Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 38
Текст из файла (страница 38)
4.), в котором функции Ю, и Ю, называют соответственно внутренней диссинативной н термической диссинативной функциями, причем для любого процесса в системе Фв Ю,, Ф»=Ю,. По предположению, Ю, — всегда кзазноднородная функцня, а Ю, может представлять собой сумму нескольких квазиоднородных функций. Таким образом, данная гипотеза позволяет рассматривать внутреннюю диссипацию независимо от термической. Изучим более подробно последнюю. Ч11.4.2. Закон теплопроводностн. Так называют дополнительный закон, вытекающий из существования функции Ю,.
Этот закон должен удовлетворять правилам, сформулированным выше для нор- мальных механизмов, и, кроме того, как было уже отмечено, прин- цип независимости от выбора системы отсчета. ачнем с очень важного частного случая, где эти требования выполняются. Предположим, что функция йрз (~у) (или ф, (1у)) зависит только от модуля д вектора д и что оиа нейрерывно дифференци- уема. В этом случае говорят, что теплопроводность изотропная.
огда ьГ и 1у обязательно коллинеарны, и закон, о котором идет речь, может быть записан в виде ф- — й(Т, Х, К,, Х., йа бТ. (50) где й — неотрицательная скалярная функция, а дг ~угад Т~( Дей- ствительно, Ю,-д г~=Т(а ат'(.- —,тф', д з 1 е и функция Ж1з(У), очевидно, квазиоднородна. Величину й называют козффициситоле теплопроводыости. Обычно ограничиваются предположением о том, что й зависит лишь от температуры или (еще более специальный случай), что й — постоянная величина. Соотношение (50) называют законом Фурье. Эксперимент показывает," что этот закон весьма удовлетворительно описывает процессы теплопроводности для довольно широких классов сред. Разумеется, могут встречаться более общие случаи, когда теплопроводность анизотропна.
Приведем один очень простой пример: е,= — йц (т, х„..., х„) д, й,=ти (61) где агу — компоненты некоторого симметричного тензора второго ранга, называемого тензором теплопроводности среды. В этом случае диссипацня Я1з — неотрицательная квадратичная форма: т шйд В общем случае можно построить и нелинейные законы. Достаточно, например, взять за основу диссипативную функцию вида Юз / (т, хь ° ° °, хч, з), е д1/Кяу. ЧИ.4.3. Адиабатные процессы. Изотермические процессы.
Процесс называется адиабагпяегж, если приток теплоты в течение всего процесса равен нулю. Из определения величины 1у (1Ч.3.2) видно, что конвективный теплообмен между отдельными частями системы отсутствует. Если среда нэотропна, то такие процессы можно рассматривать как предельные для общего случая, где в уравнении (50) коэффициент й стремится к нулю. Процесс называется иэотержическилг, если в любой момент времени температура всюду в изучаемой системе распределена равномерно и равна заданной температуре Т,. В этом случае на переменные 3; налагается ограничение я 0 — обычно этн переменные служат для определения предыстории.
Это ограничение играет роль внутренней связи. По аналогии с основным принципом, изложенным в Ч1.1.4, заключаем, что вектор ф нельзя теперь определить с помощью законов поведения. Этот случай можно рассматривать 169 как предельный, когда коэффициент й (50) бесконечно возрастает Иными словами, предположение об изотермичности процесса равносильно утверждению о том, что среда обладает идеальной теплопроводностью. В каждой отдельной задаче, относящейся к конкретной системе, неопределенность в отношении д исчезает, по крайней мере частично, в результате решения уравнений движения и, в частности, уравнения сохранения энергии. На практике редко встречаются случаи, когда процесс является строго адиабатным или строго изотермическим,— встречаются лишь ситуации, когда эти условия выполняются только приближенно, В этом случае интересно изучить соответствующие задачи в предположении, что упомянутые выше условия выполнены точно.
Такая идеализация явлений теплопроводности облегчает поиск решения и может дать хорошее приближение к реальным физическим процессам. Подобная схематизация аналогична примененной при определении понятия идеальных жидкостей как предельных случаев, когда вязкость стремится к нулю. ЧЬЕЗ. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ На основании гипотез и выводов, полученных в ЧП.4, остается сформулировать дополнительные законы для внутренней"диссипации, что является содержанием следующей главы. Выбор функции зависит от природы изучаемого материала.
В этом Разделе дана краткая схема метода локального состояния, без подробных обоснований или интерпретаций, которые можно было бы дать в этом методе даже без использования общих функ. циональных подходов. Интересующиеся этими вопросами могут обратиться к исчерпывающей работе Циглера, которая использована при изложении теории нормального диссипативного механизма, а также к статьям Ж. Моро, который для общего случая ввел функции, названные псевдопотенциалами диссипации. В рамках той ограниченной, но достаточной для приложений схемы, которая была избрана, метод локального состояния полностью описывает поведение среды с помощью двух функций, обладающих свойствами выпуклости: термодинамического потенциала, диссипативной функции или, в более общей форме, диссипативиого псевдопотенциала.
Выбор переменных, описывающих предысторию, неоднозначен: иногда приходится допускать, что переменные, описывающие свободную энергию, содержат помимо вводимых в запись термостатического потенциала переменных Хр переменные $п называемые скрытыми, ибо они не содержатся в явном виде при термостатическом анализе среды, так как остаются постоянными в течение обратимого термостатического процесса. Переменные $, не определяют, таким образом, законов состояния, но входят в выражение для Ф, и служат для формулировки дополнительных законов, которые могут быть записаны согласно приведенному выше общему методу (см.
