Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 36
Текст из файла (страница 36)
149 обратное), что она возрастает, равна нулю при к 0 и принимает сколь угодно большие значения, когда Х бесконечно растет. Это не помешает исследовать важный частный случай, когда Х»Ь(к) 1, б) Доиолнительнь»й закон. Нормальный диссипативный механизм определяется выпуклой и квазиоднородной диссипативной функцией гну(У) и аксиомой ортогональности, уточняющей условие, которому должен удовлетворять любой вектор Х, поставленный в соответствие некоторому заданному (дополнительными законами) вектору У. 4'. Аксиома ортогональности. Любой вектор Х, соответствующий вектору У, ортогонален и направлен вне области б, граница которой дб проходит через точку У.
Все геометрические понятия, о которых идет речь в этой формулировке, относятся' к пространству Е . Напомним, что нормальный вектор, внешний относительно выпуклой области б» в точке Уц1 границы области дб», совпадает с вектором М, нормальным к опорной плоскости в точке У и направленным вне области б». Другими словами, М. (У вЂ” У"') и, О для любого Г, такого, что Ю(г)(Ь. Множество векторов М, обладающих этим свойством, образуют непустое выпуклое множество пространства Е (рассматриваемого как векторное пространство).
Если в окрестности точки гчо область б» имеет непрерывно вращающуюся касательную плоскость, вектор М коллинеарен единичному вектору нормали, направленному вне б». Рассмотрим прежде всего следующий случай. Функция Ж>(У) непрерывно дифференцируема; то же можно сказать относительно Ь(») н )»(У). Вектор Х тогда необходимо коллинеарен йгаб <9 или дгадй. Можно, например, написать дь Х сигай)», Хь с— где с — скаляр. С другой стороны, Х У должно быть равно Ю(г).
Следова- тельно (так как Ь вЂ” однородная функция первой степени), сУ йгаб)» сд(У) сХ=Х У Ю(У) Ь(Х), откуда следует, что Х определяется однозначно по формуле Х = — йгаб)». (21) Заметим к тому же, что афтаб Ю л, дгаб(», У.афтаб Ю Х р~„=~(Ю), ьь ьь (22) где ) (Я) — функция Ю, по меньшей мере равная Ю, так как ь 'Ь(Х) ~ — в силу выпуклости функции Ь(Л). Следовательно, ра-. ль ренство (21) может быть записано в виде Х 7( и) афтаб !й! — — „®угад !к!.
Ю (23) в) Диссипативный псевдопотенциал. Вектор Х можно выразить в виде квазиоднородной функции !р(У), называемой диссипативным псевдопотенциалом и определяемой уравнениями Х=й(У), ф(У)=а(Х), а(Л)=~ Ь(з) —,=) Ь(Ы) —, (24) или, короче, (25) откуда следует, в частности, что ф(У) — выпуклая функция, что можно сразу же проверить, используя приведенное выше определение. В самом деле, заметим, что пгад ф = — „йгадй = — Ь (й) йгад Ь, аа ! где Х У=Я.
Таким образом, каждому У можно поставить в соответствие множество (выпуклое) векторов Х. Для этого случая можно установить результат, обобщающий равенство (26): всякий вектор Х"', соответствующил вектору Р", будет субградиентом функции у в точке !р'", т. е. для любого У"" будет иметь место неравенство <р (У') — Ч (У"') — Хсо (У' — У'ц) ~ ~О. (28) Доказательство нетрудно. Прежде всего из неравенства (28) следует, что вектор Хсо представляет собой в пространстве Е„ вектор нормали, направленный вне области и, граница которой дб проходит через Р1!. Рассмотрим теперь в пространстве Е +,(У„ У„ ...
У„, г) область <р, определяемую неравенством г ) !р(У). Из неравейства (28) следует, что г — Хап У+ Хаа Уса — ~р (У"') = 0 (29) !в! так что равенства (21) и (23) могут быть переписаны в виде Х=дгад<р: (26) Последнее объясняет название функции !р. Предположим теперь, что градиент функции Ю(У) в точке У не существует и пусть М вЂ” вектор единичной внешней нормали в точке У к контуру дЬ, проходящему через эту точку. Существует вектор Х, коллинеарный вектору й7 и соответствующий вектору У; соответствие определяется формулой Х= — М, (27) является уравнением опорной плоскости к выпуклому множеству ср в точке, проекция которой на Е совпадает с УО'.
Опорная плоскость пересекает ось )У=О множества Е„, в точке, расстояние От КОтОРОП ДО НаЧаЛа КООРДИНат РаВНО 1Рн, ГДЕ »р н = Хсм. у'111 — тр (ггсв». (30) С другой стороны, легко видеть также (рис. 2), что тр' = Ь (Л„) — а (Л,), следовательно Хсо Гсм=ь(Л,)=В()гч~». Таким образом, Хоп — вектор внешней нормали в точке у"1", для которого Х»1>, )г»1» !ят (рп1» откуда и следует справедливость утверждения. Легко доказывается и обратное утверждение: всякий вектор, определяемый по формуле (27), в точке )' равен субградиенту функции»р. Гипотезы !', 2', 3' и 4' относительно нормального диссипативного механизма дают возможность сформулировать следующую теорему.
Теорема !. Существует непрерывная, выпуклая, определенная для любого У функция ср()г), неотрицательная и равная нулю при У = О, называемая диссипативным псевдопотенциалом. Вектор Х будет соответствовать заданному вектору У тогда и только тогда, когда Х субградиент функции»р в точке У. Соответствие между векторами г' н Х показано на рис. 3. Чпст- Рнс.
