Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 42
Текст из файла (страница 42)
176 Заключение. В классической теории термоупругости законы поведения определяют напряжения двумя упругими константами ()о, р) нли (Е, ч) и коэффициентом линейного расширения а (все эти величины предполагаются постоянными); приток теплоты — коэффициен. том теплопроводности й в законе Фурье, который. также предполагается постоянным. Если, кроме того, известна функция С,(Т), задающая удельную теплоемкость прн постоянной деформации, то можно получить выражение для термодинамических функций и, ф, э. Замечания. 1'. Так как функция И(Т) не влияег на законы поведения, то зависимости (46) можно было бы получить непосредственно, исходя иа выражения для ф в ваде полинома второй степени переменных еы и О.
Можно было бы, например, принять И(Т)= — Оо прн постоянном Со. Р,С,, 2Т. О Однако — и еы имеют разную физическую природу, н именно поэтому пред. То ставляется интересным построить теорию, которая лучше выявляла бы вависи.
мость термодинамических величин от О и, в частности, дала бы более точные прибляження для функций е, ф з, фигурирующих в уравнении энергии которые входят в решения задач классической теории термоупругости. 2'. Проведенные выше рассуждения имеют к тому же другое достоинство— оин открывают еще один путь использования законов термодинамики для описа- ния поведения физической системы. Первый путь, в основном дедуктивный, пред- полагает известным термодинамический потенциал (в частности, именно зто было сделано в ЧП1.! и Ч111.2); аная термодияамический потенциал, можно построить законы состояния.
Практически именно законы состояняя н в более общем случае законы поведения легче проверяются в експериментах. Предполагая зти ваконы нэвестиымн например (46), используют затем законы термодинамики для опреде- ления термодннамическнх йотенциалов и получения дополнительной информации. Именно этот второй путь был использован выше. Можно провести аналогию между использованием здесь начал термодинамики н двойственным применением фундаментального закона в классической динамике.
Из наблюдения некоторых видов движений можно сформулировать законы о силах— пример теории гравитации в этом отношении особенно впечатляет. Если же известны силы, приложенные к некоторой системе, н распределение масс в ней, то основ- ной закон позволяет описать движение. Аналогия заключается в следующем. Если экспериментально известны законы поведения, то иэ них могут быть пай. дены термодинамические функции.
Если же известны термодинамические функ- ции, то из них выводят законы поведения, и затем изучается движение среды с учетом заданных условий. 3'. Представляется интересным показать на простом примере различие между изотермическими и адиабатными процессами. Если ограничиться для простотм функцией И(Т) вида И(Т) =2†",— Оо (как было упомянуто выше), то уравнение 2'о (48) запяшется в такой форме: роэ = ЗКазвв+ — О. Р,С, Т Для здиабатиого процесса, когда з=о, уравнение (46) примет вид ОКоаоТо Ч он= (Л+ о у! езвбгу+2рем Х„вообгг+2реьо (52) РоСе г' Закон поведения, таким образом, аналогичен закону, который берется за основу при изучении изотермических процессов.
Модуль сопротивления сдвигу (второй коэффипиент Ламе) имеет одно и то же значение в обоих процессах. Значения же первого коэффициента Ламе для этих двух процессов различны — в адиабатном процессе, он, как правило, больше. 177 Читатель получит более детальное представление об втой проблеме, разбирая задачи 13 и 14. Из иих станет видно, что модули упругости в адиабзтиых процессах просто выражаются через модули упругости изотермических процессов и огиошеиие Со/Се удельных теплоемкостей соотаетствеиио при постоянных деформациях и постоянных напряжениях. ЧШ.З.
ВЯЗКОУПРУГИЕ СРЕДЫ КЕЛЬВИНА — ФОЙХТА За отправную точку примем те же термодинамические гипотезы, что и в ЧП1.2.1, с той лишь разницей, что внутренняя диссипация не будет предполагаться равной нулю. Точнее, температура Т и компоненты 1. р тензора деформаций Грина — Лагранжа относительно исходной конфигурации составляют полную систему термодинамических переменных, а термодинамические свойства описываются заданием плотности свободной энергии ф (Т, 7.ар). Если зад †матри напряжений Пиола — Кирхгофа, то уравнейие (23) можно переписать в таком виде: Фг ~ (аар РоРар) ~'арю р где р,-плотность в естественном состоянии; Рар —— — -г — — в соотдвар ветствии с (17), а ~,ар — более простое обозначение субстанциональной производной — .
бг р ш Это выражение аналогично форме ХХаг'а, причем в качестве аргументов уа выступают переменные 1.ар — скорости деформаций. Предположим, что механизм диссипации является нормальным (Ч11.3.2) и что для упрощения функция диссипации Юг(уа) †квадратичн форма переменных )г, ®г = Сарьио ар~хи~ (53) коэффициенты С рхв которой удовлетворяют соотношениям симметрии: Сараи = Срази Сарра = Сьвар Тогда из общей теории можно вывести следующий закон поведения: рар =Ро дй + Сараи дф бььи (54) дйар который дает непосредственно выражение тензора Пиола — Кирхгофа в виде суммы двух слагаемых, первое из которых можно назвать упругой составляющей, а второе — вязкой составляющей этого тензора.
