Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это дает возможность применить результаты, полученные в ЧП.З. Однако ограничимся весьма простым случаем классических жидкостей Навье— Стокса. Прежде всего запишем закон теплопроводности в виде ~у = — й (Т) йгаб Т, представляющем собой частный случай уравнения (ЧП.60), где й (Т) — коэффициент теплопроводиости. Предположим далее, что речь идет о нормальном диссипативном механизме (ЧП.3.2) и что Ю,(Рц) — квадратичная изотропная функция величин Рц (частный случай уравнения (ЧП.32)1.
Таким образом, эта зависимость — линейная комбинация" 01 и Рп, где Р, и Ри — два первых элементарных инварианта тензора скоростей деформаций. Запишем эту комбинацию в виде Р, = Х (РиР~~) + 2рРцРц, (8) где 1, и р, называемые коэффициентами вязкости Ламе, предполагаются зависящими только от температуры. В силу равенства (ЧП,ЗЗ) имеем тц — — ) 0ыбц+2рРц. На практике коэффициент р называют чаще коэффиииентсм вязкости жидкости, а величина К, определяемая из равенства ЗК Зв+2р, называется коэффициентом объемной вязкости. Законы поведения сжимаемых жидкостей имеют вид о~ —— — рб; +),Р„вб, +2рРьо ц- — йт „ (9) или в другой форме Х ( — р+ Хх)г) 1+ 2рЮ, зу = — й йгай Т.
(10) Эти выводы близки к результатам, полученным в Ч1.2.2. Однако следует заметить, что физический смысл понятия давления в случае сжимаемой жидкости отличается от аналогичного понятия для несжимаемой жидкости. В последнем случае речь идет о неопределенной величине, входящей в закон поведения, тогда как для сжимаемой жидкости это известная функция термодинамических переменных. Обратим внимание также на то, что шаровая часть Х равна — р+ — гзь — и+ Ко~ ЗХ+ 2р 3 я совпадает с давлением (со знаком е — з) только тогда, когда величина 2 К=Х+ — р 3 равна нулю (К вЂ” коэффициент объемной вязкости).
Если ато выполняется (К О), то говорят, что жидкость удовлетворяет гипотезе Стокса. Разумеется, для находящейся в равновесии жидкости шаровая часть Х всегда равна давлению с противоположным знаком. Остается теперь выписать неравенства, из которых следует, что определенные выше термодинамические процессы являются допустимыми. Известно, что коэффициент й неотрицателен. В этом случае достаточно выписать условие того, что уравнение (8) является неотрицательной квадратичной формой.
Это нетрудно сделать, если ввести в (8) шаровую часть и девиатор от О, . Если положить 0,2 с(61 + г(г (г(зз = О), то Оц)ггэ = (г(60+ бгу) (г(бгз+ г(гз) = г('без+ г(Ыц+ Ы+ г(г Аз, (у, В, =И'+г(, г(г и, следовательно, Ю, = 3 (ЗХ+ 2р) г(э+ 2)м(;,г(гу. (1 1) Из последнего уравнения видно, что необходимым и достаточным условием неотрицательности Ю„является неотрнцательность величинЗК=ЗХ+2р и )ь. Таким образом, равенства (9) и (10) ведут к допустимому процессу при условии, что коэффициенты днссипации К, р, й удовлетворяют неравенствам: К=Л+ — 3'р>0, РР:О, й>0. (12) Напомним, что р является функцией плотности р и температуры Т, а Х, р и й — известные функции от Т. Так как все эти функции зависят от физической природы жидкости, то их значения могут быть определены лишь из опыта или на основании более тонкой физической теории (кинетической теории газов, статистической механики).
Итак, мы установили следующий результат: жидкость в теории Навье — Стокса полностью определяется зап(аиием ее удельной свободной энергии ф(Т, р) и коэффициентов диссипации К, р, й — неотрицательных функций от Т. 'Давление при этом определяртся законом состояния (2), тензор напряжений и тепловой поток — уравнениями (1О). Ч11!.1.3. Частный случай идеальных жидкостей. Жидкость называют идеальной, если процесс адиабатный (и О, Ч11.4.3), а внутренняя диссипация тождественно равна нулю. Таким образом, идеальную жидкость можно рассматривать как предельный случай вязкой сжимаемой жидкости, когда коэффициенты диссипации К, р, й тождественно равны нулю, Тензор напряжений †шаров тензор, который полностью определяется давлением р.
Так как диссипация тождественно равна нулю, теплопроводность отсутствует (о =О), и если, кроме того, как обычно предполагается, объемная скорость притока теплоты г также равна нулю, то из уравнения (Ч11;15) следует, что — Ч=О дз ш (13) С учетом выдвинутых гипотез этот результат следует также из закона сохранения энергии. Таким образом, удельная энтропия дви- жущейся частицы остается постоянной. Если в какой-либо конфигурации все частицы системы имеют одинаковую удельную энтропию, то энтропия системы остается по- стоянной в течение процесса; принято говорить*, что такое течение является изоэнптропийным.
