Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 28
Текст из файла (страница 28)
лучено малой деформацней и путем епокрытня» пластины Р. Поместим наше препятствие в упомянутое равномерное течение так, чтобы все касательные плоскости были близки к плоскости х»=0. и будем считать, что вокруг А установилось новое стационарное течение.
Это течение не будет уже равномерным, но можно считать, что оно мало отличается от начального равномерного невозмущенного течения. Вследствие этого можно ожидать, что лннеарнзацня относительно невозмущенного движения позволит получить полезную информацию. Таковы в общих чертах основные пути постановки главной задачи лннеарнзованной аэродинамики. Естественно, можно не ограничиваться только стацнонзрнымн течениями.
Вообразим, например, что пластина Р нлн препятствне А совершают малые колебательные движения (возвратно-поступательное двнженне, параллельное осн кз, нлн вращенне с малымн амплнтудамн вокруг некотород осн, перпенднкулярной Ол,). Течение жндкостн нлн газа не будет стационарным, но останегся близким к равномерному невозмущенному движению. 117 Хг .бб бп Вэзмуя(аииээ жэчеилг Рис. 5.
Пример задачи линеарнзованной аэродинамики. Лпп упрпщеппп вэптм пппсппе тпчпппп б) Усшойчиеосшь ваданяоео шгчеяпя. Рассмотрим стационарное течение вязкой жидкости между двумя соосными круговымн цилиндрами с осью Охэ, в котором линии тока являются кругами с центрами на оси Охэ. Установлено, что течение такого авда существует, и все условия задачи при этом выполнены. Именно зто течение выберем за невоэмушенное. Пусть в некоторый заданный момент времени Гэ течение претерпело малое возмущение;можно считать, что в последующие моментй (если, по крайней мере, ( †достаточно мало) траектории частиц нового течения будут мало отлнчаться от траекторий невоэмущенного движения. Решение линеариэованной задачи позволяет получить информацию об устойчивости начального течения.
В самом деле, можно искать ответ на вопрос о том, затухает илн растет возмущение, определяемое линеарязованным решением. Ч.У.й. Определение линеаризоваииой зциачи, соответствующей яекотерой фиксированной задаче. В атом разделе изложим, каким образом по определению формально составляются уравнения и граничные условия линеаризованной задачи. а) Уравнения. Обозначим условно через /э(х, г) функцвн, известные в рассматриваемой задаче, через Х (х, Г) †функц, яаляющнеси ее решением (т. е.
искомые велнчины); н наконец, Обп (гь, хп) =0 будет обозначать уравнения, связывающие неизвестные с заданными велйчннами в каждой точке области ог, занятой системой 5 в момент д Индексы а и Ь могут принимать конечное число значений. Обозначим через Я и Х,' заданные величины и решение невозмущениога уравнения в области Зе, удовлетворяющие в ней уравненвю Шб ()э, Хе) О. Введем теперь функции )ь(х, !) и х„(х, г), определенные в области Вэ для любого момента времени, н рассмотрим вйраженве ~а(бгу+т)/ь, Ха+э)Хп)» равное нулю прн г)=0. Пусть для малых б) можно написать главную часть данного выражения как б)шбп.
По определению, уравнения г Л, Х,',7э, Х.)-0, (92) очевидно, линейные и однородные относительно /ь и Х„, составляют линеарнзованные уравнения, соответствующие данному невозмущенному движению. Величины Гэ всегда будут считаться задаинымн, п Х вЂ” неизвестными линеарнзованной задачи. По опРеделению, г)Хп хаРактеРизУет возмУщение, а Хп+г)Х вЂ” линевРи. зованное возмущенное двнжейие, б) Граничных условия. Рассмотренное начальное движение удовлетворяет не только системе уравнений бббп=0, но также н некоторым граничным условиям на поверхностях в любой момент времени. Одна из таких поверхностей (границ) Е' будет представлена параметрически уравнениями х;=йг(эб, $э.
