Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 48
Текст из файла (страница 48)
1Х.2.2. Течение между двумя параллельными плоскостями. Пусть имеются две плоскости П и П', уравнения которых соответственно х,=й и х,= — й. Ограничимся рассмотрением стационарных плоских теченйй, параллельных плоскости х, =О (11.4.5), траектории которых параллельны оси х,. Уравнение поля скоростей (если оно существует) будет иметь вид У,=и(х„х,), У; У,=О. (! 9) Прежде всего отметим, что из уравнения непрерывности (!7) следует независимость функции и от х,. Запишем ее в виде и(х,). Далее, в уравнениях (18) члены, определяющие ускорение, равны нулю, так как каждая частица движется прямолинейно и равномерно, и эти уравнения примут простой вид р !=р,~=О, 6~и дх Из уравнения (20) необходимо следует, что функция р зависит только от переменной х,.
Тогда из уравнения (2!), выражающего равенство двух функций, одна из которых зависит от переменной х„ а вторая — от х, (причем обе переменные независимы), вытекает, что левая и правая части уравнения (21) равны некоторой константе, которую обозначим — Р. Давление р, следовательно, есть аффинная функция от х„а величина Р, называемая перепадом давления, определяет разность давлений, которую нужно создать между 'двумя плоскостями х, сопя! и х,=сонэ!+! для реализации стационарного течения.
И наконец, функция и(х,) — полипом второй степени, зависящий от двух постоянных интегрирования, которые определяются граничными условиями на плоскостях П и П'. Если плоскости неподвижны, и О при х, л и при х, — Ь, следовательно, и — (й' — х ). Р 3 2я $ Средняя скорость течению г ь и= — ~ идх = — 1Р 2ь)аз! 206 она оказывается, таким образом, пропорциональной перепаду давления Р.
Если плоскость П, уравнение которой х; =Й, движется с постоянной скоростью У, параллельной оси х„ а плоскость П' остается неподвижной, то граничные условия запишутся в такой форме: и (Ь) = У, и ( — й) = О, азха Рис. 4. Течение между двумя па- раллельнмми плоскостями. Посавин сиоросеея в сечении в,ов но внечениии йе (23) П,=и(х;, х,), (7а=0, 0,=0. В данном случае условие непрерывности выполняется тождест- венно, а два последних уравнения Навье приводят к равенствам (20); из первого из уравнений Навье вытекает, что р„,=р,би, где тли — оператор Лапласа от функции и, Левая часть этого равенства зависит только от х,, а вторая— только от х, и х, и, следовательно, обе части равны постоянной 207 следовательно, в этом случае и — '+ У+ — (Ье - х3). 26 2р (22) Если перепад давления Р равен нулю, то распределение скоростей линейно.
Жидкость движется только благодаря движению плоскости П, такое течение называется течением Крапила. При положительном перепаде давлений скорость жидкости увеличивается, при отрицательном-уменьшается; в частности, если Р< $~, то наблюдается встречное течение-вблизи плоскости П' жидкость течет навстречу движению плоскости П, т.
е. увлечение жидкости плоскостью посредством вязкого трения недостаточно для уравновешивания перепада давления. Средняя скорость течения здесь У Р и — + — йа 2 Зи поэтому при Р ( ††, средняя скорость противоположна скорости Зкк плоскости П. На рио. 4 показаны распределения скоростей для раз- 2лиР личных значений параметра лв= — . РУ ' !Х.2.3. Течение в цилиндрической трубе.
Рассматриваемый случай является простым обобщением предыдущего. Образующие цилиндра предполагаются параллельными оси х„ и, как и выше, траектории параллельны оси х,. Так как поле скоростей не меняется при преобразовании .переноса вдоль этой оси, то можно написать, что числовой величине Р-перепаду давления, который должен существовать, чтобы движение стало возможным. Если обозначить через йй прямое сечение трубы, а через дЮ— Д г аницу сечения, то функция и(х„х,) будет определена в области и в этой области будет удовлетворять уравнению гьи+)ь 'Р=О.
(24) На границе дЮ она будет равна нулю (в предположении, что труба неподвижна). Найдем решение уравнения (24) для случая прямого кругового цилиндра радиуса гг. Расстояние точки от оси обозначим г. Решение уравнения (24), обращающееся в нуль на границе д!2>, таково: 4 Р (25) Таким образом, имеем параболическое распределение скоростей (рис. 5), аналогичное найденному выше для случая фиксированных плоскостей П и П': ГЛ вЂ” ГгсР Я = 2п ~ игдг = паси = и —, (26) 5о 8и' Рис. б.
Течение в круглой трубе. Профиль скоростей 808 т. е. он оказывается пропорциональным перепаду давления, четвертой степени радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости. Этот вывод подтверждает экспериментально установленные Пуазейлем законы течения в трубах малого диаметра с небольшими перепадами давлений.
Также легко находится решение и для случаев эллиптического цилиндра или тора (задачи б и 7). Заметим, что в общем случае разыскание функции и, обращающейся в нуль на дЮ и удовлетворяющей уравнению (24) внутри Ю, сводится к классической задаче Дирихле для гармонической функции. В самом деле, из уравнения (24) вытекает, что функция ог и+(4р) ' Р(х,'+х,') является гармонической в Ю и принимает заданные значения на границе дЮ. Итак, рассматриваемая здесь общая задача сводится к одной из наиболее простых и наиболее изученных задач теории дифференциальных уравнений с частными производными, которая может быть решена различными числовыми и аналитическими методами. В дальнейшем представится возможность в рамках этого курса более подробно остановиться на этом вопросе.
