Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 31
Текст из файла (страница 31)
5 ге 1этэ !29 в котором Р— матрица-градиент в новой системе координат а„, задаваемой формулой (7). С другой стороны, в силу (Ч,15) имеет место раненство Р РАт, где А — ортогональная матрица, следовательно, для любой ортогональной матрицы А должно выполняться новое функциональное тождество 3 (Р) = э (РАт). (24) Для любого фиксированного момента 1 можно найти такую матрицу А, для которой РАт=Ч; для этого достаточно выбрать А=К и применить второе из двух полярных разложений (Ч,24), в котором Ч вЂ” левая симметричная матрица расширения. Тогда (17) перепишется в виде Х э (Ч).
Более того, тождества (20) и (24) показывают, что, какова бы ни была ортогональная матрица А, имеем Ай (%) Ат — й (А%) — й (АЮАт) так что э(Ч) — изотропная функция от Ч. Кроме того, Ч' В (Ч,25) и 2Е = 1 — В ' 1(Ч,28) и (Ч,20)], где Š— матрица тензора Альманси— Эйлера. Теперь можно сформулировать теорему.
Теорема. Закон поведения упругой среды, изотропной относительно исходного состояния, может быть описан одним из равенств Х=й(Ч), И=Я(В), Х=й(Е), (25) где э",,ув и л — некоторые изотропные функции симметричных матриц. Можно, например, написать следующее выражение закона поведения через тензор деформаций Альманси — Эйлера: Е=йе(Е~ Ец.
Е1ц)1+А (Е~ Ец Ец1)Е+йв(Е~ Ец. Еш)Еа. (26) где йр — — (р=0,1,2) — некоторые скалярные функции трех скалярных переменных Е,, Ец и Е,ц — элементарных инвариантов тензора Е. Заметим, что для упругой наогропной среды характерен тот факт, что иаковы поведения оперируют с тенаорамн, определенными в касательном векторном пространстве частицы в момент К Ч!.3.3. Классическая теория упругости. Гипотезы теории упругости хорошо согласуются с поведением металлических элементов конструкций под нагрузкой. Это и понятно, ибо в повседневной практике металлические конструкции испытывают небольшие деформации.
Представляется целесообразным использовать этот факт для некоторых упрощений, вполне допустимых для приложений, которые будем изучать. Такие задачи стоят перед классической теорией упругости. Таким образом, классическая теория упругости представляет собой теорию упругих сред, линеаризованную около естественного состояния в смысле определений Ч.45. Кроме того, предполагается, что среда однородна и изотропна относительно своего естественного состояния, а это последнее, в свою очередь, свободно от напряже- !30 иий. Речь идет об асимтотической теории малых возмущений, когда деформации описываются тензором е, введенным в Ч,41. Учитывая формулу (Ч,38), можно применить результат (26) с соответствующими упрощениями. Тензор Е заменяется на з и в правой части удерживается только основной член.
При з 0 тензор Е должен быть равен нулю, так как напряжений в естественном состоянии нет. Отсюда следует, что о, — линейные функции з; и, следовательно, как и в (15), можно написать, что оу — — Лззаб, +2рз,; (27) в этой формуле коэффициенты Л и р, называемые коэгр4ициентами Ламе и являющиеся характеристиками среды,— постоянные величины. Результат (27) можно получить, не прибегая к общему выводу (26), найденному для случая нелинейной упругости, если принять, что ау — линейные фуикции от в,, а тензор г — изотропная ' функция матрицы з.
В этом случае для построения зависимости (27) достаточно применить упрощенную формулу для линейных изотропных функций (П1.7.8). Заметим, что формула (27) может быть переписана в виде а=Зле, еу =2ре,, (28) если положить ЗК = (ЗЛ+ 2р), (29) использовав. каноническое разложение на шаровую и девиаторную составляющие: оу — — збу+зйо еы — — еб) +е, . (30) В самом деле, для получения равенств (28) достаточно подста- вить разложения (30) в уравнение (27) и отделить в обеих частях шаровые составляюшие от девиаториых.
