Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. поверхность Х вЂ” горизонтальная плоскость. Последний вывод остается справедливым и для случая, если одна нз жидкостей сжимаемая; например, когда несжимаемая жидкость находится в сосуде, а сжимаемая жидкость — атмосфера (воздух).
Так может обстоять дело и в том случае, если обе жидкости сжимаемы, что сразу следует нз результатов 1Х.1.3. Полученный результат можно было предвидеть, как можно также вредвидеть н то, что состояние равновесия может быть устойчивым только тогда, когда более тяжелая жидкость (т. е. жидкость с большей плотностью) находится внизу.
Однако строгое изучение подобных вопросов, относящихся к проблеме устойчивости равновесия жидкости, требует рассмотрения малых движений, близких к состоянию равновесия. Приведенные элементарные примеры показывают, что давление на смачиваемую часть стенки сосуда жидкости (или жидкостей), находящейся в поле силы тяжести, определяется без особых трудностей. в) Несжимаемая тяжелая жидкость находится в равновесии в системе координат, равномерно вращающейся относительно Земли со скоростью Я вокруг вертикальной оси х,. В этом случае следует принимать во внимание переносные силы инерции. Пусть ( †единичн горизонтальный вектор меридиональ- 20! ной полуплоскости, тогда у"= — рйвв+ рьавг), г =(х', + х,')'~в. Векторное поле у является потенциальным, и, следовательно, в соответствии с общими результатами имеем гзв р= — рй(х.— ~)+р 2 (х~+х~), (6) где й — постоянная величина. Поверхность равного давления в этом случае — параболоиды вращения с осью Ох, (рис.
2). Ниже будет показано, что вблизи поаеркностн Земли атмосферное давление можно считать постоянным. Тогда поаеркность жидкости, находяшейся з разнозесии н равномерно зрзшаюшемся вокруг вертикальной оси сосуде, будет предстаалять собой параболоид зрашення. хппадинав а таком параболоиде будет тем более глубокой, чем больше скорость зрашения.
1Х.1.3. Статика сжимаемых жидкостей. В сжимаемой жидкости плотность уже не является постоянной. К этому следует добавить то обстоятельство, что на практике действующие на жидкость известные внешние силы таковы, что потенциальным будет поле массовой силы л; связанной с у соотношением и= РК. (7) и определяемое потенциалом л (М) — йгад Угз (М), (8) Уравнения равновесия ведут, таким образом, к следующим соотношениям: йгад р= — р йгад тгз или бр= — рс1"угв.
(9) И на этот раз изобарами являются поверхности уровня массового потенциала ро(М). Таким образом, давление р является функцией только одной переменной 2рз, а из уравнений (9) следует, что плотность р также является функцией от уга: плотность сохраняет постоянное значение на эквипотенциальной поверхности. Но даже при известных внешних воздействиях (т. е. при известном Фо) соотношения (9) еще не дают возможности найти одновременно и р и р. На этом рш гг простом примере видно, что для реше- ния задачи уже недостаточно знать ме- У ханическое поведение системы н становится необходимым учитывать термодинамические свойства. Выше говорили (ЧП1.1.2), что при этом давление Рис.
2. Жидкость, арашзюшаяся является известной функцией от плот- вокруг зертикзльной оси. ности р и абсолютной темпе зт ы Т. Поивввиы иваевры-ооверхиовтв рвв р туры амх дввиевиз Этим самым вводится новая переменная, 202. и точное описание физических характеристик среды на представляется возможным, пока не уточнены термодинамические условия равновесия. Если, например, речь идет о состоянии изотермического равновесия, то Т вЂ” известная для всей жидкости константа и точное определение р и р не представляет труда. Возьмем для наглядности случай, когда внешние силы представлены лишь силами тяжести, ось ха направлена вертикально вверх, а среда — идеальный газ (П111.4,3). Если температура в атмосфере постоянна (Т Т,), то имеем оР РУ ода~ Р = ЯР» (10) где Й постоянная (Й гТ,). Тогда бр бр а б — = — = — — бх.
и з. Если обозначить через Р, и р, значения р и р при ха 0 (на поверхности Земли) и положить Ю Рву я 1 (11) Ре гТз Н' где Н вЂ” некоторая длина, то будем иметь Р р ехр( з) р р ехр( з) (12) Приведенные формулы дают изменение давления и плотности при изотермических процессах в атмосфере. Замечание. Для воздуха вблизи поверхности Земли Н ю 8000 м. Это следует из того, что имеем с хорошей точностью Р, 1,13х у(10з Па, р,=1,22 кг)мз, 8=9,81 м/сз, г 287 ма)сз на один градус и Т=273'. Следовательно, при изменении высоты в пределах нескольких метров можно с хорошим приближением считать давление р постоянным. Такое упрощение вполне законно, когда, например, жидкость находится в контакте с атмосферой. С другой стороны, можно было сразу предположить, что в атом случае массовые силы, действующие на воздух, на несколько порядков меньше тех, которые действуют на жидкость, вследствие чего давление можно считать постоянным.
На самом деле из опыта известно, что предположение об изотермичности атмосферы справедливо лишь в стратосфере для высот, больших 11 км; что же касается явлений в тропосфере. то нх описание будет более точным, если предположить, что Т является аффннной функцией от ез: Т Те (1 — алз) (13) при Тз 226", а=22,6 1О-з (если хз выражено в метрах). В этих условиях имеем бр = — рд бтз, р =грТ, (1 — ахз), (14) и если положить Л=ааК нли аНК=1, 203 то легко получим р р«(1 — ахе)Я, р р,(1 — ах,)л К (Щ Константа А ю 5,3 являетея бе«равмерноа.
