Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 40
Текст из файла (страница 40)
~ — ррах рт, (2О) если обозначать через ~вс матрицу с компонентами —. дф дЬ двар ' 167 Если исходная конфигурация — естественное состояние материала, то, разумеется, частные производные -~~- равны нулю при Т* Т, и Ьмв=О. Йз всех возможных диссипаций может иметь место только термическая. В общем случае допустим, что термическая днссипация происходит по закону теплопроводности Фурье* !у= — й(Т) вагаб Т. (21) В заключение сформулируем следующее положение. Гиперупругая среда будет полностью определена заданием удельной свободной энергии ф(Т, Е) и коэффициента теплопроводности й (Т) — неотрицательной функции температуры.
Тензор напряжений определяется уравнением (20), а поток теплоты — (21). Если предполагается, что движения среды только изотермические, закон (21) не имеет места и к тому же температура Т остается постоянной. Очевидно, что гиперупругая изотермическая среда представляет собой частный случай- упругой среды (согласно результатам, приведенным в Ч1.3.1). В самом деле, Р=йуу, и, следовательно, производная чозь- можетбыть выражена как через С или %, так и через (.. Заметим, в частности, что если выра- вить свободную знергию в виде р-ф(т, с), то уравнение (20) принимает форму 2Р Рт бф Ж (22) Заметим, что все упругие тела обладают свойствами гиперупругости.
Поэтому при изучении упругости можно ограничиться рассмотрением законов поведения типа (20). Замечании. !'. За отправную точку можно бьио бы взять свободную знергию ф(Т, Роа); выраженную через компоненты матрнпы-градиента. Очевидно, вто был бы более общий случай. Однако нз принпипа незавнсимостя от системы отсчета следует, что величина ф инвариантна относительно выбора системы отсчета. Тогда, какова бы нн была ортогональная матрена Я, необходимо имеет место равенство ьь зр(Т, Р) зр(Т, ОР). Очевидно, что в атом случае .ф=(т, Р)- р(т, !ч), если принять Я=йт прв Р=Н1Ч.
Но гак как !Ч является функцией !з то возвращаемся к исходной гипотезе. 2'. Формула (20) могла бы быть выведена на основании результатов, приведенных в Ч.5.3, и, в частности, формулы (Ч,аб), которая дает возможность [нс- * Подчеркнем, как было сказано выше (ЧП.4.2), что здесь мы имеем дело с частным соотношением.
Наиболее общее определение лля случая взотропной среды будет дано в задаче !О. " Чтобы не увеличивать колнчества обозначений, сохраним для функдии символ зр, но выразим ее через новые независимые переменные. ц,шьзуя (У11,13) и обозначая через Ре плотность в исходной конфигурации! зависать равенство Ф - — ф Э-Рераа) — Нй, Р бЕ б)3) Ре Ф жггорое сразу дает выражение для тензора Пиала — Кирхгофш зар=рераа, заа=ре —, 3=Рай~ ° дф дЕаэ' С учетом формулы (У.8!), которая связывает 2 и о. приходим вновь н уравнению (30).
3'. Если сделать дополнительное предположение о том, что исходная конфигупзцня является естественным пенапряженным состоянием, то тогда (при Т Те н Р= 1, т. е. Е 0) необходимо будем вметь Е О, и величина ф будет стаци. онарной при Еар=О С другой стороны, из термостатикн известно, что, будучи функцией от Еаа, величина ф должна иметь относительный минимум при Еар О. 4'. Если предположить, как обычно, что полученная удельная теплота г равна нулю, то уравнение знергин запишется здесь в такой форме: РТ вЂ” +епт и =О.
бз ш С учетом значений э и д, определяемых соотношениями (17) и (21), получаем Р (~~ 41+~Я~ бз ) +Б- (йУ-) ° О. В частности, в случае равновесия гнперупругой среды скорости равны нулю, как и частные производные по времени, ибо среда покоится; то же можно сказать и о субстанциональных производных. Следовательно, распределение температур Т (х) удовлетворяет уравнению в частных производных: д (й(Т) д ) =О. ч1111.2.2.
Несжимаемые среды. К гипотезам, выдвинутым в предыдущем параграфе, следует добавить предположение о существовании внутренней связи Раз=О. Равенство Ф,=О в этом случае следует выписывать уже не для произвольных значений 07, а лишь для тех значений, которые удовлетворяют данному ограничению. Отсюда вытекает, что, как и в Ч1,1.4, тензор напряжений определяется только с точностью до шарового тензора: Х вЂ” РР.~Й Рт р1. дЬ В формулировке закона поведения давление р может быть произвольным. М!!.2.3.
