Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(80) дрз ' е (7В) 2В! (г — расстояние от оси; о(г) и т(г) — функции г и, возможно, времени 1). Покажем, что эти поля могут быть определены одновременно таким образом, что все условия и уравнения задачи выполняются. Полю (75) соответствует поле деформаций е а а е,—, О, ед; е„— —, е„е, еда — кх„еаа ~ха. (77) Определяющие уравнения в упругой области запишутся тогда в такой форме: Р=Р Я=ЧР (81) а условие текучести в форме Р'+Ц'= 1.
(82) Применяя определяющие уравнения (56) в режиме пластического течения, получаем о=Зрз-Ло, т=рга — Лт. (83) Здесь Л-неотрицательная константа, а точкой наверхуобозначены производные по времени. Но в этом же режиме имеем также (дифференцируя (78)1: — +тт=О оо 3 что дает д'Л вЂ” (роз+ р гта) = О. (84) С учетом обозначений (79) и (80) определяющие уравнения (83) н (84) могут быть записаны в более простом виде: Р=р — ЛР, ()=др — Л1~, (85) Л=, р+адр. (86) На основе этих предварительных результатов рассмотрим две программы иагружения. Программа А. Фаза 1. Стержень подвергается чистомурастяжению до достижения предела упругости; на этом этапе а=т=О.
Компонент Р растет от 0 до 1; согласно формуле (81) в конце фазы р=1, так что конечные условия этой фазы, которые будут начальными условиями для второй, запишутся в такой форме: р=1, д=О, Р=1, 0=0. (87) Ф а за 2. К телу прикладывается нагрузка, при которой в течение всей фазы р остается постоянной и равной единице, а д растет от 0 до 1. (Это достигается путем закручивания стержня.) Материал в этой фазе находится в пластическом состоянии Л=Ядр (можно убедиться, что Л- положительная величина), и, следовательно, в каждой точке имеем (88) Второе соотношение является дифференциальным уравнением, которое может быть выписано для каждой частицы тела: ~-Е' =р~у Ж так что с учетом начальных условий (87) имеем ()=ярд.
(89) Установив втот результат, можем записать первое из уравнений (88) в такой форме: 4Р зь рр р с(Ч Р сьрс откуда с учетом начальных условий (8?) получим 1 Р= —. сьрд ' (90) Таким обрааом, в конце программы имеем р=1, д 1, Р= — „, Д=111 р. 1 сир ' (91) Рассмотрим теперь вторую программу. Программа Б. Ф а з а 1. Стержень подвергают чистому кручению до тех пор, пока не будет достигнут предел упругости на боковой поверхности. На этом этапе е = о = О. Согласно формуле (81) функция Я растет от О до р и в конце фазы Р=О, а=1, Р=О, 9=р.
Фаза 2. К телу прикладывается нагрузка, такая, что при постоянном д=1 р растет от О до 1 в конце фазы, В течение этой фазы начинает развиваться зона пластичности $(р~1, а упругая сердцевина уменьшается О < р < 3. Для фиксированной частицы, которая сначала находилась в упругом режиме, а ее поведение подчинялось закону (81), в момент, когда зона пластичности коснулась частицы, имеют место равенства: Р=Р Я=9 р'+Р'=1.
или (92) где у — постоянная, подбираемая таким образом, чтобы выполнялось словне (92), (одно нз начальных условий пластического режима). аким образом, имеем у = Рг1 — р' — Агя 1)1 )Г! — р'. (94) 263 Затем частица вступает в пластический режим; так как можно проверить, что Л вЂ” положительная величина, то из определяющих уравнений следуют соотношения: Р=(1 — Р*) Р, (г= — ЖР. (93) Из первого уравнения вытекает, что Р=(й (р — у), йо о4 йг 1 1 р.
о об ог оз оо ов1 р Рис. 14. Комбннированяе расгяягения и кручения: а-двв программм Гпформированиа (еплогпноа лиииеа понввана программа А, прпигнром-программа Бй б-илие. пение Я; в-иамейенав Р Следовательно, уравнение (93) запишется в такой форме: или с учетом того, что Ра+11в=1, в форме 1 сь(р — т) ' Таким образом, в конце программы Б имеем: Р=1, о=1, Р=й (1 — у), (;1=* — -1- —, (95) где у (р) определяется по формуле (94). Заключение. Таким образом, установили, что, несмотря на совпадение полей деформаций в конце обеих программ, поля напряжений, получившиеся после выполнения программы А и программы Б, различаются.
