, что при возрастании числа Рейнольдса установившийся режим, рассмотренный в 1Х.2.3, перестает быть таковым. Несмотря на то что течение может быть исследовано в рамках механики сплошных сред, оно выходит из класса течений, рассматриваемых в теории Пуазейля. Можно предполагать, что о увеличением числа Рейнольдса количество механизмов, вызывающих незатухающие возмущения, возрастает настолько, что, начиная с некоторого порогового значения, скорость как функция времени в каждой точке уже не может описываться непрерывно дифференцируемой функцией, которую можно сравнить с экспериментом. Эти замечания, очевидно, весьма схематичны. Из них, однако, видно, что если найдено какое-либо решение уравнений Навье— Стокса, то следует сразу же исследовать его устойчивость.
Гидро- динамическая устойчивость является в наши дни очень важным разделом механики, ее важность для теории и практики трудно переоценить. 1Х.6.2. Гидродинамическая устойчивость течения между двумя концентрическими цилиндрами. Течение, изученное в 1Х.2.4, было предметом весьма детальных исследований, занявших не один десяток лет. Здесь приведены наиболее примечательные результаты— в виде функций безразмерных параметров: вм' лв Рис.
!9. Усгойчивосп течения между двумя цилиндрами. Косов мтрнковноа покавана совесть ланинерното течеввв; квадратной мтриковкоа-течение в виде торондааьнык внкреа Рис. 2!. Течение в виде тороидальных вихрей — чисел Рейнольдса*, включающих заданные величины задачи. Заметим, например, что формула (31) может быть записана в следующем безразмерном виде: — ~-;=~ (реь ре„р) 4~ ( де, нег — 1 нес аа Не уменьшая общности, можем считать ь«, и, следовательно, Йе, положительными. Можно убедиться в том, что решение, найденное в 1Х.2.4, хорошо согласуется с экспериментом, если значения Йе, и Ке, соответствуют одной из точек, находящихся внутри заштрихованной области на рнс.
19. Так обстоит дело на практике, в частности, когда внутренний цилиндр неподвижен. Что же касается точек из области, имеющей двойную штриховку, то они соответствуют наблюдаемому экспериментально течению с тороидальными вихрями. Траектории в этом случае уже не являются окружностями с центрами на оси Ох„ они не выходят за пределы своих ячеек; их след в меридиональйой плоскости, вращающейся вместе с жидкостью, обрааует кривые, изображенные на рис. 20.
При значениях Ке, и Кеь соответствующих точке, находящейся несколько выше границы заштрихованных зон, ячейки несколько «гофрированы» и вращаются с угловой скоростью, равной средней угловой скорости обоих цилиндров. Если прн неизменном Ре, увеличивать Йеь течение может еще более усложниться и перейти, в конце концов, в турбулентный режим. В зависимости от того, является ли Кее положительным или отрицательным, схемы течений и переходнйх режимов могут сильно различаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