пример в ЧП1.5). Подчеркнем, что общий метод позволяет лишь найти схему записи законов поведения и оставляет, таким образом, широкое поле для гипотез. Таким образом, при изучении каждой конкретной среды следует опираться на эксперимент, что позволяет в зависимости от результата разумно выбрать наиболее простые теоретические схемы. ГЛАВА У1!1 ЗАКОНЫ ПОВЕДЕНИЯ (ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ) СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ В этом разделе стоит аадача применить полученные в предыдущей главе выводы к изучению механики сплошных сред.
Наиболее простой пример — это жидкости, рассмотренные в Ч Н1.1. С позиций термостатики жидкость — это среда, состояние которой может быть описано всего лишь двумя параметрами; выражения потенциалов в этом случае известны с большой точностью, что позволяет описывать совокупность термостатнческих свойств обычных жидкостей и газов. Интересен частный случай, когда среда — идеальный газ. В классической механике жидкостей дополнительные соотношения, необходимые для записи поведения среды, выводятся из принципов термодинамики необратимых процессов, т.
е. на основании квадратичной диссипации. Изучению упругих сред посвящен Ч111.2. Чтобы избежать путаницы с понятием упругости, введенным в главе Ч1, в Ч111.2 используется прилагательное «гиперупругий». Следует, однако, подчеркнуть, что все среды, обычно называемые упругими, фактически являются гиперупругими. Основная характерная особенность этих сред состоит в том, что внутренняя диссипация в них тождественно равна нулю. Законы поведения излагаются в самом общем виде, как и их математические выражения в случае несжимаемых изотропных сред. В случае изотермических или адиабатных процессов законы поведения совпадают с частными формами законов, приводимых в главе Ч1.
Весьма важные для приложений случаи линейной упругости и линейной термоупругости рассмотрены особо(Ч111.3 и Ч111.4). На этом примере показывается, каким образом опытные данные могут быть использованы для построения термодинамических потенциалов среды. В Ч111.5 — Ч1П.7 изучается возможность экстраполяции выводов иа случай вязкоупругих сред и показывается на примерах, каким образом производится обобщение метода локального состояния. Изучаются наиболее простые вязкоупругие среды, например среды Кельвина — Фойхта и Максвелла, но одновременно указывается путь построения других моделей вязкоупругих сред. Последний параграф вскрывает связь устанавливаемых ранее принципов с формулировкой законов поведения упругих идеально пластичных сред, здесь для простоты рассматриваются лишь малые возмущения.
а мыта Ч111.1. КЛАССИЧЕСКИЕ СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ Йф= — зЙТ вЂ” рдт, получим, с одной стороны, выражение для удельной энтропии з= — — (Т, т) дв дТ а с другой — закон состояния р = '7 (Т, т), 7 (Т, т) = — — (Т, т). (2) Переменная р, сопряженная переменной т, называется термодинамическим давлением жидкости или просто давлением. Из термодинамики известно, что давление всегда положительно. Очевидно, что точно так же можно было бы выбрать в качестве термодинамических переменных величины з и т. В роли потенциала, который предстоит использовать, выступает теперь удельная внутренняя энергия е(з, т).
Так как бе=Тбз — рбт, то Т=Х(' ) р=а(' ) Е(' )= — д-(' ) де де Весьма простой и часто встречающийся случай: среда — идеальный газ, удельная теплоемкость которого при постоянном объеме неиз- менна (ПП1.4.3). Законы состояния (2) и (3) в этом случае запи- 1путся в виде рт гТ ртт ехр (( с ) (4) где С,— удельная теплоемкость при постоянном объеме; 1 — газовая постоянная для идеальных газов; т — показатель адиабаты, равный 1,4 для воздуха. Из свойств выпуклости потенциала е(з, т) (см. ПП1.7) следует, что — — отрицательная величина. Заметив, что величина ~ (з, р) дд др положительна и имеет размерность квадрата скорости, можно написать, что с' = — (з, р) = — т' ~ .
др еда =др = д По определению, с — скорость звука в жидкости. Подчеркнем, что 1Зв НП.1.1. Термодинамические данные. По определению, термодинамическое состояние жидкости задается двумя термодинамическими переменными, в качестве которых можно, например, взять температуру Т и плотность р. Плотность иногда удобно заменить обратной ей величиной — удельным объемом т=р '.
Тогда свободная энергия ф(Т, т) представляет собой термодинамический потенциал, на основании которого могут быть определены все термодинамические свойства среды. Выписав в классической для термодинамики форме дифференциал скорость звука представляет собой одно ив термодннамических свойств вреды. Удельная обратимая мощность, полученная системой, легко подсчитывается по формулам щ рви Р — Р 61чи — Р, в рар ра=~~и= р = р последние равенства вытекают из уравнения неразрывности и определения объемного расширения.
Тогда внутренняя объемная диссипация запишется в таком виде (ЧП,13): Ф =(оу+Рбц)Рц=тцРц (6) где, как и в (Ч1,14), а, = — рб; +т,. (7) Напомним, что, по определению, тц — компоненты тензора вязких напряжений. Ч!!1.1.2. Дополнительные законы. Как уже отмечалось при изложении общей теории, уравнение (6) имеет структуру соотношения (ЧП.16), причем вместо Х„ здесь фигурируют тгн а вместо У„-Р 7-компоненты тензора скоростей деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
