Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Если т, и т, †бесконеч большие величины, то законы (66) и (67) совпадают с законами классической теории упругости. Рассуждая, как в предыдущем параграфе, можно разрешить законы поведения (66) относительно а' и получить с учетом начальных условий (67) первое уравнение з следующем виде (полагая 1, = 0): а'(1)= ЗК(е')'ехр ( — — )+ + ~, ЗК ~', ((') ехр ( — ! ! ) 6('.
(68) Если величина з'(!) постоянна и равна (з')' при() О, то интеграл з уравнении (68) равен нулю; и'(1)-функция времени, убывающая до нуля от значения (о')'=о'(0)=ЗК(е')', которое она приняла мгновенно при 1=0 (чем меньше т„тем быстрее убывает функция). Принято говорить, что т,— время релаксации при объемном расширении. Если бы т, было бесконечно большим, то для любого положительного 1 имели бы о'=(о')'.
Таким образом, для того чтобы поддерживать постоянным объемное расширение, среднее напряжение и о' нужно уменьшать во времени по экспоненциаль- 182 к этим зависимостям необходимо добавить начальные условия: если пм(!)=О при 1( (, и о17(1,) о;~, тогда з! (!) 0 при 1(1, и е, (1,) = —,(оф. дф Развернем полученные результаты для частного случая изотропных сред, когда функция <р задается в форме (44). По аналогии с этой формулой имеем (т, и т, константы): Ь (а!1) 3 — '~ — ' (о')' (--~+; — олаф (66) откуда вытекают законы поведения: зв(1о) — ~ — "(о~)', з$~(1,) .-'у-"(оп)'. ному закону, так что для больших 1 величина о'(1) будет стремиться к нулю.
Это явление типично для вязкоупругих сред и называется релаксацией напряжений. Заметим, что после интегрирования по частям уравнение (68) может быть записано в виде ол(1) =ЗК (з')'ехр ( — — ) + ~ЗКе'(1') ехр ( —:)~, — — ) з'(г') ехр ( — — ) б(', или еще '(производя под знаком интеграла замену переменных 1 = ('+Л) о'(1)=ЗКе'(()+ ( — (ЗКехр (:1) з'(à — Л) бЛ. (69) леЕЛ 1 та / Эта зависимость представляет собой частный случай общей фор- мулы (Ч1, 37).
Среда Максвелла в изотермическом процессе входит в класс вязкоупругих сред, определение которых дано в главе Ч1, когда модуль объемной релаксации К (Л) = К ехр ( — — ) . Очевидно, что такие же результаты могут быть получены на базе второго из законов (66); в частности, можно показать, что оы(Ф) 2пзы(1)+~ -ЗЛ.г 2(лехР ~ — — Д з, (Ф-Л)ЙЛ, (70) где т †вре релаксации при сдвиге, а функция р(Л)=р р( — —,) (71) — модуль релаксации при сдвиге. лп.
т. ввндвнин скрытых пдрдмнтров. вязкоупругдя модвль с трнмя пдрдмнтрлми. Ч1И.7.!. Другой метод построения среды Максвелла. Среды Максвелла были определены с использованием первого из обобщений метода локального состояния, «оторый представляет собой двойственную формулировку теории, развитой в главе Ч11. Сейчас получим те же результаты и дадим их обобщения, вводя в термодинамический потенциал новые параметры, называемые скрытыми. Сущность такого обобщения заключается в новой формулировке исходной гипотезы (Ч11.2) метода локального состояния. Допустим, что термодинамический потенциал среды является, с одной стороны, функцией (и+ 1) переменной х„ хо ..., х„ соответствующей термостатической системы, а с другой-функцией т параметров $,, ..., $„, называемых «скрьипыми».