И наконец, очевидно, что зу можно выразить аналогичным образом через оы. Используя, например, зависимости (28), имеем и, = — о) — озяб)у, (1+ч) (3!) коэффициент Е называется модулем Юнга упругой среды, а ч— коэффициентом 17уассома. Из уравнения (31) следуют зависимости: ! — 2ч 1+ч е = — з, еу — — — зць (32) позволяющие связать коэффициенты Е и ч с коэффициентами Л и рл Е Е чЕ 'зм ц+„, эх 3).3-2ь <<ь, х з ь)ь)„). )33) ь ь зует одну в ту же систему отсчета для исходной н актуальной конфигураций. Замена системы отсчета преобразует Х и з в Рхрт и РвРт соответственно, а линейная связь между х и е для изотропной среды должна быть инвариантом по отношению к атому преобразозавикь 131 Из этих соотношений находим 1 — 2ч ф л 1+ч Зд+2р ' 2(д+р) (34) н, наконец, (35) Физический смысл коэффициентов упругости.
Чтобы дать физическую интерпретацию параметров упругости и обосновать выбор укаэанных выше зависимостей, следует обратиться к частной форме, которую принимает закон поведения в некоторых простейших случаях. а) Если еМ=О, то зу — — О [и обратно, согласно (28)). Тогда тензор напряжений я тенэор деформаци() †шаров. Если з †отрицательн величина (в случае равномерного сжатия в окрестности частицы), то опыт показывает, что и е также отрицательно * (среда испытывает местное однородное сжатие).
Коэффициент К, " Здесь рассматривается только локальный эффект, но в Х,(.З видно, что вывод имеет и глобальное значение, и именно втот последний может быть проверен экспериментальным путем. деаормиробаннов сьстннив нсшесп Зеннве сосаанвие омЛЙ~ ни е вприцешеньнм лт ~ бг ! эв. о) ! н бхг — - «! Рис. 2. Графическая интерпретация модулей упругости (на примере цчементарной частицы): а-К вЂ” модуль всестороннего расширении сжатия.
ясла обовначить через "РГЭ объем частицы в естественном состоввив. то величина "Ггз!!+За) будат раВНа ОбЪ. ему частнцм в дв(юрмнроеав. ном ссстоивни; б-оы тисы=аж в-модуль сдвига; е-и-унругиа еюдуль ири часюм растяжении (модуль Юнга); ч-новраициеит пу- ассона б) де Хх 132 р (З)с+ 2р) к+р Заметим, что Е, )ь, р имеют размерность напряжения М) хТ ', а коэффициент ч — безразмерная величина.
следовательно, положителен. Его иаэыиают модулем всестороннею расширвнич, так как для заданного положительного э (однородное растяжение) в (объемное расширение) тем меньше, чем больше )( (рис. 2, а). б) Если Х вЂ” тензор простого сдвига и иапраилениях Охм Охз (П1.3,21, то е — тенаор простого сдвига по этим же напразлениям (Ч.4.3).
Все ам и згг раины нулю, кроме ом=оы и еы=еэз, сзязанных соотношением о,э=багз. Коэффициент Ламе Р назыиают модулем сдвига (рис. 2, б). з) Если, наконец, Х вЂ” одноосный тенаор с осью х, то асе ам раины нулю, за исключением аы. Из (3!) тогда следует зтэ=ззз=зэг=о ам тоы ем = —, езз= езэ = — — — — — тзг!. Е ' Е (331 Тензор деформаций не является одноосным. Относительное удлиненяе я направлении хь т. е. втм таково, что оы=Ееы; модуль Юнга назыиают также модулем сопротнзления удлинению от простого растяжения. Он положителен, ябо нз опыта' известно, что стержень и результате иоэдейстаия растягизаюшего усилия (аы > О) удлиняется (еы > О). Леформация езз=езз характерузует суже.
