Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В самом деле, равновесие идеальной жидкости не нарушается движением стенок сосудов, так как при таком равновесии удовлетворяется (при (> О) условие скольжения (зто условие является также и достаточным). Что же касается степени приближения к идеальной модели, то она является неравномерной, так как вдоль стенки х,=О имеем и=У при любом ч, отличном от нуля.
Таким образом, при стремлении вязкости к нулю вблизи стенки образуется зона, в которой переход течения вязкой жидкости к течению идеальной жидкости происходит неравномерно. Здесь впервые встретилось очень важное свойство, присущее течениям всех слабовязких жидкостей и газов. 4'. При заданном О < л < 1 иа формулы (39) следует, что и > йУ, если 0 <0,(й); иными словами, в фиксированный момент 1 и > йУ в близком к стенке слое жидкости, толщина которого 6(О <х, < 6) дается соотношением у У Х( Рис.
7. Жидкость приводится в движение движущейся плоской стенкой. Профиль спораетеа дле двух рээлвчамх эхэчехха щ (а); вреиэеедеахе ч( ечеаь мапо (б) и=-у= ( ехр ( — з*)((з. 2У Ге 'гуп3о (41) При 1=0 О=со, и= У. При 1> 0 х,*=О, 8=0 и и=О. Как начальные, так и граничные условия выполняются. Впрочем, наблюдаемое течение совпадает с рассмотренным выше течением, но изучается оно в системе отсчета, движущейся прямолинейно и равномерно относительно ранее использованной системы Я со скоростью — У параллельно оси х,.
Таким образом, нет надобности рассматривать более подробно свойства данного течения, которые могут быть получены из предыдущих выводов (рис. 8). Заметим лишь, что вдали от стенки течение остается практически равномерным. При малом т толщина пограничного слоя 6, вне которого течение практически равномерно, имеет порядок У~х/У, где х †расстояние, пройденное с момента 1 =О достаточно удаленной от плоскости частицей, продолжающей двигаться с прежней скоростью У.
При тех же условиях касательное напряжение, создаваемое жидкостью на плоскости: т=р — (О, 1) = — == )/ —. ди р( рУэ / ч (42) дхэ ' У~~~ У" н )/ Ух' Эти выводы дают информапию о воздействии ветра, дующего равномерно со скоростью (', на полубесконечную пластину, помещенную параллельно потоку. В областях, удаленных от препятствия, течение равномерное; оно тормозится лишь вблизи пластины, однако при малом значении т толщина слоя торможения /тх ) имеет порядок 0( зэу — (, где х — расстояние точки от начала пластины (точки У у/ 216 заключения: при фиксированном значении г и стремлении и к нулю толщина слоя 6 стремится к нулю как )/» (рис.
7). 1Х.З.З. Торможение равномерного течения неподвижным препятствием. Предположим теперь, что в моменты времени 1 ~ 0 плоская стенка и жидкость двигались равномерно со скоростью У и что в момент 1=0 стенка была внезапно остановлена. Тогда для значений 1> 0 имеем атаки). Коэффнцнент трення имеет внд 2« /т где с — некоторый коэффициент. Разумеется, все сназанное выше является не доказательством, а лишь информацией, нз которой можно понять фнзнческнй смысл сделанных выводов. Рассуждения будут справедливыми лншь прн допущении, что частица начинает испытывать торможение лншь прн вересеченнн прямой, перпендикулярной краю пластины, н что с этого момента она не отлнчается от частицы в эксперименте с бесконечной пластиной, что, очевидно, места не имеет.
Но можно предположить, что прн больших «полученные результаты оказываются справедливыми, что, впрочем, подтверждается результатамн строгих нсследовакнй пограннчного слоя. Оказывается, что для плоскости «=0,664. 0 х, Рнс. 8. Торможение однородного течення неподвижной стенкой: «-пу1ь, пройденный частнпай попас останоанн степан (46) 217 1Х.3.4.
Диффузия через контактную поверхность. Рассмотрим движение двух жидкостей, занимающих области х, > О и х, <О и разделенных поверхностью контакта х,=о. Пусть р н рс — коэффи- циенты вязкости, а р и р' — соответствующие плотности. В момент «=0 жидкости находятся в равномерном и прямоли- нейном движении: при х, > О и,=Р, и,=О, (7,=О; прн х,<О (У,=)', (7,=О, и,=О. (43) Применим результаты, полученные в 1Х.3.1, для изучения во- проса о том, каким будет последующее течение, предполагая, что при любом 1 давление остается постоянным.
Заметим, что это пред- положение совместимо с существованием контактной поверхности. Найдем для 7 > О в областях х,>О и х, <О течение, описываемое формулой (38): и А+ В ( ехр ( — зз) г(з, х, = О, 9 = — "', т = Р; ,) о Етс' Р У и=А'+В' ( ехр( — з) бз, х,=о, 9= — "' ,) о р' чти Р При 7 — О должны выполняться начальные условия (43). Имеем, следовательно, (46) Далее, при 7 > О должно выполняться условие непрерывности скорости и касательного напряжения на поверхности контакта (нормальное напряжение непрерывно в силу предположения о по- стоянстве давления): м(+О, 7)-и( — О, 7), Ра„"(+О, ()=р' — „'," ( — О,(), «а дка так что можно записать А=А, Р«)ьрВ=)~'р,'р'Вс, Таким образом, все условия задачи выполнены. Решение дается формулой (44), в которой постоянные А, А', В, Ве определяются из системы (45) — (46).
