Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В качестве упражнения предлагается выяснить, какие другие величины Х, и Х, в постановке задачи (44) приводят к тому же решению. Для решения этой задачи можно использовать результаты, полученные в П1.5.1. Если задать функцию 0(х„х,), равную нулю на границе дЮ поперечного сечения Ж1, называемую функцией напряжений при кручении, то поле напряжений внутри 5, определяемое формулами ие должна зависеть от переменной х„т. е. должна быть функцией только хт и х„а с другой — что ом О,й=ргх(1р т — х,), о„= — О,,=рсс(<р. 4+х,). (47) Если положить 8 =)тяО, ф = О+ — (х(+4), (48) то зги уравнения примут такой вид: т,т ф,й 1Р.й= — ф,т. (49) Таким образом, функция (ф+(ф) является аналитической функйией ((г) комплексной переменной з=хт+(х„<р и ф — гармониче.ские функции хт и х„а О удовлетворяет уравнению в частных производных ЬО+2 =О.
(50) Функция напряжений О является, таким образом, решением уравнения (50) в области Ю1 значения О на границе области двй равны нулю. Задачу можно решить непосредственно, определяя ) (х) в предположении, что мнимая часть атой функции на границе дЮ принимает заданные значения 1 гз 2( г+ з) 2' Это классическая задача теории функций комплексного переменного. Мнимая часть искомой функции, очевидно, известна и равна ф, стало быть, известна функция 8 и, следовательно, поле напряжений; действительная часть, определяемая с точностью до аддитивной постоянной, дает ф и, следовательно, поле перемещений.
Крутящий момент М равен ("см. формулу (43)]: М Рсз, Р=ртт, 0=2) ~Обо. (51) )Кесткость вала Р на кручение и здесь равна произведению модуля сдвига р на геометрический множитель, размерность которого равна четвертой степени длины. Некоторые приложения полученных результатов будут рассмотрены в задачах (2, 3, 4, 5). Другая интерпретация решения.
Если длина вала велика посравиению с поперечными размерами, то решение, определяемое формулами (48), (48), (80) (прн 0=0 нз границе дя(>) и (51), можно интерпретировать (в свете замечаний Х.1.3) 'как поле напряжений вала со свободной боковой поверхностью, заделанного торцом Хь в жесткий монолит; на торец 2т действует пара сил с моментом, направленным по оси вала. В самом деле, к найденному полю перемещений всегда можно прибавить поле моментов торсора так, что в точке О перемещение и вращение будут равны нулю.
Для этого выберем значение константы, от которой зависит ф, таким образом, чтобы ф была равна нулю при хд лэ-†О, и обозкачим через 2а и 2о значения ~р т (О, О) и — т,э(0, О). 249 Перемещение центра тяжести торцз Х«рзнио нулю, з вращение з втой точке издается ненулевыми 'компонентами матрицы вращения (которые обознзчены здесь через вы): а а е», ах»=0, еы — (е, »+хз) аа„ез, = — (е, » — хс) = — аз. 2 2 Ясли компоненты мзтрнцы ирзщення рассматривать кзк элементы приведения торсорз бесконечно малых перемещений, то лоле перемещений »того теизорз оп.
ределяется формулой Ыхр [ — аахз, азх„а(ах,— Ьх,)]. Тзкнм образом, для того чтобы нз основании принципз Сея-Вен»ни получить решение рассматриваемой проблемы, достаточно постззить и соотз«тстзие полю нзпряжений поле перемещений: Хт — ахз(хз — а), Х,=ах»(хс — Ь) Хз а(е+Ьхз — ах,), для которого, по построению, перемещение и вращение начала коордннзт отсутстиуют. Х.[.9. Обобщение результатов на квазистатические задачи.
Рассмотрим для простоты задачу второго типа, когда массовыми силами можно пренебречь (Р=О). В этом разделе исследуем применимость равновесных решений в случае, когда приложенные силы Р— функции времени; иными словами, исследуем вопрос о том, когда, заменив в решении, найденном для равновесия, величины Р, некоторыми функциями времени, будем иметь хорошую аппроксимацию точного решения задачи о движении среды под действием переменных во времени сил. В этом случае полученное таким образом приближение является квазистатмческим решением поставленной задачи, Ответ на этот вопрос можно получить, исследуя прежде всего общие уравнения и граничные условия.
Единственная корректива, которая должна быть внесена, чтобы учесть движение,— это замена уравнений равновесия уравнениями движения. Эти последние в рамках линейного приближения запишутся следующим образом: ом, огуу р Можно считать, что квазистатическое решение корректно описывает движение среды тогда, когда инерционные силы в правой части уравнения на порядок меньше основных членов левой части. В этом случае говорят о «медлениом» движении тела, с тем чтобы подчеркнуть малость сил инерции или отметить тот факт, что задача может быть решена в рамках квазистатического приближения.