Изотропные среды. Если скалярная функция ф(Т, !.) не аависит от выбора системы координат в исходной конфигурации, то гиперупругое тело называют иэотропным. Легко видеть, что в этом случае ф является изотропной функцией !., которая удов- летворяет, какова бы нн была ортогонапьная матрица А, тождеству ф (Т, АЬАт) = ф (Т, Ь). Величина ф представляет собой, таким образом, функцию темпера- туры Т н элементарных ннварнантов Е, нли температуры Т и эле- ментарных ннварнантов С, так как 21.=С вЂ” 1. Выше отмечено, что тензоры В =РРт н С=РтР имеют одни н те же инварианты, что позволяет записать удельную свободную энергию в таком виде: ф ч))(Т В~ Вц Вц~) = 1ь (Т С~ Сц Сщ). (24) Можно получить следующие формулы (задача 1): = баз» аа СРаз Сад~ = Сщ (С )азю дС| дС ~ дСц~ дСаз дСаз ' дСаз обозначая через С ' матрицу, обратную С, н через (С ')а» ее ком- поненты.
Таким образом, Д-$1++(С,1 — С)+Сц,— '2-С . Кроме того, РРт.= В, РСРт аа В*, РС-'Рт 1, н, следовательно, с учетом тождества ннварнантов В и С можем переписать (22) в виде Х 2р(ВщД- 1+( — ~-+В, -д-)  — фВ'). (25) Используя теорему Ч1.3.2, можно показать, что Š— нзотропная функция В, но здесь установлена более точная формулнровка, так как Е выракена явно через свободную энерпцо ф, Уравнение (25) можно также записать в виде Е а2Р((ВцД-+Вщ дВ )1+ В-Вщ — В-~~, (26) так как в силу тождества Кэлн-Гамильтона (П1,68)[ Вц,В '=В' — В,В+Вц(.
В задачах 2 н 4 читатель встретится с другими формулировками законов поведения напряжений в случае гиперупругой нзотропной среды. В задаче 10 будет дана общая формулировка закона теплопроводностн для такой среды. для частного случая, когда среда — гиперупругое явотропное несжимаемое тело, Вщ Ь Свободная внергня эавнснт только от Т, Вь Вц, а напряжения определены о точностью до числовой величины давления. Уравненне (2б) в этом случае может быть упрощено: х-- р)+2р( —  — д — в-ь ); l де . дф (27) 'ч дВ| Здц ) ' к тому же плотность р рэ постоянна, так как среда весжнмвема.
)уа Чнтетель легко нядкет ограничение нв функцию ф (Т, Вь Вп, В|п) в урввяении (26) и, в честности, в уравнении (2У), вытекающее нв прелположения о существоввнии естественного состояния. ЧП1.2.4. Изотермические и изознтропийиые движения упругой среды. Энергия деформаций. Как было сказано выше, процесс, происходящий в упругой среде, называется изотермичесним, если температура остается постоянной, т.
е. Т Т,, В этом случае свободная энергия ф, описываемая уравнением (16), зависит только от компонентов тензора деформаций Грина †Лагран; то же можно сказать и об уравнениях, отражающих законы поведения, например (20). В этом случае обычно говорят, что функция го(1.), определяемая уравнением гв(Ь) =роф(Те~ 1 )э где р,— плотность в исходной конфигурации, представляет собой энергйю деформации частицы, отнесенную н единице объема исходной конфигурации. Если эта функция известна, то можно описать механическое поведение среды.
Диссипация тогда тождественно равна нулю, а уравнение энергии не связано с другими уравнениями, так ках только в этом уравнении фигурирует приток теплоты. Здесь идет речь об очень важном случае, когда механические и термические эффекты не связаны и могут изучаться независимо. Учитывая закон теплопроводности Фурье (21), можно заметить, что этот случай рассматривается как предельный, когда коэффициент теплопроводности я стремится к бесконечности. Другой случай отсутствия взаимосвязи между этими явлениями— адиабатные процессы — также предельный, когда коэффициент теплопроводности равен нулю.
Здесь предпочтительнее основываться ие на свободной энергии ф(Т, Ь), а на внутренней энергии е(з, Ь), которая также позволяет дать полное описание термодинамических свойств среды. В общем виде имеем — =Т вЂ” +ю, в= — — ". де дя — — де джаз Ш дГ ~ д(оз дГ (29) Рассуждая, кан и в Ч111.2.1, приходим к тем же результатам. Закон поведения может быть записан, например, в виде уравнения (20): Х вЂ” рр де Рт (30) Заметим, что в уравнении (20) производная 3Е берется при постояндф ной температуре, в то время как в (30) 3Ь- берется при з сопз1. де Этот вывод, полностью аналогичный данному выше выводу для общего случая, дает возможность выявить упрощения, вытекающие из предположения об адиабатности процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
