Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 45
Текст из файла (страница 45)
дрт" до«у ' (101) 192 обобщающую ' зависимости (91). Диссипация может быть ненулевой только на пределе текучести. Приведенная выше качественная характеристика идеально пластических сред, из которой выявляется ограниченность такой схемы, и само понятие предела текучести приводит к естественной мысли об использовании предельного случая, упомянутого в 711.3.4.
В этом случае в пространстве Е', совпадающем с пространством напряжений, изображение напряженных состояний частиц с ненулевой диссипацией сводится к замкнутой выпуклой поверхности, содержащей начало координат. Допустим временно, что зта поверхность, которую обозначим ду, может быть представлена уравнением вида й'(о1у) =О, (98) Принято говорить, что функция К определяет пластический' потенциал среды. Резюмируя полученные результаты, мы можем-с учетом сделанных предположений — заключить, что закон поведения всегда можно записать в виде (101), уточнив при этом, что в упругом режиме или в точке разгрузки (У =О, Ф' — а, (О) коэффицидзг дом ент Х необходимо равен нулю и что в пластическом режиме или в точке нагружения (и =О, чг = О) коэффициент Х положителен или в крайнем случае равен нулю.
Укажем коротко, каким образом строится двойственная формулировка. Компоненты еги Явлаютса сопРЯженнмми с огу теРмодинамическими пеРеменными. За основу берется потенциал г 1 а в(еп) = — а!глазов!а, 2 который при постоянной температуре представляет собой свободную знергню в виде функции термодинамических переменных агц. Напряжения в этом случае даются формулами ом б.г =оыаввм, (102) двгг Днсснпация по-прежнему задается в форме 196). В упругом режиме 0г О. Дополнительные законы в пластическом режиме строятся с исполь.ованием диосипативной функции 19)г ()эаг)) — положительной и положительно однородной первой степени однородности удовлетворяющей требованию выпуклости.
Если зтв функция непрерывно днфференцируема, то дЯ)1 (гы ав„ Однако компоненты ом — положительно однородные фуницни нулевой степенн н, следовательно, не являются неззвнсимымн (онн зависят только от взаимосвязей между 1)~~1). Таким образом, в пластическом режиме точка, изображающая напряженное состояние частицы, находится нв поверхности, и снова приходим к понятяю поверхности текучеств ду.
Соотношения (101) могли бы быть получены исключением згг и 0~~ из уравнений 1102), (ГОЗ) и (96). 711!.8.3. Инкрементальный характер законов пластичности. Вероятно, читатель обратил внимание на то, что для законов поведения (101) упруго-идеально-пластических сред общие принципы, становленные в главе Ч! для законов поведения, не выполняются. частности, наличие неопределенного множителя Х представляется до некоторой степени интригующим. Покажем, что в действительности законы поведения (101) удовлетворяют только ослабленной форме этих принципов, которая называется инкрементальной.
С этой целью докажем следующую теорему. " Заметим, что любая функций у такая, что у Ь(дг'), где 6 — возрастающая функция действительной переменной, определяет плестнческвй потенциал, велущнй к тому же закону (!О!). у юыгз 193 Теорема. Если в некоторой данной точке и в некоторый данный момент известны компоненты е,~ и оы и величина еы, то для этого же момента времени значения оы могут быть определены о помощью законов поведения и это определение однозначно.
Известно, что функция У (о; ) не может быть положительной. Если она отрицательна,'то изучаемая частица находится в упругом режиме, Л О, е~~~=О и в соответствии с (101) и (102) имеем о; = а,гээеэ„. Если У (оы) О, то частица может находиться в состоянии нейтрального нагружения или в состоянии разгрузки.
Для выяснения возможных ситуаций необходимо вычислить К= — '(у., др до» Изучим вопрос о том, является лн данное состояние состоянием разгрузки. Если это так, то Л ОиУ'=У, где айаг . о~улэ еэм до» (104) причем Р должно быть отрицательным. Величина У нам известна; если она отрицательна, данное состояние может находиться на поверхности текучести в состоянии разгрузки.
Рассмотрим теперь возможность состояния нейтрального нагружеиия. В соответствии с уравнением (101) имеем д.'Г о, а;~э» (億— Л," ), (105) В этом случае Ф 0 илн Ллцээ п~1лэ еээ дЯ' дг" дЯ дом д~ла дом (106) Коэффициент при Л в левой части всегда положителен. Исходное предположение неприемлемо, если Р отрицательно; если же У положительно или равно нулю, то согласно тому же предположению Л положительно или равно нулю. Найдя Л, по формуле (105) получаем нужное нам значение о, . Все указанные возможности взаимно исключаются и в целом дают исчерпывающую картину.
Теорема, таким образом, доказана. Итак, закон поведения не позволяет получить для частицы значение о, (г) при известных значениях всех деформаций а, (г') для Г'(Г, что имело бы место для материально простой среды (в линеаризоваиной теории), например для случая вязкоупругой среды. Напротив, если задаться скоростью деформаций в момент времени Г, то закон поведения определит скорость напряжений в этот же момент, и здесь можно видеть ослабленную или инкременталь- !94 ную форму принципа зависимости от истории (Ч1.1.1) — ситуация в некотором роде аналогична описанной в (Ч1.4.2) в отношении законов гипоупругости. Задание компонентов агу(1') для 1' <1, ко- торые считаются непрерывно дифференцируемымн, позволяет рас- считать с учетом начальных условий величины о, для любых 1'<1 путем вычисления интеграла от ог)(1').