Для наглядности на рис. 14 приведены графики функции Р(р) и 4(р), соответствующие формулам (91) и (95). Этот результат иллюстрирует важное свойство пластических сред: состояние напряжений зависит не только от деформированного состояния в данный момент, но и от всех предшествующих деформированных состояний. Х.2.7. Заключительные замечания. Рассмотренные примеры, безусловно, недостаточны для получения представления обо всем разнообразии задач, с которыми можно столкнуться в теории пластичности. Здесь затронуты только некоторые задачи о расчете элементов конструкций н, кроме того, задачи разгрузки ие рассматривались (приложениые нагрузки предполагались неубывающими во времени).
Кроме приложений к расчету конструкций и, в частности, к определению предельных нагрузок, которые они могут выдерживать, теория пластичности позволяет также изучать механику металлургических процессов (литье, прокат, золочение и т. д.), в которых (в отличие от задач расчета конструкций) стремятся к реализации режима пластического течения. В этих процессах предельная нагрузка является минимальной, необходимой для поддержания процесса. Х.З.
ПРОСТЕАШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ Снова будем считать, что деформации малы, а процессы квази- статические. Здесь будут рассмотрены те же задачи, что и в теории упругости, однако в постановке задач изменятся уравнения, связанные с законами поведения.
В главе т'Ш было показано, каким образом метод локального состояния естественно приводит к формулировке законов в форме дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций. Типичной моделью будет, например, модель с тремя параметрами (введенная в 17111.7), частными случаями которой являются модель Кельвина — Фойхта и модель Максвелла, о которых говорилось в у 111.5 и у 111.6. Было, впрочем, установлено, что напряжения в общем случае выражаются через деформации в виде некоторого интеграла (как указано в т'1.4.1) с помощью модулей релаксации и что точно так же деформации выражаются через напряжения с помощью функций запаздывания среды.
Эти интегралы отражают существование «непрерывной памяти» в поведении среды. Х.3.1. Некоторые сведения из операционного исчисленияе. Не рассматривая подробно операционное исчисление, основанное на преобразовании Лапласа, введем все операторные обозначения и построим очень элементарное операционное исчисление, которое позволит упростить оперирование с законами поведения. Будем рассматривать функции г(1) вещественной переменной 1, значения которых могут быть как вещественными, так и комплексными, кусочно-дифференцируемыми бесконечное число раз и тождественно равными нулю слева.
По определению, это означает, что, с оДной стоРоны, 7 (1) тожДественно Равна нУлю и Ри 1( тг (гпг — число, которое, возможно, зависит от 1) и что, с другой стороны, существует счетная возрастающая последовательность значений 1, (1=0, 1, ..., Т, =птг, птг ~ 1, < 1;...), такая, что в любом открытом интервале (1ь 1,~,) функция 1(1) бесконечно дифференцируема; производные конечны, когда 1 — 1г сверху и 1 - 1,+, снизу. Функции 7(1) образуют векторное пространство Ь над полем комплексных чисел, и всякая конечная линейная комбинация функций 7(1), принадлежащих Ь, определяет элемент пространства Ь.
Функции 5, имеющие непрерывные производные до гл-го порядка, составляют векторное подпространство 5„пространства 5. Заметим, что Ь,чь Ь. Если ~(1) ЕЬ, то функция, символически обозначаемая 0 г(' и определяемая по формуле 1т '1 ~ „1(т) бт, принадлежит $„+1.
Итерируя эту операцию, получим элемент про- е В оригинале «са!сп1 аугп!о11Чпе»; по смыслу — ато операторный метол (нли операционное исчисление).— Прим. р«д. странства $„„,: Заметим, что если ) Еб, то Р ЧЕв„именно поэтому пространство Ь можно обозначать также символом 5 г Если ) (1) Е Ф, и 0 — операция дифференцирования функции 1 из пространства в«, то Р) — обычная (втрадиционном смысле) производная ). Полагая 0'1=1 ®, можно, очевидно, применять к оператору 0 обычные правила мани- пулирования со степенями, если, конечно, указанные операции имеют смысл. Так, если ) Е 5„, то можно написать, что 0««РрР«-р) где л и р- целые числа (положительные, отрицательные или равные нулю) для каждых п(т, п — р(и. Операцию Р' будем часто заменять множителем 1.