Легко находим, что А А' ~РР+ У нр+ Уйр' 2 (1' — 1") У йр' В 2 (~ — р') У рр (47) По поводу найденного решения нужно сделать несколько замечаний. 1'. Если 'обе жидкости одинаковы, то скорость вдоль контактной поверхности является средним арифметическим скоростей У и У'. В частном случае, когда Уп = — У, имеем 2р гн и=--и-~ ехр( — за) бз. р п3о гоп=го= — — = (хе> О), 1 ди Векр( — Оа) 2 два 2У4оГ и интеграл, о котором идет речь, ~'"ибх,= —,' ~В~ ехр ( — 0а) с$0+ В' ) ехр ( — 0*) с$0 ~ = - ~" (В+ В ) = — '(У вЂ” У ). 4 2 (48) е1ег еа Рис.
9. Лнффуаия контакт. ноа поверхности, обусловленная вязкостью. Иеиеиеиие профиля еиороетеа ео еремеев 10 < Ч < Ге < Гег ° Строго говоря, ы †углов скорость вращения. Если не воаниквет двусмысленности, то такое упрощение терминологии допустимо. 218 На рис. 9 приведены кривые скоростей. С течением времени для фиксированного х, величины 0 и и стремятся к нулю.
Контактная поверхность, как видим, диффундирует в глубь обеих жидкостей, вызывая замедление, которое, в конечном счете, ведет в любой данной точке к состоянию покоя. 2'. В общем случае, аналогично описанному выше, скорость в некоторой заданной точке стремится с течением времени к значению А, представляющему собой средневесовое значение скоростей У и У'. Процесс диффузии в этом случае может быть определен более точно, если заметить, что интеграл от вращения * по любой прямой, параллельной оси Ох„ не зависит от времени. В самом деле, не равна нулю лишь одна составляющая вектора угловой ско- рости гз,иг малы Рис.
1!т Профили скоростей для двух значений: Р 0 н малого и' Рис. 10. Диффузия вращения. Прн вэмсньнн» времеви Г пло. Ыадь ьлштряхоннннсй поверх. ности остлстсн пастояяной. - - - — — праэнль нряменвя н момент ГП вЂ” — прсэнль нраценвя н момент Г (г' < О ! Хлп ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ * В этом разделе ставится задача сравнить полученные в 1Х.2. решения а решениями, соответствующими несжимаемой жидкости, закон поведения которой имеет вид (см. Ч1.11): 2= — р1+Кт(Рц. Рш)Р+Кх(Рцс Рш)Рв (49) ' В оригинале эти среды называются жидкостями в собственном смысле этого слова (Ишь ргоргыпеп1 бпз); ради краткости (и без ущерба для содержания) уточнение «ргоргешеп1 б11з» опускается.— Прим.
рлд. 219 Таким образом, в начальный момент вращение равно нулю везде, кроме точки х,=О; его можно записать в виде ю=-(У вЂ” У') 6(х,) с использованием распределения Дирака в точке хз — — О. В любой момент ! с ростом 1хз! вращение экспоненциально затухает. Однако диффузия происходит таким образом, что интеграл (48) остается постоянным (рис.
10). 3'. Если при ограниченных р, хз и ! коэффициент р' стремится к нулю, то А стремится к У, и так как разность У вЂ” А =0(У р'р'), то В стремится к нулю, а В' — к 2(н)-м*(У вЂ” У') (рис. 1!). Видно, что в пределе обе жидкости сохраняют свои начальные скорости. Этот результат позволяет сделать вывод о том, что на поверхности раздела двух жидкостей — вязкой (р ~ 0) и идеальной (р' = 0) — касательная составляющая скорости может терпеть разрыв. Это означает, что необходимые контактные условия являются и достаточными, и нет надобности ставить дополнительно условие прнлипания. У,=йх„У,=О, У,=О.
В этом течении все компоненты Р» равны нулю, за исключением Ргм и имеем ь ! ьь Рм=Рь,= 2, Он —— — 2 РУ00 — — 4, Рш=бе1(0)=0. Матрицы Р и Р' здесь таковы: 0 — 0 ь 2 — 0 0 2 0 0 0 ьь — 0 0 4 0 — О ьь 4 0 0 0 Полагая, как обычно, ом )кгм + Тм из соотношения (49) будем иметь: (50) ьл х ьь т~~=т-=)Ч(й)-Кь(- л, 0) —, т„= ъ„т„О. (5! ) Функции т(й) и У(й) называются вискозиметрическими функциями жидкости. Обратим внимание на то, что т(й) — нечетная функция й, тогда как )Ч(й) — четная функция й, обращается в нуль при й=О.
Предположим далее, что т(й)-непрерывная возрастающая функция и что при й, близком к нулю, имеет место равенство т (й) = рй+ 0 (й). Здесь р — константа, называемая коэффициентом вязкости жидкости при нулевой скорости сдвига, а 0(й) — бесконечно малая величина относительно й (порядок малости больше единицы). Из очевидных соображений значение производной т'(й) при произвольном, но фиксированном й называют локальным коэффициентом вязкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
