Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В атом случае говорят, что в среде происходит явление релаксации напряжений, и в силу очевидных причин К(() и р(1) называют соответственно модулем релаксации расширения и модулем релаксации сдвига (рис. 3). Можно сказать, что деформация, мгновенно достигаемая в момент 1 =0 и поддерживаемая затем постоянной, вызывает также мгновенно некоторые напряжения, которые, однако, с течением времени уменьшаются, демонстрируя, таким образом, непрерывную память, присущую данному материалу. Если состояние постоянной деформации (38) достигнуто в момент 1 = т (т ) О, предшествующее состояние — естественное), то интегралы в формулах (37) берутся по отрезку [О; 1 — т], а напряжения при Г~)т будут такими: з(х, Г)=ЗК((-т)бе(х), а; (х, Г) 2)а(1 — т)б)((х).
Таким образом (и это естественно), основное значение имеет интервал времени между действием и реакцией (независимость законов поведения от начала отсчета времени). а) к кр Ф Ф Рис. 3. Модулы релаксации вяакоупругоа среды: о-модуль релаксепви при расширении (есле е сова(=ее то а »К (т) е,); б модуль релексапвв прв сдвиге (если в(у сола( е)Г то т( — — »м (о ее((); Ка и м,-игвовеииыа упругие модули; К в и -двительвые упругие модули Руо( -С, »(Ра„ (40) где Сны — компоненты тензора четвертого ранга, которые в общем случае являются функциями от оы, удовлетворяющими соотношениям симметрии С„„,-Су„,-С„„.
(41) 133 Описанные среды называются вязкоулругими; термин «упругость» здесь определяет тот факт, что под действием нагрузки материал первоначально ведет себя как упругая среда с коэффициентами К, и р,. Далее, если Я возрастает до бесконечности, то К(Я) и р(Я) стремятся к положительным значениям К„и р„после длительного промежутка времени; материал ведет себя йак уйругая среда — имеет место остаточная упругость с коэффициентами К„н р„. Термин «вязность» говорит о том, что время играет существенную роль в законе поведения н, следовательно, состояние напряжений зависит не от мгновенно достигаемой деформации, а от «предыстории», т.
е. от способа и, в частности, от скорости, с которой была достигнута деформация. Эти замечания будут уточнены в Х.З. Ч1.4.2. Гипоупругость. Принято говорить, что некоторая сплошная среда относится к классу гипоупругих сред или, короче, является гипоупругой, если в каждой точке и в любой момент времени производная относительно собственного вращения тензора напряжений — линейная функция тензора скоростей деформаций, причем эта функция может, в свою очередь, зависеть от тензора напряжений как от параметра.
Согласно Ч.6.2 можно написать Прнзеденное определение требует некоторых пояснений. а) Прежде асего для таких сред скорость напряжений †линейн функция скорости деформаций. Но для построения закона, удоелетаоряющего принципу незанисимости ог аыбора системы отсчета для производной тензорэ напряжений, необходимо найти такое определение, которое село бы к объектиаиому тензору. Заниснмости (40) содержат произаодиую относительно собстнениого вращения илн производную Яуманна (см.
Ч,91): бом Олог ' — ьгдо у Суэогь С таким же успехом можно взять коняектизную проязеодную (Ч,88), сняванную с пронзаодной Яуманиа соотношением ОсоЫ=Ог ац-)Угаоэу — Оузоап В самом деле, согласно (40) имеем Роом Смы0аг — оа)Ца — ожога н, следовательно, 1), „=Г„аг))ю, если принять 1 Гыз, =СЫЗà — — (опабл+о!абн+оиб!ь-(-о!«огэ) Тенэор Г удовлетворяет требоаанням сямметрнн (41) и отличается от теизора С лишь членами, линейными относительно Е.
С другой стороны, нельзя написать формулу типа (40) с полной произаодной от Е а левой части, ибо, как мы уже видели, эта производная не является объективной. б) Следует заметить также, что соотношения (40) не предстааляют собой закон позедення а том смысле, как он был определен я начале глазы, так как здесь содержится лишь производная от Е по времени. Этот закон называют иногда инкрементальным, подраэумеяая, что если состояние системы (яключая напряжения) известно а некоторый данный момент С то нз уравнений (40), зная элементарные приращения деформаций, можно найти элементарное приращение ог) и интервале г+бг (см.
интерпретацию 0Ы а Ч.З). Не входя з детали, можно сказать, что функционал, который поззолнл бы аыраэить Е как функцию «предысторнн«(как и з (1)), может быть найден только ннтегрнроаанием при дополнительных ограничениях типа начальных условий. Именно поэтому материалы, подчиняющиеся зааисимости (40), были названы гнпоупругимн. а) Из сказанного следует важное утаержденне о том, что среды, подчиняющиеся зависимостям (40), могут быть только незязкими В формуле (40) фигурируют лишь значения функций а момент ( (и а этом ее преимущество), причем масштаб времени роли не играет. Образно выражаясь, рост нагрузок связан с ростом деформаций и не зависит от длительности наложения нагрузок и деформаций.
