Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

б) Заданы (кроме усилий у в области 8) значения Рг (1 1, 2, 3) поверхностных сил, действующих на д8. Граничное условие, которое должно выполняться, заключается в том, что поле неиавестных в 5 компонентов пм должно согласно условию (2) удовлетворять в любой точке Р границы соотношенияьп пмлу Р1 (1 1, 2, 3). (11) Зги задачи называются задачами типа Н. в) Заданы (кроме усилий у в области Я) значения Уг и )(з двух первых компонентов перемещения Х и значение Рз третьего компонента снлм Р в любой точке на д5. Решение должно удовлетворять нз д8 следующим условиям: Хт=Хь Хз Хз, озал) Ре. Другие примеры граничных условий были приведены в Ш.1.6, неяоторьм даны в упражненнях. Определение 2.

Задача (Ра), для которой заданные в задаче (Р) величины внутри 3 и на дЮ тождественно равны нулю, называется однородной задачей, ассоциированной с (Р). Так, ассоциированной задачей типа 1 будет также задача типа 1, в которой гг=О, Х =О. Определение 3. Задача (Р) называется регулярной, если ассоциированная с ней однородная задача (Р„) также регулярна 'е, а из задаваемых в задаче (Р) условий для задачи (Р„) следуют только "е те условия, которые даны в определении 1.

Приведенные выше примеры а), б) и в) являются примерами регулярных задач. Теперь нетрудно сформулировать следующий результат, условив- " В более общем случае можно было бы определить условен нелокальной регулярности (см. задачи 9 и 10). Здесь для простоты рассматривается только локальная регулярность.

" Ниже в целях упрощения слово «локально» будем опускать. е" Зтнм исключается, например, случай, когда Х» Хз, Хз, Рт будут заданы в любой точке дЗ. Иными словами, необходимо, чтобы при отбрасывании какойлвбо нз заданных величин е аздаче (Р) задача (Ра) теряла регулярность. шись при этом не делать различия между двумя решениями задачи, разность которых представляет собой тривиальное решение.

Теорема (о единственности решения). Регулярная задача имеет не более одного решения. В самом деле, легко проверить, что если регулярная задача имеет два различных решения Х',", о)о и Х)*', оД', то разности Х, = Х7'- Х)'>, о, = оф — о';," представляют собой решение однородной ассоциированной задачи, которая, по предположению, будет регулярной. В соответствии о леммой решение Хь о,~ может быть только тривиальным. Таким образом, а, и з, определяются однозначно.

Поле перемещений определяется, возможно, с точностью до поля перемещений абсолютно твердого тела. Для приложений, которые будут рассматриваться, этой теоремы вполне достаточно. Отметим (хотя в настоящем курсе это не найдет применения), что даже при самых общих условиях регулярности всякая регулярная задача на самом деле имеет единственное ешение и что такая задача является корректно поставленной.

точним, однако, что в случае задач типа 11 заданные величины должны удовлетворять необходимому условию (3). Если же это не так, то рассматриваемая задача о равновесии не имеет решения вообще. Х.!.3. Принцип Сен-Венаиа. Положения, рассмотренные выше, показывают, что сложность задач теории упругости такова, что найти математическое решение в явном виде, как правило, не представляется возможным. Действительно, искомые функции должны удовлетворять довольно сложной системе уравнений в частных производных, которая даже в сравнительно простых случаях может быть решена лишь для конкретных граничных условий. Вместе с тем из соображений физического характера ясно, что практически невозможно реализовать в эксперименте заданное распределение поверхностных сил Р (Р) на тех участках поверхности дЗ тела, на которых это распределение предполагается известным (например, в случае задач типа П).

Если даже математические трудности преодолены и построено точное решение, то точная экспериментальная проверка всех теоретических выводов все равно остается невозможной. Таким образом, как по математическим, так и физическим соображениям теории упругости грозит опасность остаться слишком «тонкой» наукой, практическая ценность которой весьма сомнительна.

Все эти замечания только подчеркивают важность следующего принципа, сформулированного впервые Сен-Венаном, согласно которому вводится некоторая гибкость в задании граничных условий, и область применений теории упругости тем самым расширяется. Если заменить заданное распределение сил Р(Р), действующих на участок Е» граничной поверхности, друеим распределением, также действующим на Хг, так что оба распределения будут характеризоваться одним и тем же торсором, а граничные условия на дополнительной к л части поверхности д5 не изменяя(ся, то аюгда е любой области тела 3, достаточно удаленной от Х„поле напряжений и псле перемещений останутся практически нейзменными. Очевидно, что принцип будет выполняться тем лучше, чем меньше будут размеры Х, по сравнению с размерами тела 3 и чем больше будут удалены от участка Х, точки тела 3, в которых производится сравнение решений.