В любом обратимом термостатическом процессе эти параметры остаются постоянными и, следовательно, не участвуют в выражении элементарной обратимой работыв. В термо- 1ЗЗ энтропия и законы состояния задаются, как и в термостатике, уравнениями = -у.т (т, х, р, ~,- (т, х, р, дт дф хр в то время как (73) р $ р=! Чтобы не усложнять выкладок, не будем выходить за рамки линейной теории, полагая, что все рассматриваемые процессы — изотермические. Переменные х„х;, ..., Х„будут, как и в теории упругости, компонентами еы тензора деформаций при малых возмущениях, иначе говоря (и это несколько облегчает расчеты), компонентами шаровой составляющей и девиатора этого тензора з', епн при этом еК равны нулю.
Рассмотрим выражение (72) и, используя (42), запишем (предполагая для простоты, что в состоянии отсчета плотность равна 1): ф = — (з'- з)'+ р (зоп — В~г) (еоп — $~~). (74) Скрытые параметры здесь $ и шесть чисел $,г($~г —— $г,), причем последние связаны соотношением $ы = О. Сделанный выбор уже позво- ляет интерпретировать эти параметры как компоненты тензора дефор- мации. Таким образом, имеем С другой стороны, линеаризованная теория дает ды азй о, О, =Зо' — +о~~ — и, так что диссипапия Ф, запишется в виде ды о Ф, = 3 (о' — ЗК (е' — $)) — + (о$ — 2р (зв — $ы)) — 9-+ + 9К (е' — $) — + 2р (зо — $ы) —, (75) .
На базе этого выражения сформулируем дополнительные законы. Предположим, что имеем дело с нормальным диссипативным механизмом и что ллссипативная функция является неотрицательной квадратичной формой, зависящей только от производных от скрытых 184 динамическом же процессе они, очевидно, меняются и должны приниматься в расчет при вычислении е, Плотность свободной эйергии, например, запишется в такой форме: ф(т, Х1, Хм ..., Х„, $„..., $.)-1(т, Х, $), (72) параметров, точнее: Ф, Ю» 9Кт, (-З)-) + 2Рл — -ч)-. ай з айы йи Следовательно, и'=ЗК(з' — з), о$=2р(зЯ-В,у); (76) откуда сразу вытекает, что «Я=О.
далее 9Кт, — =9К(з' — $) =За~, 4$ <Вы о 2рт — = 29 (е„— Ц, ) = оол Так что, исключая скрытые параметры, уже можно написать законы поведения: где К вЂ констан, аналогичная той, которая употребляется в теории упругости. Явление релаксации прн сдвиге будет рассмотрено более подробно. С этой целью возьмем за основу следующее выражение для сво. бодной 'энергии, предполагая, как и выше, что плотность в исходном состоянии равна единице: ф= з (зз)'+Р ацз~!+Р~(зй — $г~)(зп — $~г), в которому,г — шесть скрытых параметров, связанных соотношением 3„„=0; р„и р„— две константы, аналогичные модулям рвзаксации при сдвиге.
ап Ф 4зт аз щ бей и тз хн Ф й тз аг ' — +- ЗК вЂ”, — 9-+-Д.= 29 — ". (77) Итак, вновь приходим к уравнениям вида (66), характеризующим вязкоупругую среду Максвелла; К и р являются мгновенными модулями релаксации, т, и т,— время релаксации. Этот результат поясняет выбор переменных в выражениях (74) н (76) для свободной энергии и функции внутренних диссипаций. Л !!.7.2. Трехпараметрическая модель. Очевидно, что метод скрытых параметров позволяет строить, а хорошим приближением, все более и более сложные модели вязкоупругих сред.
Модель Максвелла, описываемая уравнениями (77), соответствует функциям релаксации, зависящим от двух параметров: К, т, и р, т . В приложениях часто допускают, что объемной релаксацией можно пренебречь и считать, что т, бесконечно велико. Модель, которую необходимо построить, будет обладать этим свойством, так что можно написать о~=ЗКе~, (78) Оперируя, как и выше, образуем диссипацию , де' о о Ф, = 3 (ое — ЗКе') — + (ооп — 24е зо~ — 2р, (еΠ— Вгф -~)((-+ о айц + 2)е, (зп — $,~) —, и примем в качестве диссипативной функции д$ы 44у Ю, 2р —— тче а так что закон поведения шаровых составляющих совпадает с соотношением (80).
