Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Иными словами, величины 278 б,, являются элементами единичной матрицы. В этой книге, если не оговорено противное, будут использоваться только ортонормированные базисы. Выбрав в пространстве Е ортонормированный базис, можно представить любой вектор Х в виде Х=Х,е,+Х,е,+Х,е,=Х,еп (2) Величины Х,— составляющие вектора Х в базисе ео Здесь будем использовать соглашение о суммировании по повторяющемуся (немому) индексу.
В соответствии с этим соглашением по индексу, который повторяется два раза в каком-либо одночлене, должно быть произведено суммирование, иными словами, одночлен должен быть заменен суммой всех членов, которая получается, когда индексу придают значения 1, 2, 3. Индекс 1 в (2) называется немым, так как буква, которой он обозначен, не имеет, очевидно, никакого значения: Х,е; и Х„ел обозначают один и тот же вектор Х, С учетом (1) и в соответствии с соглашением о суммировании Х' Г Х Уз+ХзУ" +Х У Х'Уо (3) Линейнан форма ж (Х), значения которой — скалярные величины, есть линейное отображение пространства Е на множество действительных чисел.
Таким образом, И (Х) = Х,И (е,) + Х,Б (е,) + Х,Я (е,). (4) Линейные формы являются элементами трехмерного векторного пространства Е, называемого сопряженным пространству Е; формы Х„Х„Х, составляют базис этого пространства, называемый сопряженныж базису (е;) пространства Е. Величины ж(е;)-координаты формы ж в этом базисе. Если задать вектор А из Е его составляющими А,=З(е,) в базисе е, пространства Е, то будем иметь И (Х) = А'Х АеХо (5) Отображение ж- А, которое ставит в соответствие форме Б вектор А из пространства Е, реализует изоморфизм пространства Е на пространство Е и позволяет, таким образом, отождествить сопряженное пространство Е с самим пространством Е.
Ниже будем это делать систематически. Практические упрощения, которые из этого следуют, в конечном счете оправдывают появляющиеся при этом теоретические сложности. Так, вектор А из Е можно рассматривать либо непосредственно как один из элементов Е, либо как операцию, определяющую линейную форму: Б(Х)=А Х. В ортонормированном базисе е, имеем одновременно А=А,еь Ы(Х)=А,Хо (6) Замечание.
Тот факт, что здесь используютсн только ортонормированные базнсы, позволяет оперировзть только с нижними индексами и применить правило суммировании по немым индексам в нижнем положении. Пусть, например, базис ег не ортонормированный, тогда составляющие вектора Х будут обозначаться Хг и уравнение (2) перепишется в такой форме: Х= Хгвп (л и соглашение о немом индексе будет применимо только к тем одночленам, у которых повторяющийся буквенный индекс встречается один раз вверху и один раз внизу.
Равенство (1) перепишется следующим образом: ег еу=кгп (8) где я» — злементы симметричной матрицы ягу ен, положительно определенной и называемой фундаментальной матрицей базиса зг. Скалярное произведение (3) запишется в виде х к=8,,хю, (О) правая часть в силу соглашения о суммировании по повторяющимся (немым) индексам представляет собой сумму: дмХгУз+Е„Хг +дмХа) з+.„ Квадратичная форма К!ух'Уг положительно определена, а определитель матрицы дгд бе! (ягу) отличен от нуля. Линейная форма 3 (Х) на пространстве Е в базисе ХГЕ имеет выражение 3 (Х)=Хам (ег). Существование скалярного произведения позволяет поставить в соответствие всяному вектору А линейную форму: А Х=лгуАгХУ ягуА/Хг=АгХ1, (1О) если положить А;=ЕТАЯ.
(11) Таким образом, можно снова привести в соответствие Е и Е в силу изомор. физма Я вЂ” А, но при заданных 3 составляющие Аг получаются нз решения уравнений (1!) прн А!=Я (ег), что всегда возможно, так как де!(лгу) М О. Если обозначить через ЕУ матрипу, обратную поч решение запишется в таком виде: Аг=д'~АЛ (12) Таким образом, вектор А пространства Е в случае неортонормированного базиса ег имеет два разложения на составляющие — составляющие АГ, называемые конарвариаитнмми, и составляющие Ао называемые кгмарпанпшыми, которые следует различать. Формулы (6) запишутся тогда в виде А=А!ее Н(Х)=Агх' (18) Можно к тому же убедиться, что Аг действительно являются составляющими вектора А в базисе, определяемом векторами ег = лгуеу (14) и называемом взаимным базису еб А = А'ег = Агег.
(!5) Можно теперь оценить упрощения, вытекающие нз рассмотрения только ортонормированных базисов: я;Л ХН вЂ” единичные матрицы, базисы ег и ег тождественны, как и составляющие Аг и Аг одного и того же вектора А. Положение индексов теперь не имеет значения. Конечно, при таком ограничении мы теряем возможность выявить алгебраическую природу некоторых величин, но в большинстве задач механики зто не столь важно по сравнению с преимуществом, даваемом упрощением записи и обозначений. П1.1.2. Использование соглашения о немом индексе. Следует сделать несколько замечаний об употреблении немого индекса, 280 так как в последующем изложении оно будет применяться постоянно.