!Х.2.4. Течение между двумя соосными цнлиндрамн. Рассмотрим теперь стационарное течение жидкости, заключенной между лг двумя коаксиальными цилиндрами Г, и Г с осью Ох„ радиусы которых соответственно а и Ь (а(Ь). Цилиндры равномерно вращаются с угловыми скоростями й, и ьс . Наша цель — найти течение (если оно возможно), удовлетворяющее следующим услови- ям: линии тока должныбытьокружностями с центрамина оси Ох„ а течение — инвариантным относительно преобразований поворота вокруг оси х, и трансляции вдоль этой оси.
По соображениям симметрии абсолютная скорость на линии тока должна быть постоянна и, следовательно, поле скоростей и, — а(г)хгь и~=а(г)х,, и, О, (27) где то в любой точке х,=г, х,=О, х,=О имеем и,=О, и,- а(,), и,,=и...=О, и,,-= — а(.), и,-,=а+,а и, следовательно, и,,„-и,-, „=О, и,,м=2а'+га", и,,„=а. Кроме того, для этой же точки йр — р„= О. Следовательно, уравнения (18) дают ра'г= ~, Зй'+га"=О. а/ (28) Из последнего уравнения следует, что г'а' — постоянная величина и, следовательно, функция а имеет вид а А+в, (29) г~ х~~+х3 х гсозО х гз!пО Из физической природы этого течения видно, что уравнение неразрывности удовлетворено, условие (17) легко проверяется подстановкой в него выражений (27).
Из третьего уравнения системы (18) немедленно следует, что давление р не зависит от х,. Нетрудно видеть, что функция р(г, О) не может зависеть от О, так как она должна быть периодической функцией от О, т. е. быть инвариантной при замене О на 8-1-8,. Таким образом, можно без труда вычислить р(г). Обе неизвестные функции а(г) и р(г) легко находятся непосредственным использованием уравнений Навье †Сток (18) в цилиндрических координатах (П1Ч.1).
Тот же результат легко получается в декартовых координатах. Для этого достаточно выписать уравнения (18) для некоторой точки оси х,(х,= г (а < г < Ь), х, =О, х=О) и учесть тот факт, что в силу инвариантности относительно поворота вокруг оси х, уравнения (18) будут автоматически выполняться в любой точке области. Так как и;,,=а+а' — *,', х где А и  — константы, определяемые из граничных условий (прилнпания): ЬЬ (а) = Ь)„Ь1 (Ь) = ЬЬ),. Итак, имеем а' Ь' — гз Ь'г' — аз ( ) а гз ЬЬ аз + Ь ~~'Ьз азз или в другой форме: г (ь ььь аи«ьа) а ь (Яь — Щ 89 Рис.
6 (Г) гз(ЬЬ а ) ( ) Зная функцию ьь(г), интегрированием первого из уравнений (28) можно найти р(г) (с точностью до аддитивной постоянной); отметим очевидное равенство ру=йгад р. Соотношение (29) может быть получено непосредственным применением теоремы о количестве движения к конечному объему жидкости гз «:, р ( г„О (~ х, ( 1 (рис. 6). По предположению, расход жидкости через границу в каждой ее точке равен нулю. Торсор давлений на граничную поверхность равен нулю (так как р зависит только от г). Тогда из теоремы о количестве движения (1И.!.7) следует, что торсор сил вязкости должен быть также равен нулю. В точке х, = г, х, =О все компоненты тензора скоростей деформаций, кРоме Рзз — гьь', Равны нУлю.
На повеРхности х, = сопз1 эффекты вязкости отсутствуют. Жидкость, находящаяся в области г ) г„ создает на поверхности г = г, вязкое напряжение, которое в каждой точке касается этой поверхности и перпендикулярно оси Ох,. Числовая величина вязкого напряжения равна ргй'. Эти воздействия на поверхность г г„ О ( х, ( 1 образуют, таким образом, торсор, эквивалентный паре сил, параллельной оси Ох,; числовая величина момента не должна зависеть от г, что вытекает из теоремы о количестве движения (полагая г, гп г, - — г,): г (2пг)ргьь' *= 2п)згзьг' = М, снова приходим к формуле (29) при М= — 4прА.
Выражение для момента через заданные величины таково: а Ь («ЬЬ Ыа) и -з,з — з,зз-з. Этот метод позволяет получить очень важную информацию. Со стороны жидкости на единицу длины цилиндров Гь и Г, действуют пары снл а центром на оси Ох„моменты которых соответственно — М и + М. Для поддержания цилиндров в движении с постоянной скоростью, необходимо прилагать извне определенные усилия на единицу длины каждого цилиндра, моменты которых соответст« венно +М и -М, т. е., иными словами, необходим двигатель, развивающий на единицу длины мощность, равную м (ььь — ьь,), 210 т. е. согласно уравнению (31) ба — о (~а 4прае Эта мощность пропорциональна коэффициенту вязкости и квадрату разности скоростей вращения и обратно пропорциональна разности обратных квадратов радиусов. Если, например, ьаь=й„У=О, ь»(г)=ьа,=ьаь, то жидкость вращается совместно с цилиндрами как жесткое тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