Г). Граничные условяя можно записать символически: Ва(Х., Ую а,(йВ)-0. ОпеРатоРы ЯР опРеделены на ЕГ; Х, ($б, йэ, Г) — аначениЯ неизвестных на Ег; величины ГЛ(эб, Эз, Г) известны; Ос — нйхоторйе функции, определяемые геомет- 116 рией границы Х!. Для иевозмущенного движения те же условия запишутся в виде Др«Х,", У', и,«я,')« где к!=де(эм йз, !) определяет граничную поверхность уе, которая совпадает с Х! в невовмущейном движении. Введем, как н ранее, фукции Хе($м $э, О. Р,у(йм йэ 0 йг(ьг.
$э 0 н Рассмотрим выражение 33 «Хе+ т)Ха, гл+ г)гл Ог (кг+ тМ!) ! Рзшюе нулю при Г' =О. Предположим далее, что главная часть в разложении по ц равна т3 . о определению, уравнения Дэ «Хю Рж уг, Х., Рл, у,.) =О (93) выражают условии, которым должны удовлетворять неизвестные Хе линеаризованной задачв (остальные аргументы, как правило, известны) на граничной поверхности Уе области Зе. Функции 33 — аффинные функции переменной Х . Итак, решение линеариэованной задачи заключается е том, чтобы найтв в Юео иеизвестньы функции Х , удовлетворяющие в бее уравнениям (92), а на границе Хе †граничн условиям типа (93). Ч.7.3. Движении, близкие к равномерным.
Пранллюстрируем изложенные выше формальные положения на примере ъ!ЛЛ, а (лянеаризованная азродииамнка). Здесь компоненты поля скоростей невоэмушенного движения и,-рю и;о, и,=о; возмущенного движения и.-уз+Ой!, и*=ой,, и.=Пи.' Для записи уравнений дввжения необходимо вычислить ускорение ди, уг= д! +и!и!!. Удерживая в линейной теории только члены с Ч, находим составляющие ускорения Заметим, что и в общем случае для нахождения полной производной некоторой величины, равной О, или посюянной в невозмущенном движении необходимо д д применить к втой последней оператор — +га —.
д! дк1 ' Точно так же поступям со всеми членами уравнений. В качестве примера рассмотрим уравнение неразрывности, общей вид которого 3+О ид„=о. др д! (94) Пусть ре — объемная плотность жидкости в невозмущенном движении, которую будем считать постоянной. Объемную платность неотпущенном движении запишем как р +т(р, н после лннеаризации уравнение (94) примет вид др др — +уе — +ре иг,;=О, д! дх! зто уравнение линейно относительно неизвестных р, й!. И наконец, сформулируем граничное условие.
Предположим, что жидкость остается в постоянном контакте со стенной Е! «э=г(Ы(лм хз 0 близкой по форме к плоскости хе ††О. Граничное условие, естественно связанное с уравнением неразрывности (нормальная составляющая скорости жидкости нли 1!9 газа относительно стенки), вапищетсн в общем случае следующим образом (П, бб): б — (Чк — ха) = О, б( илн в развернутой форме (дй Ч~ д( +(уа+Ч()а (хь ха, ЧЛ)] д, +Чи.
(хь ха ЧЛ) дд~ — Ч()а(хь ха, Чй) О. Удерживаа только первый член в разложении поч, получаем граничное уело. вие лннеарваованной Задачи: (/а(хь ха, О)= — (хь ха, ()+Уа -(ха,ха, (), д( ' ' дх, Из этого уравнения можно получить информацию (в данном случае величину компонента ()а возмущенной скорости) на поверхности ха=о, т.е. на границе Ха, соответствующей границе Ха в невозмущенном движении. ГЛАВА Ч1 ЗАКОНЫ ПОВЕДЕНИЯ (ЧИСТО МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ) СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ В втой главе сформулированы законы, которые позволяют описывать поведение различных материальных сред.
