Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Решать эту задачу можно двумя путями. Первый путь — вполне логичный — дать с самого начала определение новых понятий и на основе большого числа физических опытов сформулировать фундаментальные законы в качестве руководства к действию. Из этих законов математически выводятся все следствия и сопоставляются с экспериментом с целью выдвинуть доктрину, позволяющую предсказать новые явления.
Именно этот путь был избран при изложении механики сплошных сред, а также при формулировке первого нача- !38 ла термодинамики — закона сохранения энергии, составившего основйое содержание четвертой главы. Однако такой метод ' принесет пользу в полной мере лишь тогда, когда ему будет предшествовать интуитивное понимание систематизируемых понятий и лежащих в их осиовефизических процессов. В динамике, например, такой путь вполневозможен, если имеется определенный навык оперирования с понятием силы, представление о которой в основных чертах дается при изучении статики.
Следует' также сказать, что дедуктивное изложение приносит нужные плоды только в том случае, если оно ведется с наибольшей полнотой с тем, чтобы прийти в конечном счете к ясным выводам, которые можно было бы легко сравнить с простыми физическими экспериментами. Однако учитывая уровень настоящего курса, изучению термодинамики может быть отведено лишь довольно ограниченное место, недостаточное для последовательного изложения дедуктивной и аксиоматической теории, о которой сказано выше и которую можно назвать теорией совместности законов поведения, сформулированных а рлог1. Поэтому здесь будет использован другой путь (болееограниченный), основанный на понятиях термостатики. Чтобы позволить читателю приступить к изучению теории на базе исходных определений, в настоящем курсе приведена глава (К 111), дающая сводку основных формул термостатики, где сделана попытка согласовать аксиомы и результаты, которые могут быть показаны для первоначального восприятия термодинамики.
Однако эта глава отнесена в приложения для того, чтобы не навязывать этот материал тем читателям, которые с ним знакомы или желают быстрее перейти к изучению термомеханики обычных сплошных сред. Настоящая глава начинается с формулировки второго начала.термодинамики; основная задача термодинамики заключается, как известно, в том, чтобы изучить допустимые термодинамические процессы. Далее приводится изложение теории илн метода локального состояния. Здесь сделана (без подробных обоснований) попытка найти общие принципы, позволяющие сформулировать законы поведения с учетом термомеханических эффектов. Преимущество изучаемой теории: заключается в том, что она базируется на термостатике исследуемой среды, что позволяет сформулировать законы состояния (УП.2).
Однако этих законов недостаточно: нужно добавить дополнительные законы, которые, как правило, могут быть установлены на основе анализа процессов диссипации. Таково содержание У1!.3, где сделан упор на обычные механизмы диссипации, обобщающие естест-. венным образом законы термодинамики необратимых процессов. Выявлены основные свойства двойственности, которая является одним из теоретических аргументов в пользу предлагаемой теории. Вкратце поведение сплошной среды описывается в основном двумя действительными функциями, обладающими свойством выпуклости: с одной стороны, термодинамическнй потенциал и с другой — диссипативная функция или, в более общем виде, диссипатнвный квззипотенциал. 139 В четвертом разделе данной главы введена дополнительная гипотеза об отсутствии связи между термической и внутренней диссипациями.
Это дает возможность сформулировать (по крайней мере, для изотропных процессов) общий закон теплопроводности. Излагаемая теория не претендует ни на строгую систематизацию, нн на универсальность. Она может даже оказаться несостоятельной в некоторых далеко продвинувшихся приложениях. Однако она достаточно проста н основана на хорошо подтвержденных экспериментальных данных, она «выдает» результаты, которые — насколько зто вообще возможно — легче всего поддаются сравнению с опытом.
чпл. Второй злкои тн модиидмики ЧП.1.1. Температура и энтропия. В изложенном в 1Ч,З.! первом законе участвуют два новых понятия, входящих в определяющее их уравнение, — количество поглощенной теплоты и внутренняя энергия. Второй закон термодинамики выражается неравенством, которое оперирует с двумя другими новыми понятиями. Несмотря на то что определение этих понятий будет дано немедленно, их физический смысл станет ясным либо из следствий, выводимых из установленных законов, либо из рассмотрения их исходного значения в термостатике. Это абсолютная температура и энтропия. Пусть э †некотор движущаяся система '. Вудем предполагать, что в любой момент времени существует скалярное поле Т (л, 1), определенное в каждой точке конфигурации У системы в момент 1, Величина Т называется абсолютной тел«аературой или просто температурой частицы М, которая в момент времени 1 находится в точке х.
Абсолютная температура никогда не может быть отрицательной. Повседневная практика дает представление о том, что такое шкала температур. Приведенное выше утверждение говорит о существовании возможности приписать каждой частице в любой заданный момент вполне определенное число. Единица термодинамической температуры — Кельвин. Это новая величина, которую нельзя связать естественным образом с фундаментальными единицами массы, длины и времени, как это было проведено с введенными ранее величинами. Понятие энтропии более абстрактно. Каждой части Ю системы 3 в любой момент времени 1 можно поставить в соответствие некоторое число 3, называемое энтропией части й> в момент 1.