Вблизи участка Х„ т. е. рядом с точками приложения сил Р(Р), распределение которых меняется, решения могут сильно различаться. Данная выше формулировка не является настолько точной, чтобы можно было поставить задачу ее математического обоснования. Подчеркнем, однако, что принцип Сен-Венана хорошо подтверждается опытными данными. По тем же соображениям введем, в случае необходимости, некоторую неоднозначность в записи граничных условий в перемещениях. Например, если часть плоскости Х, граничной поверхности д5 жестко заделана, иными словами, если требуется, чтобы было Х (Р) О в любой точке Х„то зачастую ограничимся ослабленным условием, требуя, чтобы в центре тяжести е Х, (при однородном распределении поверхностной плотности) перемещение Х и вращение го были равны нулю. В этом случае появляется возможность воспользоваться отсутствием ограничений на остальную часть поля Х (Р) на Х, и упростить решение задачи.

С целью расширения области применения решений регулярных 'задач, котбрые будут построены (и для их интерпретации), воспользуемся сформулированным принципом, считая эти решения решениямн всех задач, которые можно свести к данной регулярной задаче. Поэтому при рассмотрении простейших задач реализуем следующие этапы. а) Строгал формулировка регулярной задачи (на самом деле постановка рассматриваемых задач возникла иа практики). б) Решение сформулированной задачи. На этом этапе на основе интуитивных соображений угадывают аналитическую форму части решения (например, поле перемещений или поле напряжений), и на этой основе строится полное решение и проверяется выполнимость всех уравнений н граничных условий задачи. После этой проверки можно, опираясь на теорему единственности, быть уверенным в том, что найденное решение — единственное решение поставленной задачи.

в) Применение принципа Сен-Венана. Применяя этот принцип, следует указать, каким конкретным практическим задачам соответствует найденное решение, и выявить его физический смысл. Х.1.4. Простое растяжение (сжатие) цилиндрического бруса. Рассмотрим теперь регулярную задачу, относящуюся к цилиндрическому брусу 3, образующие которого параллельны оси х„а торцы представляют собой прямые сечения Х, и Хт плоскостями х, О и х, г. Внутри бруса ~=О; на Х; действуют поверхностные силы * Такой (несколько пронввольный) выбор объясняется тем, что центр тяжестн является в некотором роде средней точкой, удобной для прнблюкенной формулнровкн граннчных условий аакреплення участка Хе.

-Е х, Рис. 1. цилиндрический стержень (а); уснлия в опыте нв чис- тое рвстижение, приложенные к стержню (б) с плотностью Р (Р— постоянный вектор, параллельный осн х„компоненты которого О, О, Р). На сечение Хе действуют силы с поверхностной плотностью — Р. Боковая поверхность бруса Хе свободна от нагрузок (И1.1.5), т.

е. силы Р заданы н равны нулю всюду на Хе (рнс. 1). Задача относится, таким образом, к задачам типа 11 н решается очень просто. Поле тензоров напряжений простого растяження, определяемое равенствами о,„Р, оы=оее=о,е — — о„=о„=О, ('1 2) полностью решает проблему. Действительно, уравнения равновесия (1) удовлетворены в любой точке 3, так как У, О, а все оы — постоянные величины; граничные условия типа (11) выполняются; нз законов поведения (6) тогда следует, что все з, — постоянные велнчнны. Точнее Ее„=Р, Ееы=Ез„= — тР, е„=е„=е„=О. (13) Поле тензоров е,у удовлетворяет уравнениям совместности (7), н, следовательно, это поле соответствует некоторому полю перемещеннй Х„ определяемому решением уравнений (13) н (4). Видно, что поле Р ч Х,= Е х„Х,= — — Рл, Х,= — — Рле Е (14) является искомым полем перемещений.

Любое другое поле, которое может быть решением, получается прибавлением к полю (14) поля моментов торсора. Такое (бесконечно малое) геометрическое перемещение, которое может быть сложено с полем (14), не дает нового решения, отличного от решения, даваемого формулами (12) н (14), так как последнее, удовлетворяя всем условиям задачи внутри 5 й всем граничным условиям на 35, является единственным, нбо речь идет о регулярной задаче. Если длина бруса достаточно велика в сравнении с поперечными размерами, то, опираясь на принцип Сен-Венана, можно считать полученное решение одним нз приближений к решениям других задач.

Характеристики

Список файлов книги