Из принципа независимости от выбора системы отсчета следует, что составляющие Сцз«не могут быть произвольными функциями о, . Обозначим через Йг матрицу, составленную из компонентов Ргоон и перепишем (40) в виде е,=ь(х, Р), где Ь вЂ” линейная относительно Р функция. Так как при переходе к другой системе отсчета функция Ь не должна меняться, то выполняется тождество Ь (РКРТ, РРРТ) = РЬ (~ Р) Рт (43) ддя любой ортогональной матрицы Р. Говорят, что зта линейная относительно Р функция является, кроме того, изотропной относительно совокупности переменных Х н Р. Не ставя перед собой задачу подробного изучения гипоупругих сред, приведем дза простых примера, где зто условие очевидным образом выполняется. Если тензор С не зависит от обь то С вЂ” изотропный тензор четвертого ранга (П 1.7.9), и можно написать С,,=а, 6„,+р(бмб,+быб „), (44) где )ь и р-две постоянные, характеризующие свойства среды. Если тензор С вЂ” аффинная функция аоь то можно показать, что наиболее общее выражение С, ы таково: С, ()ь+)ь'о )6 6 +()о+р'о )(646 +6 6 )+ + абгуаэг+ ба; 6„, + У (бгзо, + быага+ 0|„оп+ 6 гога).
(46) В приведенных формулах фигурируют семь констант, характеризующих механические свойства среды. Теоретяческяй интерес гяпоупругях сред определяется простотой формулы (40) — определяющего занона. Этому закону подчиняются среды, поведеяне кото. рых не всегда остается упругим. Что же касается упругих нзатропных сред, то можно показать, чта оня могут рассматрмваться как гяпоупругяе среды. Рассказ. рнм простой случай гнпоупругой среды, подверженной малым возмущениям отнв сительно исходной конфягурацнн, в которой поле напряжений Хо(х) нэвестно.
Известно (Ч.4.5), что в этом случае можно не делать различия между лал ранжевымн н эйлеровымя переменнымя в записи уравнений я что РР сводится к частной производной по времени тензора малых деформаций збь Отсюда следует, что в правой части (40) Смь! может быть заменено на С!)аг — значеняе, которое принимает этот коэффициент прн аы а) в походной конфигурации. Такям образом, Сюэг †постоянн зелнчнна я, следовательно, может быть запнсана в виде (44). бегается нэучнть левую часть т. е. вырзженне (42).
Известно, что пря малых возмущениях тензор скоростей вращения ЙР является частной пропав!а ной по временн тензора вращения о атноснтельно малых возмущений вгу. Посла лянеарнзацяя в этом случае можно нвпнсать д о о о дед) Рз ау — (аы — вузаэ! — вуза!з) Сны —. дГ д! После интегрирования по нременн (в предположении, что прн отрицательных значеняях временной переменной среда находнтся в исходном состояния) имеем о о аы — а)! — в!а(4! — в уэаэ! = фцеа, нлн в матричных обозначеннях т.— хо 1 вхо то+Ьо (з) (46) где Ьо (з) — линейная нзотропная функцня мэтряцы е. Заметим, что уравнение (46) представляет собой закон поведения упругой среды, лннеарязованной относительно исходного састояння, которое не является естественным состоянием с начальными напряжевяямя, так как Х зависит только от матрицы градиента (Ч!.3.!), т.
е. г=!+Ь, Ь=е+в. Но так как Ьо(е) — язотропная функция, та все типы упругнх сред не охватываются (ср., например, с решеннем эадачн 6). ' Здесь ен — компоненты тензора вращения, которые в Ч.4.! обозначены через Фгл )37 Если же исходное состояние является естественным, то Ее 0 и (46) совпадает с ввконом поведения клесснческой упругой среды (ивотропные среды).
Подчеркнем, что есле нсходное состояние — естественное, то оы вввнснт только от тенворе деформепнй е, в противном случае (исходноесостоянне — состояияе с ничвльными непряжеинямй) в вырвженин для закона поведения участвует матрице е — вто следует нв формулы (46). ГЛАВА ЧП ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ Деформация сплошной среды не всегда представляет собой чисто механическое явление.
Простой физический опыт показывает, например, что при нагревании металлический брус удлиняется. Деформация, таким образом, может быть вызвана подводом к системе некоторого количества теплоты или изменением температуры. Точно так же, любая деформация сопровождается обычно термическими эффектами, и поэтому попытка описать поведение сплошной среды по чисто механической схеме, игнорируя термомеханические взаимодействия внутри среды', неосуществима. Очевидно, что учет таких явлений не может не сопровождаться введением новых понятий, которые дополнят изученные ранее.
Формально уже введено при записи закона сохранения энергии понятие внутренней энергии и поглощенной системой теплоты. Для описания же термомеханического поведения среды придется оперировать двумя другими, также основными понятиями — абсолютной температуры и энтропии. Раздел физики, в котором изучаются эти понятия и формулируются связывающие их законы, получил название термодинамики. Классическая термодинамика рассматривала фактически лишь состояния равновесия или движения системы, близкие к состоянию равновесия, и только сравнительно недавно внимание ученых было привлечено к проблеме изучения конечных деформаций движущихся систем. Поэтому желательно отнести проблему равновесных со-' стояний к термостатике, сохранив буквальный смысл термина «термодинамика», применяя ее методы к общей Задаче изучения конечных деформаций, происходящих в движущихся телах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