Заметим, что коэффициенты Сараи могут зависеть от Т и (.„р. Наконец, чтобы замкнуть систему и определить для нее допустимые термодинамические процессы, следует написать закон Фурье, связывающий приток теплоты с градиентом температуры (Н П.4.2). Ограничимся для простоты линеариэованным вариантом предыдущей теории, выбирая в качестве исходной конфигурации естественное состояние, свободное от напряжений, и считая среду изотропной (как и квадратичную форму (53)1, а процессы — изотермическими. среда прн ивотерннчесння процессах! реФ ю (а!у)..
дю Упругая состааляюшая напряжений тогда будет я —. оегу ' (59) чш.а. дВОЙстВеннАя ФОРмулиРОВкА. ВЯЗКОУПРУГИЕ СРЕДЫ МАКСВЕЛЛА Ф,= ~ ХхУх величины у, представляют скорости деформаций, которыесчитаются определенными предысторией, а величины Хх (типа напряжений) должны быть определены из дополнительных законов. Двойственный характер проблемы «напряжение — деформация», который несколько раз подчеркивался, подсказывает мысль о возможности новогоопределения термодинамически допустимых процессов для данной сплошной среды на основе предложенных ранее, в котором следует поменять ролями напряжения и деформации. Опишем кратко основные положения этого нового подхода.
За отправную точку примем предположение о том, что величины Т, !)„ ..., т!„ образуют полную систему термодинамических переменнйх и что можно ввести термодинамический потенциал И(Т,т)„ т)ю ..., т) ), полученный преобразованием Лежандра из свободной эйергии (1) П!.7.4). Более точно, положим () = Х Хрт)р-Ф С учетом (711,9) имеем е б() 8 г)Т + <Я~ ~р дт)р а=! откуда с помощью двойственной формулировки законов состояния (И1, 9) или (ЧП, 17) получаем Х,= ~, (Т, Ч,. ", Ч.) да Если внутренняя диссипация имеет вид Ф = Х Х!Ух! х ! У1П.6.1. Общие замечания. При изложении общей теории в Ч111.2. предполагалось, что термодинамические параметры )(р, задающие совместно с температурой Т состояния системы, совпадают с деформациями; в этом случае сопряженные переменные т), определяемые уравнениями (Ч11.9), имеют смысл механических напряжений и вычисляются по законам состояния.
С другой стороны, участвующие в выражении для внутренней диссипации .то будем считать, что Хь определяют, совместно с г!Р, предысторию среды, включая момент !. Величины Ум связанные со скоростями 'деформации, должны быть в атом случае определены через дополнительные законы, которые будут сформулированы на базе диссипативной функции Ю„"(ХД, существование которой было доказано в 711.3.3 для случая нормального диссипативного механизма.
711!.6.2. Среда Максвелла в линейном приближении. Не будем развивать дальше представление общей формы законов поведения — зто, в принципе, можно было бы сделать и определить соответствующие допустимые термодинамические процессы. Ограничимся иллюстрацией метода иа простом примере, который представляет собой обобщение рассуждений, основанных на идее двойственности и высказанных в 7111.3.2 относительно упругой линейной среды на случай линеаризованной вязкоупругой модели. Если для простоты ограничиться только изотермическими процессами, то, очевидно, для упругой среды будем иметь (60) рой = т (оы) где р, — плотность в исходном состоянии, а ~р — преобразование Лежандра функции (59).
Очевидно, что / ~ / о е ш ~зчы/ ш ~зчы)' так как в соответствии с методом линеаризации отношение р!р, можно заменить на 1. Таким образом, приходим к формуле еи — — —, з!у зп+ зуд дч (61) где зп — по определению, упругая составляющая деформаций; з1;— вязкая составляющая. Диссипация (Ч11.13) при этом азу! Ф= о» вЂ”. ш Так как напряжения оы определяют предысторию среды до момента (, то в соответствии с общей теорией можно написать, что Ф=Ю'(о, ). Точнее, предположим, что Ю' положительно определенная квадратичная форма, которую обозначим через 3; в соответствии с общей теорией будем полагать (62) Очевидно, зти зависимости определяют величины з,".~ лишь с точностью до постоянного слагаемого.
Чтобы устранить неопределенность, предположим, что существует момент времени 1„для которого оы(!) будут равны нулю при ! < („з1~(!)=0 при !(1,. Такйм образом, можно на основанйи уравнений (61) й (62) написать законы поведения в дифференциальном виде, предполагая $8! при атом, что з11(1) дифференцируема по времени й (68) (66) (67) Константы 1, и т имеют, очевидно, размерность времени; они положительны, так как уже известно, что положительны следующие величины: 1 — 2У 1 1+9 1 Е ЗК ' Е 2и и, кроме того, квадратичная форма (66) должна быть положительно определенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