В этом случае из уравнения (3) следует, что р — известная функция плотности р и удельного объема т. Го- ворят также, что среда барогпролна. Этот случай описан в Ч1.2.2. Об ударных волнах в течении совершенных жидкости н газа. Рассуждения, которые приводят к уравнению (13), представляющему собой предельный случай основноготермодинамнческого неравенства, справедливы только в тех точках, в которых характеристики движущейся среды постоянны. Если поверхность разрыва Х находится внутри движущейся идеальной жидкости, то для изучения следствий, вытекающих из второго начала термодинамики, следует опираться на начальную формулировку этого принципа, т. е. на неравенство (УП,2), которое запишется (с учетом выдвинутых гипотез) так: бз бг — — — рзба во, б) Ф,)я Пусть поверхность разрыва )я) находится внутри л.
В силу (11.24) н урав- нения неразрывности можно написать также, что р — ба+ ~ (роз) бо ) О. бз .Ф Ж (14) Объемный интеграл тождественно равен нулю, так как в каждой точке не- прерывности выполняется равенство (13). Приток массы ш=ро через 2 непре.и, „г,г э„„...Ь, э..э,э 1 г г г у г""~" э оставляя термин еизознтропнйныйэ для обозначения процессов о постоянной энтро- пией на данной траектории. 1бб ЧШ.й.
ГИПЕРУПРУГИЕ СРЕДЫ ЧШ.2.1. Общий случай. Среда называется гилгрупругой, если выполняются следующие условия. 1. Существует такая исходная конфигурация, что в любой момент вРемени 1 компоненты Еаа тензоРа ДефоРмаций ГРина-ЛагРанжа образуют вместе о температурой Т замкнутую систему термодинамическнх переменных. 2. Термодинамические свойства определяются заданием удельной свободной энергии: ф(Т,7 р)=ф(Т,Ц.
(16) 3, Внутренняя диссипация Ф, всегда тождественно равна нулю. Кроме того, в большинстве случаев допускается следующее. 4. Напряжения в исходной конфигурации равны нулю, а температура везде одинакова и равна Т,. Часто говорят, что такая исходная конфигурация является естественным состоянием среды (свободным от напряжений). Согласно условию (16) а~ бт Й =~ — 3 — +ю можно написать, что дт (Т ~аз) ю=дй бз =' аз л дф бьар бьар (17) где Раз = дф дйая ' С учетом симметрии компонентов теизора х.„з всегда можно предположить, не ограничивая общности, что величины Раз также симметричны.
Для этого достаточно напомнить, что вычисление частных проазводных у — осуществляется в предположении, что ф зависит ог десятп независимых пеоь г лемме (11.2), следует, что ввиду произвольности Я) неравенство (14) будет аы. полнено только тогда, хогда в любой точке поверхности Е ш(з)~0. (1б) Есля Š— контактная поверхность, то ш=О, и неравенство (И) не накладывает ннкахих ограничений ве значения з по обе стороны поверхностн Е, что и следовало ожидать, так как поверхность Е частицы не пересекают, и удельная ентропия каждой из ннх остается неизменной прн движении вблизи Е. Если Š†ударн волна, то ш †положительн величина, так как по условию нормаль йГ к граннце Е направлена таким образом, что нормальная составляющая относительной скорости У положительная величина, когда частицы пере.
секают Е в направлении Ф. Удельная энтропия терпит разрыв на фронте ударной волны и так как это — положительная величина, то «в тылу» фРонта ударной волны ее значение больше значений энтропии на передней границе фронта. Здесь нет ничего нового; наличие ударной волны говорит о необратимости а течении жидкости. Вне поверхности разрыва движения жидкости обратимы.
Так как про. цесс является адиабатным, энтропия частицы, оставаясь постоянной в областях непрерывности, увеличивается прн пересечении частицей ударной асаны. ременных Т и Еав, причем в записи функции ф ковффицненты Саа можно менять местами: . ф (т, 1.„, 1.„, У.м...) =ф (т, Сп, Г.м, Ц„...).
Зто предположение вполне оправдано, ибо в противном случае этим свойсь вом обладала бы функция ф, задаваемая равенством у у.вв+ 1,вт ~вт+Е тв ф (т, 1.,ь тт„т.„, ...) =ф~~т, Г.„, —, —, ...), 2 ' 2 которая бы принимала те же значения, что н ф так как в.ав — симметричные величины. Для изучения следствий из гипотезы 3 рассчитаем внутреннюю диссипацию Ф, и запишем ее в форме (ЧИ,18), Покажем с этой целью, что имеет место соотношение Рт 0Р, (18) в котором Р— матрица-градиент: длв Рж — — —.
даа В самом деле, согласно (Ч,26) и с учетом того, что Вц„Ви, д, дав дху дар ' можно записать (меняя немые индексы в правой части суммы) ра- венство совпадающее с равенством (18). Теперь можно записать (17) в виде от= РваРаэР~э0 а = 1г (Рргт0), где символом 1г( ) обозначен след матрицы, а Р— матрица Раэ. Таким образом, имеем Фв = о~у0в! — (ил= авв0ы — рРваР эР~э0ву — — (оы — рРваРаэР(э) 0ба Это выражение имеет форму (т'11,18), если считать, что О, играют роль переменных Уа, а величины в скобках — Ха. Так как внутренняя диссипация Фв должна быть равна нулю для любых 0Ы, то необходимо имеет место равенство о; =рРм — Р~э, дф И аз (19) которое в матричном виде запишется в такой форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