При формулировке таких законов ставится задача выразить определенные в главе 111 внутренние усилия, т. е. тензоры напряжений, через деформации, надлежащим образом выбранные из характеристик деформаций, введенных в главе Ч. В сочетании с общими уравнениями сохранения и граничными условиями найденные соотношения позволят полностью определить движение системы с учетом начальных условий. Общая теория законов поведения получила значительное развитие за последние годы, что было вызвано стремлением изучать все более и более сложные среды. Здесь ограничимся построением только простейших законов, достаточных, тем не менее, ддя рассмотрения вопросов гидромеханики и механики деформируемых твердых тел, которые в основном изучаются в этой книге. Изложив общие принципы, которым должны удовлетворять искомые соотношения, сформулируем законы поведения жидкостей, в частности классических (или ньютоновских), затем законы поведения упругих сред, в частности сред, обладающих идеальной упругостью.
В последнем параграфе приведем примеры законов поведения сред, которые нельзя отнести ни к жидкости, ни к чисто упругим телам. Отметим также, что на данном этапе будем рассматривать только чисто механические характеристики и не будем принимать во внимание физические параметры, как, например, температура, влияние которой обычно учитывается при описании движения среды. В последующих главах это ограничение будет снято после взе- ИО денна фундаментальных понятий термодинамики сплошных сред.
В то же время сразу же сделаем допущение, что закон поведения может зависеть от плотности частицы, но эта зависимость не будет выражена явно. Р1.1. ОВЩИВ ПРИИЦИПЫ Движение системы 3 описывается в декартовой системе отсчета. Воспользуемся для определенности методом Лагранжа. Пусть а, Ь, ...— параметры, индивидуализирующие различные частицы системы 5, например их положения в некотором абстрактном представлении х=-Ф(а, 1), у=Ф(Ь, !), ..., задающем положения частиц а, Ь, ..., в момент 1 в конфигурации Зг, функция Ф задает движение системы Ч!.1.1.
Влияние прошлого нлн принцип причинности. Пусть. Е (а, 1) — тензор е напряжений в точках х в момент времени 1(х— положение в момент времени ! частицы 7И, обозначаемой через а в выбранной системе отсчета). Тогда тензор напряжений полностью определяется движением системы до момента 1 по меньшей мере тогда, когда в среде никаких внутренних связей нет (влияние связей будет изучено в Ч1.1.4). Другими словами, поле тензоров напряжений известно в момент 7, если известна эволюция системы до данного момента (эволюция описывается в общем виде функциями Ф(Ь, т), где т(1 в Ь Е5). Символически это будет записано так: Х(а, !)= $ (а,(,Ф(Ь,т))= Б (а,(, Ф(Ь,1 — з)); (1) «ье ьез Ьез $( ) и И( ) являются по определению функционалами 'е, последнее означает, что их величина (симметричный тензор второго ранга) зависит от значений функций Ф (Ь, т) 1или Ф(Ь, 1 — х)], в которых Ь принадлежит 5, а т всегда меньше 1 (т.
е. з — положительно), функционалы могут зависеть также и от переменных а и 1. Ч!.1.2. Принцип пространственной локализации. Простые среды "*'. Принцип пространственной локализации уточняет сформулированное выше положение: функционал Б(а, 1, Ф(Ь, ! — т)) зависит только от функций Ф(Ь, ! — а), в которых Ь принадлежит произвольной окрестности бге(а) частицы а в системе 5. Таким образом, на тензор напряжений Е(а,() влияет только движение бесконечно близких частиц.
Ниже введена более жесткая гипотеза, ограниченная исследованием очень общего случая простых сред. Практически принцип пространственной локализации зыпол- » Строго говоря, Х (а, !) представляет собой матрицу данного генаора е выбранной системе отсчета (подобное алоупотреблевве терминологией довольно часто встречается а фундаментальных работах). " К теории функционалов првбегать не будем. Введенные символы †всег лишь временные обоаначення.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