Определим теперь оператор (Р+а) ', где а — вещественное или комплексное число. По определению, (Р+а)-', где ) Ей (т)~0) является решением дифференциального уравнения — +аз=) («), тождественно равным нулю слева. Это решение записывается в таком виде: а (Х) = ~ „7 (т) ехр ( — а (С вЂ” т) ) бт- (0+а) -'1. Оно, очевидно, принадлежит 5 +,.
Если образовать оператор и = Рд, то легко найти, что )« = Ра =! (() — а ~ Г (т) ехр ( — а (1 — т) ) бт =) (() — а (Р+ а)-' (. Нетрудно видеть, что имеет место равенство л-0((0+ ц- )Р=() — ',1), (96) оператор в правой части которого представляет собой разложение на «простые элементьп оператора в левой части равенства, который 0 можно обозначать через —: О+а ' Р д — =! —— В+а Р+а Можно установить также, что имеет место равенство — ) =(Р+а) 'О), 0 В+а 266 если только ( Е йо ибо интегрирование по частям дает (Р+ а) ' Р( = ~ „Г (т) ехр ( — а (( — т)) бт = г~ =((() — а ) „) (т) ехр( — а(( — т)) бт.
Если 1 принадлежит пространству Ь, то формула (96) для опера- О тора „остается в силе. Следовательно, функция и имеет те же точки разрыва, что и функция (. Функция (х(() представляет собой решение дифференциального уравнения аг е) — +аг=— ш ш на всем интервале (о (,+,. Более того, и(() удовлетворяет данному уравнению во всех точках непрерывности, равна нулю слева, раз- рывна в каждой точке разрыва ( и имеет в этих точках тот же ска- чок, что и функция (. В общем случае можно определить функцию Ь(() по формуле ь(()=в++~у= ( +Р,+"") у, если только 7 (() Е о.
Эта функция будет решением дифференциаль- ного уравнения — +аг=а —, +Ц, если она имеет смысл в данном интервале; л(() является интегралом этого уравнения, равным нулю слева, который в каждой точке (, имеет сиачок (Лй); = хх (Ь|)ь где (Ь|),— скачок функции ( в точке (, ((щ=) ((, +о) — р, (( — о)]. Эти результаты обобщаются без труда. Прежде всего заметим, что О+а, (О+а, / О+а, ~ О+а, ! ае — а, ~ О+а, О+ах ) ' В самом деле, применяя оператор слева к функции (, получим, по определению, „ехр ( — а, (( — т)) дт ) „1(т') ехр ( — а, (т — т')) бт' н после изменения порядка интегрирования найдем „( (т ) бт' ~,, ехр ((а, — а ) т — а,(+ а,т') йт = е г, (ехр( — аер — т')) ехр( — а,р — т')) ! „, ! а,— а, ах — ае что как раз совпадает с результатом применения к функции 7 последнего оператора, полученного в (97). Итак, выражение (97) определяет оператор (О+аз) ' (О+а,) ', который после применения к функции 7 Е 5 дает функцию )г(1) Е К,+з.
Те же выкладки при а,=а,=а позволяют получить значение (Р+а) з); методом индукции легко найти, что (Р+а) и) ~ 1(т) ( т), ехр( — а(1 — т))бт= ,, ехр( — аЛ)1(8-Л) ЙЛ; последнее равенство получаем заменой переменных г-т=Л. Таким образом, выяснен смысл выражения )1 (О) 1 = — ) Р (0) 0 ()у) в котором Р(0) и () (О) — миогочлены степени р и у соответственно, 1 — функция пространства 5, если только т+о — р.-э-1; для вычислений достаточно произвести разложение данного выражения на простейшие элементы. Можно также производить вычисления, используя обычные свойства ассоциативности и коммутативности операций над рациональными дробями, при условии, конечно, что в применении к функции 1 промежуточные результаты имеют смысл '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