Однако построить раз на- всегда функционал, определяющий оы(1) в зависимости от в, (1'), не представляется возможным. Зависимость функционала от природы усилий и внешних воздействий на систему является очень сложной. Ч! П.8.4. Пластическая несжимаемость. Практика показывает, что в большинстве важных для приложений случаев чисто пласти- ческие деформации происходят без изменения объема. Более точно, условие пластической несжимаемости выражается соотношением Ма=о. (107) Если учесть зависимости (99), то для выполнения этого соотно- шения необходимо иметь — = — + — + — =О, дл д,р дЯ' дф' (108) доев до»г до»» до»» что, в свою очередь, приводит к независимости величины аг" (о, +)ьбг ) от вещественной переменной )ь. Выбрав )ь равным шаровой составляющей со знаком е — з, видим, что и пластический потенциал и поверхность текучести будут полностью определены, если известны значения У для тензоров, совпадающих с соответствующими девиа.
торами, т. е. Е(з,у), где пы —— з,ге. Разумеется, тат же результат может быть получен на основе двойственного подхода с учетом внутренней связи (107) и соответствующего преобразования уравнения (103). ЧП1.8.8. Примеры поверхностей текучести. В большинстве приложений предполагается, что материал обладает свойствами нзотропии и удовлетворяет условию о пластической иесжимаемости. Отсюда следует прежде всего, что гр(оы) или гн(в,г) могут быть записаны в классической форме — соответственно (44) или (42). Далее, поверхность текучести является скалярным инвариантом тензора иапряже.
ний и, конкретнее, двух ненулевых инвариантов девиатора напряжений, например: Уп=(г(8), Зн,=(г(8»), где 3 — девиатор напряжений с компонентами зие Наиболее простое выражение, которое используется на практике, †э потенциал Мизеса: ~(зг,) =Зп — йл=зг,з,г — й'=2(З; — й®), (109) » Так как знтропия не играет здесь больше никакой роли, то для шаровой составляющей и девиатора снова принимают обычные обозначения.
уе 195 1 — 9» е= — з Е е1х = — з1х+ Хз1~. 1+» (1!О) Здесь учтено, что в соответствии с соотношениями (99) и (109) имеет место равенство Рп=Хз, . (111) Однако в случае, когда Р;; — второй элементарный инвариант тензора скоростей пластических деформаций со знаком « — », можно написать Р»п= Р 1Р»т= Л»з, з, 2Л»й»=).»й»=2Рд, (Ру!» =Х(З1уг», так что 0 1 / В» / З1/ =Ы (11» )ьа =Ы (!1 ()М» > (! 12) откуда вытекает выражение для диссипативной функции: Ю вЂ” д(Р»)»м =д(РгР11)м» 2ы»д(И1Р»11)ы~ 22(Р~~)ы» (113) Еще один часто используемый выбор функций текучести основан на применении условия текучести Треска, согласно которому касательное напряжение в любой точке для любого направления должно быть по модулю меньше некоторой заданной величины.
Если обозначить через й предельное напряжение, ниже которого при одноосном растяжении материал не переходит в пластическое состояние, то данное условие текучести легко выражается посредством неравенств, накладываемых на главные нормальные напряжения (111.2.8): !а1 — а»!<й, !໠— а»!(й, !໠— а,~(~й. (114) Касательная плоскость к поверхности др может быть построена, вообще говоря, не для всех точек поверхности — в точках разрывов нельзя пользоваться формулой (101).
Тем не менее на основании сформулированного выше принципа (ортогональности относительно опорной плоскости) (задача 16) можно построить закон поведения. Критерий Треска может быть использован только в том случае, 196 где Яп — второй инвариант о со знаком ч — », а д и д — две постоянные, имеющие размерность напряжений, для которых д»=2л».
Материал не выходит за рамки упругого режима, если в любой точке и в любой момент времени удовлетворяется критерий Мизеса: оп <9' или 511 <й». В пластическом режиме, разделяя в (101) шаровые составляющие и девиаторы, получаем законы поведения, которые часто называют законами Прандтля — Рейеса: если известны главные направления. Предположим для определенности, что в каждой точке среды координатные оси совпадают с главными направлениями напряжений и деформаций. В этом случае можно показать (задача 15), что диссипативная функция имеет вид йр, = — ", ((()лы)+ (Щ,)+)пав, Р и является положительно однородной первой степени однородности, так что это определение корректно.
Разумеется, область определения этой функции должна быть ограничена виачениями переменных, для которых выполняется условие пластической несжимаемости ).)ьз =О, Нзпомням, наконец, что в Н1.4 была дзнэ простзя н нэгляднзя внтерпре. тэпня крнтеряев Треска н Мнэеаз е нспользовэннем трехмерного декартова ярострэнствз дзн эздзнвя тензоров нэпряженяй, коордннэты точки прн этом были равны главным напряжениям. Кроме того, было нспользовэно предстзвлевне нз пласкостн с помощью трех осей, абрззующнх между собой углы в 120'. Ч1П.8.6. Предельный случай — жесткопластические среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