Если момент 1 фиксирован, то 3 (й()) — аддитивная функция множеств. Точнее, допускаем существование скалярной функции а(х, 1), называемой удельной - энтропией частицы М, которая в момент 1 находится в точке х, и определенной на эг, для которой в фиксированный е Чтобы не менять общепринятого обозначения о лля энтропии, будем обозначать систему через й. ээ В термолянамнке «улельнаяэ значит отнесенная к елвннце массы (т. е. энвнвалентнзя «массовоаэ единице). В самом деле, нз формулы (1) видно, что «в массовая плотность энтропнн. 1«0 р — +с)(у 1 — ) — — ~ О.
дэ . /бх г г)1 ~Т) Т (3) 141 момент времени имеет место равенство 5 (Ю) ) в рз с(и. (1) Отсюда следует, что з — массовая плотность 3. Практнческн функция а(М, 1) определяется на з только с точностью до адднтивной постоянной. То же можно сказать и об адднтнвной функции множеств 5 (Ю). В дальнейшем видно, что это является следствием того факта, что в фундаментальных уравнениях а представлена только через свою субстанциональную производную, и выбор любого (произвольного) значения з некоторой частицы в фиксированный момент уст аняет немедленно всякую неопределенность.
еравенство, к которому переходим, показывает, что единица нзмерения энтропии (нли, точнее, разности энтропий) Дж/К. ЧП.1.2. Основное неравенство термодннамнкн. Второе начало термодинамики выражается неравенством, которое связывает субстанциональную производную энтропии области Ю движущейся системы, абсолютную температуру точек этой областн н количество теплоты, получаемой областью Ю вЂ о обобщает неравенства (30), (31) и (32) из П 111.
Напомним, что в 1Ч.З предположили, что количество теплоты, получаемой областью Ю в единицу времени, равно — у где г — количество теплоты в единицу времени, поступающей в единицу обьема 3 извне (считаем его известным); д — вектор потока теплоты, определяющий количество теплоты в единицу времени ( — 1у.м), поступающей через поверхность дЮ из других частей системы $, внешних относительно Ю. Основное неравенство заключается в том, что в любой момент (для любой области Ю системы имеем (2) 45 Отсюда вндно, что прн фиксированных Т н — нэ соотношения (2) следует б( апрнорное ограннченне на количество теплоты, которое может получать область Ю в единицу времени. Если в момент 1 температура Т равномерна, то неравенство (2) определяет точный верхний предел количества теплоты, которое может 45 получать область Ю в единицу времени †эт предел равен Т вЂ” .
ш ' Если применить правило дифференцирования интеграла и теорему Гаусса — Остроградского, то неравенство (2) может быть переписано в виде 1 ~ р б( + г( (у ( ~~ ) т )~бп ) О. Если предположить, что подынтегральное выражение непрерывно внутри $, то можно написать основное неравенство в «локальной» форме: Иногда выгодно исключить из этого неравенства величину г, используя уравнение энергии (1Ч,31), которое имеет вид 6е Рйт=о~Ры+г А, г Так как Т положительно, можно переписать неравенство (3) в форме р(Т вЂ” — )+а, )У, — дгадТ эО.
6э 6е~ 6г ж) I l т (4) Введение свободной удельной энергии ф=е — Тз (5) иногда также оказывается полезным и позволяет записать (4) ввиде следующего неравенства: Р6 э=о'~У~о Рэ3Т т 'кгап Т (6) часто называемого неравенством Клауэиуса — Дюгема. 7П.!.3. Задачи термодинамики сплошных сред. Формулировка второго начала термодинамики позволила завершить введение понятий и законов, управляющих термомеханическим поведением изучаемой среды. Перед тем как приступить к подробному исследованию среды, представляется полезным поставить задачу в общем виде.
Допустим, что имеется система, задаваемая некоторой абстрактной конфигурацией с объемным распределением массы р,. Знать движение системы — это значит знать функцию х=Ф(а, Г), которая полностью описывает движение частиц данной системы. Знание функции Ф позволяет определить в любой момент скорость, матрицу градиента Р и деформации. Закон сохранения массы полностью определяет плотность (рйе1 Р *р,).
С другой стороны, закон сохранения количества движения в применении к части области Ю вводит поле у' внешних объемных сил и неизвестное поле тензоров напряжений Х. Кроме того, закон сохранения энергии вводит, с одной стороны, известную величину— скорость притока теплоты г в единицу объема и с другой — новые неизвестные — удельную внутреннюю энергию е и псле потоков теплоты д. И наконец, второе начало термодинамики вводит в рассмотрение две новые неизвестные величины з и Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