ние. Коэффициент Пуассона и дает отношение сужения к удлинению, и нз опыта нзеестно, что и — положителен ве (рис. 2, а). С другой стороны, если Е и А' больше нуля, то из (33) видим, что т есегдз меньше х/з. Отсюда следует, что и н Р . также положительны.
Прнаодимые элементарные соображения позволили уже па этом уровне прийтн к простому физическому смыслу коэффициентоа К и Р, с одной стороны, и Е н т — с другой. Ч!.4. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ ПОВЕДЕНИЯ Своими сравнительно недавними успехами механика сплошных сред обязана необходимости изучать классы материалов, отличные по своим свойствам от жидкостей и упругих сред, законы поведения которых могут быть самыми различными. В качестве иллюстраций и для того, чтобы подчеркнуть все разнообразие возможных моделей, рассмотрим кратко несколько примеров. У!.4.1.
Классическая вязкоупругость. В обоих рассмотренных выше общих случаях тензор напряжений был фактически функцией тензора, выбранного для описания деформации, а отнюдь не тем функционалом, который постулировался в обшем виде в Ч1.1. Это следует, как было указано, из особого характера памяти данных сред Сейчас стоит задача установить (в качестве примера) закон поведения среды с непрерывной памятью. Рассмотрим случай, когда функционал может быть выражен в виде одного интеграла. Ограничимся системами, совершающими малые движения около некоторой, принятой за исходную в момент (=О конфигурации, являю- шейся, кроме того, естественным состоянием, свободным от напряжений. Будем использовать линеаризованную теорию (Ч.4,Ь; Ч.7) Деформацию будем описывать тензором малых деформаций е; через а(х, 1) и е! (х, () будем по-прежнему обозначать шаровую составляющую и девиатор.
Закон поведения дает значения теизора напряжений и, в частности, шаровую составляющую з(х, 1) и девиа- * См. раздел Х.!.4. вв См. там же. тор зу(х, 1) в зависимости от деформаций в предшествующие моменты, влияние которых учитывается с помощью двух функций К(Л) и р(Л), определенных при Л вО, невозрастающих, положительных, непрерывно дифференцируемых. Более строго, имеют место зависимости: з(х,() 3К(0)е(х,г)+') 3 — „е(х, г — Л)дЛ, (37) зы (х, 1) 2)л (0) еы (х, () + ) 23~д е, (х, г — Л) дЛ, причем К(0)-К., )л(0)=Р„К( )=К„, (л( ) р„.
Прежде всего исследуем природу данного закона. Принципы причинности и пространственной локализации выполняются. Среда является материально простой и однородной. Так как остаемся в рамках линеаризоваиной теории, то принцип независимости от выбора системы отсчета выполняется автоматически, ибо величины, входящие в закон поведения, выписаны для исходной конфигурации. Среда †изотропн, так как замена отсчетной конфигурации сводится здесь к замене репера (например, в исходной конфигурации) и приводит к формулам Е' = РЕРт, е* = РзРт, в которых Р— постоянная ортогональная матрица.
Зависимости (37) в новой системе сохраняют свой вид с теми же функциями К и (л. Наконец, если з(х, () =О, то 2 =О и исходное состояние свободно от напряжений — среда допускает естественное состояние. Дадим теперь физическую интерпретацию данного закона. Если К(Л) и р(Л) — постоянные функции, то К(Л)=К, и )л(Л) =(л„т, е. среда является упругой, а зависимости (37) переходят в зависимости (28). Если деформация в точке х не меняется со временем (при () 0), то е(х, 1)=е'(х), е, (х, Г)=е)~(х), (38) и легко получаем з (х, ~) = 3К (() е" (х), вы (х, ~) 2)л (() е)~ (х). (39) Таким образом, напряжения з и з, убывают с течением времени пропорционально К(1) и р (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