Кроме того, получаем ой = 2)е„еЯ+ ~ь, (еоп — Игу), д$ы т — $0 3 (81) Исключая скрытые параметры, получаем закон поведения для девиаторов 1 О ф 2 ()е„+ р,) а и — — (поп — 2р„е$~). Полагаем р,е=рч+и, р 8е=рете (82) с той целью, чтобы записать это соотношение в одной нз следующих эквивалентных форм: де — (.+ — 1 = 2)е,— "еп-+ 2 — "" ео (83) 41 )ее а ец нли Йа()+ )) 2 ( 8+8 йЦ) (84) Как было сказано выше, полученный закон поведения определяется помимо коэффициента К, введенного уравнением (78), еще тремя параметрами.
Если р„=0, то уравнение (83), как и следовало ожидать, становится законом поведения для среды Максвелла (8а в этом случае равно бесконечности). Если же нулю равно т, (1е, стремится к бесконечности), то уравнение (84) дает закон поведения среды Кель- вина — Фойхта (55). Как и в случае (67), этот закон, выраженный дифференциальным уравнением, должен быть дополнен начальными условиями, в качестве которых можно применить условия, оговоопенные в ЧШ.6.2. В общем случае будем предполагать, что ан и еп равны нулю для отрицательных значений времени и что эти величины могут терпеть одновременно разрывы в соответствии с соотношением Бор~ 2р,Ьз1о (85) Рис.
Ц Модуль релакса. цни при сдвиге Рис. 2. Функция запазды- вания прн сдвиге Из этого предположения, как видно, вытекает [и это можно проверить также с использованием уравнений (81Ц, что при появлении разрывов параметры зп, фигурирующие в выражении для диссипации, остаются непрерывными. Если предположить, что все еоп равны нулю, за исключением изз зеч (этот компонентравен нулю при г~0 и единице при Г) О), нйтегрированнем уравнения (83) получим выражение для а,;, из которого, полагая о„; 2р (Г), получаем функцию, представляющую модуль релаксации при сдвиге (рие.
1): р(() =р +(р — 9.)ехр ( — ~-). (86) Таким образом, р,-мгновенный модуль, р„-длительный модуль и т †вре релаксации при сдвиге. Ъсли теперь предположить, что равны нулю все о$П кроме от,* ом (последний компонент равен нулю при Г ( 0 и единице при г ) О), интегрированием уравнения (84) получим выражение для егь из которого определяем функцию запаздывания ' при сдвиге з,;,) (г) (рис.
2): Х(1) 7„+(Х,— Х„) ехр ( — й-), (87) где 2)ь ~ = 2ре'уе 8,— время запаздывания сдвига. Формулу (87) следует сопоставлять о формулой (58) для компонента еы, из этого сопоставления видно, что соотношение (87) представляет собой обобщение формулы (58), Законы поведения (83) и (84) могут быть записаны в интегральной форме о учетом выражений для модуля релаксации (86) и функции запаадывзния (87): оы (Г) *2)ь (О) ег (()+ ) 2 —," (Л) е, (г — Л) бЛ, е~ (г) Х(0) о, (Г)+ ) -оа (Л) о~ (г — Л) дЛ, (89) ' В отечественной лятературе зту Функцию чаще называют функцией ползу- чести.— Прим. ред.
$67 откуда видно, что определенная таким образом среда действительно является вязкоупругой в смысле определения, данного в главе Ч1, Зависимости (89) можно интерпретировать как решение интегрального уравнения (88), если считать о,. заданными, а з, — неизвестными переменными. ЧП1.7.3. Заключительные замечания относительно законов поведения вязкоупругих сред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