2. Сечение области б» плоскостью, определяемой величинами Уо н г. О»нтьем длн простоты вектор У» еде. вечным. Обратите внимание нв то, что нв втоу. плоснсстн границей облвстн»р является гледнея кривая. кесетельнвя в ноторов нмегт наклон длгбд=х 'В (А> Отсюда следует. что Е" =Ь б»)-е (11 !52 Рве. 3. Пример векторов Х, ассоциированных векторам У.
Конны веет выбранных венгеров У лежат ве гренице выпунлоо облеств бь Вектор Х прнложен в точке У яв дйь н нвпрввлен по внешнее нормали отвоснтельно ДЬ тен, что Х У=Ь. Вдоль неввмнвутых дуг У'УК У»У»У'У» точке У соответствует только один вентор Х Тачкам У' я у' соответствуно двв множестве векторов Х Вектор Х» сост. ветствуег точкам сегм ягв У'У» мые случаи. Положительно однородная функция Ю(У) степени однородности р представляет собой частный случай квазиоднородной функции и определяет, следовательно, нормальный диссипативный механизм.
В таком случае З(Х) и а (Х) пропорциональны: З () ) = Хе, а. Р,) = — ' ) е, ! (Ю) = рЮ. Если к тому и е функция Ю(У) непрерывно дифференцируема, Х= — вагаб Ж>. (31) Р Еще более специальный, но очень важный случай, когда функция йй(У) является квадратичной формой, которую можно записать (принимая соглашение о суммировании по повторяющимся индексам): йд (У) =С„зУ„Уз (32) тогда Хч С~зуз Х СУ (33) Ассоциированный с Х вектор У является, таким образом, линейной функцией от У, так как матрица С симметрична. Исторически это один нз первых законов, который часто называют законом (дополнительным) термодинамики необратимых процессов.
Свойство симметрии матрицы С постулировано Оизагером. Первоначально этот закон был получен методами статистической механики. Приведенные здесь принципы приводят к естественному обобщению на случай, когда дополнительные законы строятся на основе квазиоднородной диссипативной функции. В самом деле, они позволяют сформулировать свойства сопряженности значения Х и У, что представляет собой расширение упомянутого ранее принципа на новую область.
Как уже отмечалось, и это будет строго доказано на примерах в следующей главе, значения У часто равны скоростям деформаций, а Х- напряжениям. ЧП.З.З. Свойства двойственности. Выше были определены значения Х, которые могут быть поставлены в соответствие некоторому данному вектору У в нормальном днссипативном механизме. Теперь поставим задачу: для заданного вектора Х найти множество векторов У, одному из элементов которого поставлен в соответствие вектор Х.
В этом случае будем говорить, что такой вектор У ассоциирован Х. Используем снова область <~ в пространстве Е определяемую неравенством г ) <р ( У). Лля произвольного вектора Х существует по меньшей мере одна опорная плоскость функции о, перпендикулярная вектору (Х„..., Х„, — 1), с уравнением г — Х У+~р'(Х) О, где ~р'(Х) — однозначным образом определенная функция Х, а искомые У определяются точками соприкосновения опорной плоскости с <р, иными словами, уравнением р(У)+~р (Х)=Х У. (34) Это соотношение связывает векторы Х и У, поставленные в соответствие диссипативным механизмом.
Говорят, что «р' (Х) является сопряженным диссипативным псевдопотенциалом. Из свойств выпуклости «р(У) следует, что для фиксированного Х при любом У «р'(Х) = зцр(Х У вЂ” «р (У)). (35) Отсюда можно сделать вывод о том, что функция «р'(Х) выпукла и определена в сопряженном пространстве Е„'(Х„Х„..., Х„), так как если Х, и )ье — два положительных числа, равные в сумме 1, то «р' ()«тХ«ы+ )ьвХ«з«) = впр (Л Х"' У вЂ” лт«р (У) + +х,х' У вЂ” 'л,р(У)) <х,ф (х,)+х,ф (х,). Из формулы (35) следует, что для произвольного Х' и всех У выполнено неравенство р (Х') ~Х' У вЂ” р(У); и если справа У совпадает с одним из векторов, ассоциированных Х, то согласно (34) будем иметь «р' (Х ) — фе (Х) — У(Х' — Х) ) О.
(36) Таким образом, У вЂ” субградиент функции «р' в точке Х. Если, в частности, в окрестности Х функция «р' гйдпрерывнодифференцируема, то У=игаб«р'. (37) Нетрудно видеть, что «р'(Х) равна' преобразованию Лежандра' (с точностью до знака) функции «р(У). Резюмируем установленные свойства двойственности в форме теоремы. Теорема 2. Пусть «р'(Х) — непрерывная выпуклая функция— преобразование Лежандра (35) функции «р(У).
Тогда любой вектор У, соответствующий заданному вектору Х, равен субградиенту функции «р' в точке Х. Функцию «р'(Х) называют сопряженным диссипативным псевдопотенциилом. В рассматриваемом здесь случае диссипативный механизм определен через квазиоднородную диссипатнвную функцию — зту двойственность можно уточнить и расширить. Пусть дан вектор Х и ассоциированный ему вектор У. Рассмотрим вектор Уз, коллииеарный вектору У н определяемый по формуле У АУз, как и в Ч11.3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