!Х.1.4. Равновесие тела, погруженно- го в жндкость. Результаты, полученные Ри'З Ооласт'"нятаяыни ВЫШЕ ОтНОСИтЕЛЬНО раВНОВЕСИя жядКОСтЕй, костью (9 (вытесненная жидкость),тожкественнаозлаоти, находят очень важное применение прн нанятое абсолютно тверлым изучении равновесия погруженных тел телом 8 (подводных лодок, стратостатов, зондов н т. и.) н тел, плавающих на поверхности (корабли, лодки, бакены н т. и.).
В этом параграфе ограничимся рассмотрением известного закона Архимеда. Теорема. Торсор снл давления покоящейся жидкости на погруженное в нее твердое тело противоположен торсору объемных снлу, которые нужно приложить к части жидкости, замещающей данное тело так, чтобы равновесие всей системы не нарушалось. Если внешние силы г являются силами тяжести, торсор воздействий жидкости на твердое тело 3 приводится только к силе, направленной вертикально вверх, равной весу «вытесненной телом жидкости», линия действия силы проходит через центр тяжести соответствующего объема. Сравним два состояния равновесия, о которых говорится в теореме (рнс. 3). Торсор воздействий жидкости на тело 3 равен [Р) * — [рл|аэ. где гв — единичный вектор внешней к 5 нормали. Из условия равновесня вытесненной жидкости вытекает равенство [ра1аэ [л')э в котором Ю вЂ” область, занимаемая жидкостью, замещающей тело 8.
По предположению, давления на д5 н дйй равны, н теорема, таким образом, доказана. Заметим, что левая н правая части последнего равенства равны [йга«(р]э. Если предположить, что вблизи погруженного тела давление равномерно, то торсор [Р) оказывается равным нулю. 1Х.З. СТАНИОНАРНЫЕ ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 1Х.2.1. Предварительные замечания.
В этом параграфе рассмотрим вязкие несжимаемые жидкости, закон поведения которых дается формулами о,= — рб„+р(и,,,+Ц,,), (16) коэффициент вязкости Р н плотность р здесь постоянны. Уравнения сохранения массы н количества движения запишутся в виде и„,=о, р~ — „+ Ци,,,)+р„=),+раиь «'д[/~ 204 где И/,— оператор Лапласа для компонента (/,(х). В самом деле, дифференцируя (16), получаем а„,,- — р,,+р ((/ь „+(//,„), в силу условия (17) последний член в правой части равен нулю. Уравнения (17) и (18), называемые уравнениями Навес — Стокса, образуют систему из четырех уравнений в частных производных для четырех неизвестных функций (/т, (/„(/„р.
Введение начальных и граничных условий позволяет проинтегрировать эту систему и найти эти функции. Таким образом, механические явления могут изучаться независимо от тепловых. Ниже рассмотрим только первые. Остается сформулировать теперь граничные условия; одно из этих условий уже известно (11.4.3): вдоль смоченной стенки сосуда нормальная составляющая скорости жидкости относительно стенки равна нулю.
Анализ элементарных задач, которые сейчас будут рассмотрены, приведет и выводу, что этого условия недостаточно; на основании опыта можно сформулировать более жесткое условие, называемое условием прилипания: скорость жидкости относительно стенок сосуда равна нулю. Приведем некоторые общие соображения по поводу этого условия. Вообще говоря, выбор граничных условий зависит как от математических, так и от физических требований. С математической точки зрения необходимо, чтобы теория, т. е.
сочетание граничных условий и дифференциальных уравнений, позволила бы найти единст. венное решение проблемы, являющееся непрерывной функцией исходных данных. С физической же точки зрения поставленные условия должны разумно согласовываться с опытными данными. Когда имеем дело с идеальной жидкостью, то р О, и порядок системы (17), (18) оказывается на единицу меньше, чем в случае вязкой жидкости или газа, так как в ней участвуют лишь производные первого порядка.
В этом случае на границе объема жидкости следует написать необходимые граничные условия (11.4.3), называемые условиями скольжения, которые, как это следует из опыта, являются также и достаточными'. Но тогда очевидно, что для вязкой жидкости, для которой порядок системы (17), (18) выше, необходимо поставить дополнительные граничные условия. Именно это было сделано выше при замене условий скольжения условиями прилипания. Установлен следующий физический факт — струи идеальной жидкости не оказывают никакого влияния на соседние струи (Н1.2.2) и, следовательно, касательные составляющие относительных скоростей не связаны никакими условиями.
В вязких же жидкостях и газах дело обстоит иначе. Касательные усилия стремятся ускорить более медленные и затормозить более быстрые струи, поэтому, очевидно, на касательные составляющие относительной скорости следует наложить дополнительное условие, Условие прилипания подразу- " В том смысле, что более жестких условий на границе сформулировать нельзя, что, однако, ие снимает требования единственности решения.
205 мевает, что торможение стенкой вязкой жидкости таково, что относительная скорость равна нулю. Практика хорошо подтверждает это предположение. Из тех же соображений допустим, что на поверхности раздела двух вязких жидкостей скорость не терпит разрыва. К необходимому общему для всех жидкостей условию, согласно которому нормальные составляющие относительных скоростей равны нулю (11.4.2), в случае вязких жидкостей добавляется условие равенства нулю касательных составляющих. К этому, очевидно, необходимо добавить, что вектор касательного напряжения на поверхности контакта должен быть непрерывен (111.1.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