Чтобы получить представления о порядке величин, рассмотрим типичный случай, когда Р, на границе до изменяются во времени по гармоническому закону с частотой со, и будем для простоты считать, что в начальный момент перемещения и скорости частиц в 3 равны нулю. Пусть Š— основной характерный размер тела, Е-модуль Юнга среды, Р-характерное амплитудное значение величин Рг, дейст- зующих на д5. Порядок величин может быть выявлен, если ввести приведенные безразмерные переменные (отмеченные тильдой) по формулам: их~ Ело 1= —, Х~= — Х, о~~ Рц~, Р~ РЯ,. Обратим внимание на то, что выбор порядков величин Х, и п,г согласуется со всеми предшествующими результатами, Точно так же можно написать коэффициенты Ламе Л и в виде Л= ЕЛ, )«= Е~и, где Л и )» — безразмерные величины порядка единицы.
Установив это, примем в качестве рабочей гипотезы, что все приведенные ве- личины вместе со своими производными по х, и 1 также величины порядка единицы. Это действительно обстоит так для всех Р„ ко- торые участвуют в записи граничных условий (заметим, что поря- док производной по 1 равен единице по выбору этой переменной). С другой стороны, «рабочая гипотеза» согласуется с определяющи- 'ми уравнениями, которые имеют вид - дХ» - /дХ~ дХ пы Л вЂ” б,у + )А ~ — + -~~.). д«» ~ д«Г д«~ ) Остается выписать уравнения движения: доу~ еЧ.» д»Х~ д«~ Е дР ' которые надо решать с учетом граничных условий. Очевидно, порядок левой части уравнений движения равен единице, а порядок е»ьв правой части (сил инерции) равен †. Таким образом, чтобы оставаться в рамках гипотезы о возможности квазистатического приближения, необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие: е(,(<с, с= ~ — ) Приведенное рассуждение на самом деле представляет лишь наводящие соображения.
Очевидно, решение вопроса о применимости «рабочей гипотезы» и, следовательно, полученного выше результата требует более глубокого изучения динамической задачи, Константа с, имеющая размерность скорости, является характеристикой среды. Это скорость звука в среде (т. е. скорость распространения в среде малых возмущений). В системе СИ, когда, например, Ежй 1О", рыб 10', с 4000 м!с.
Величина вЬ харак,.теризует быстроту изменения заданных величин, которая только тогда сравнима со скоростью звука, когда порядок частоты †несколько тысяч герц. Другими словами, если время, характеризующее скорость изменения заданных величин, достаточно велико по сравнению с време- нем (очень коротким) пробега возмущений по теяу (со скоростью звука), то применение квазистатической гипотезы законно. Таким образом, те упрощения, которые вытекзют из предположения о возмож.
ности кввзистзтического приближения, в обычно встречзющихся задачах для реальных конструкций вполне обоснованы, но дело меняется, когда приступают к изучению рвспрострвиения в упругих средзх высокочзстотиых волн (квк гзрмо. нических, тзк и любых). Если инерцизльные эффекты (которымн пренебрегают в квззистзтнческом случзе) становятся ощутимыми, то рассматриваемая задача является динамической. Х.!.10. Заключительные замечания. На этом заканчивается рассмотрение примеров решения статических задач теории упругости. Напомним, что были рассмотрены основные явления в «чистом» виде†растяжение, изгиб, кручение цилиндрического стержня при свободной от нагрузок боковой поверхности. Найдены следующие формулы: Х=ЕАв.
М»=Е1~, М»-Ва=рб, которые дают (в рамках принципа Сен-Венана) линейные соотношения между глобальными усилиями («т — растягивающее усилие, М, — изгибающий момент, М, — крутящий момент) и параметрами деформации (е — относительное удлинение, )« ' — кривизна, а — относительный угол кручения). Эти соотношения играют фундаментальную роль в приложениях теории упругости к инженерному делу (сопротивление материалов). Они могут служить основой теории криволинейных сред. Приведенные соотношения можно проверить экспериментально. Установлено, что если деформации не слишком велики, то закон пропорциональности хорошо выполняется, и найденные значения (как это было указано для первого из законов в Х.1.4) позволяют определить коэффициенты )«и Е для материала, из которого сделан вал.
Задача, изученная в Х.1.7, представляет собой пример исследования сопротивления резервуара внутреннему давлению; важность этой задачи для практики трудно переоценить. Аналогичный метод может быть применен и к цилиндрическому резервуару. Х.З. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ (УПРУГО-ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ) Х.2.!. Основные гипотезы и уравнения. Ранее (в Ч111.8) был уже очерчен класс явлений, которые описываются на основе теории пластичности; теперь применим эти результаты к некоторым простым конструкциям, работающим за пределами упругости. Будем по.прежнему (как и в Ч!П.8) предполагать, что применима гипотеза малых возмущений и что, кроме того, рассматриваемые задачи не выходят за рамки квазистатической гипотезы (Х.!.9). Как и в Ч111.8.5, будем предполагать, что поверхность текучести определяется изотропной функцией девиатора напряжений; это предположение об изотропии представляется естественным в той мере, в какой среда считается изотропной при работе в упругом режиме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