Индексы в формулах, которые не являются немыми, называются свободными: они могут фигурировать в каждом одночлене только один раз. Так, например, в формуле А;=М; В, (16) 1 является свободным индексом, а 1 — немым. Следует всегда следить за тем, чтобы немой индекс обозначался отдельной буквой, не совпадающей с теми, которые использованы для свободных индексов. Левая часть уравнений (16) может обозначать 1-ю составляющую вектора А в ортонормированном базисе (е„е„е,).
Если точно так же величины В, обозначают составляющие некоторого вектора В в этом же базисе, то формула (16) означает, что А; — линейные формы составляющих В„а матрица Мц определяет в этом базисе линейный оператор А — В. Допустим также, что имеют место следующие равенства: В, й(цс~, (17) выражающие, что Вь в свою очередь, являются линейными формами величий СР Подстановка (17) в (16) приводит к результату, который может быть записан в компактной форме: А~ Л(цУ~эС„. (18) В правой части суммирование ведется независимо по двум повторяющимся индексам 1 и л, которые принимают значения 1, 2, 3. Очевидно, что два немых индекса, встречающиеся в одном й том же одночлене, следует обязательно обозначать различными буквами, которые, в свою очередь, должны отличаться от обозначения свободных индексов.
П1.1.3. Замена базиса в Е. Рассмотрим в пространстве Е два ортонормированных базиса е' и е. Очевидно, вектор е) первого базиса может быть выражен через линейную комбинацию векторов е„ е„ еэ второго базиса: е; Рце,. (19) Умножим скалярно левую и правую части (19) на еы получим Е7 Е, Рцву Е,=Рцб, Риг Таким образом, величина Р„, являющаяся проекцией вектора е~' на еэ в базисе (е„ е;, е,), является одновременно проекцией вектора е„ на е~ в базисе (е', е.,", е.„'), и поэтому можно сразу написать, что е=Р <е~. (20) Формула (20) даст, очевидно, решение уравнений (19). Сравнение (19) и (20) показывает, что транопонированные матрицы Рц и Ру„ являются в то же время и взаимно обратными; иными словамй, они являются ортогональиыми.
Этот же результат можно получить, образовав из (19) скалярное произведение е,' е,' или образовав зз~ с использованием выражений (20) скалярное произведение егер.' е,' е~=Р,„Р,е„-е,=ЄЄбы= рг„Р „, е, е Р„,Рцеа е,= Р„Рцб„= Рмр,ц что дает равенства РмР,* бцэ Р„,Р„,=бцэ (21) каждое из которых характеризует свойство ортогональиости матрицы Рц. Установив этот результат, обозначим через Х, и Х; компоненты вектора Х в базисах (ео е„е,) и (е,', е,', е,"). Используя формулы (19) и (20), получим: Х=Х;е;=Х;Рце =Х е, Х=Х,п; =Х;Р,е~ — — Х~е~, что дает связь между Х, и Х1. Х;=Р, Х, Х;=Р,Х;.
(22) Обозначим теперь через Х вЂ” матрицу-столбец, элементы которой — Х„через Р— ортогональную матрицу с элементами Р,; через 1 — единичную матрицу; через Рт — транспонированную матрицу с элементами (Рт)г = Р;. Равенства (21), выражающйе свойства ортогональности мацтрицй Р, примут вид ррт =ртр (23) а формулы преобразования (22) запишутся следующим образом: Хэ=РХ, Х=ртХ~. (24) В такой записи условимся обозначать произведение двух матриц в виде двух рядом стоящих символов, не разделяя эти символы какими бы то ни было знаками умножения. П!.1.4.
Система координат в пространстве 8. Преобразование координат в 8. Если только не будет оговорено противное, то все используемые системы координат будут ортонормированными декартовыми системами. Такая система М определяется точкой О в 8, принятой за начало координат, и ортонормированным базисом е;. Точке М из 8 тогда соответствует вектор ОМ из ф', составляющие которого х, в базисе е; и являются как раз координатами точки М в нашей системе. Рассмотрим теперь другую ортонормироваиную декартову систему координат Кэ с началом в С и с базизом е~. Пусть х, и х~ — координаты точки М в системах М и Яэ.
Соответствие между парами точек пространства ~ и векторами пространства Е дается формулами: (С,М) х;е~=Рцх;е, (О,М) хге;=Р,х,.е,', (С, О) с,'е, (О, С) с;ео 2з2 что приводит к следующим соотношениям: «;=сг+ Руг«;', «; =сг'+ Ру«м или в матричном обозначении: х = с+ Ртх*, хе = с*+ Рх. (25) (26) Очевидно, имеют место равенства с+Рте*=О, се+Рс=О. П!.2.
ТЕНЗОРЫ У=йу (У). (27) Пространство Е является трехмерным векторным пространством, и линейный характер Я позволяет утверждать следующее. Тензор второго ранга определяется однозначно, если известны значения, которые принимает Я (У) на трех линейно независимых векторах (т. е. на векторах базиса). Если, в частности, е, обозначает векторы ортонормированного базиса, то тензор полностью определен тремя векторами Г(е))=Тце; (28) — девятью числами Ты, называемыми компонентами тензора в базисе е, (или матрнцей Т, составленной из элементов Т, ).
В самом деле, для произвольного вектора У имеем и (У)=Х(У,е )=)г Т (е,)=Т,Р и,, так что уравнение (27) запишется в следующей форме: У,= Т,Р,. (29) Итак, в ортонормированном базисе тензор Т может быть пред- ставлен либо матрицей Т, либо своими компонентами Т; . С атой точки зрения понятие тензора второго ранга отождествляется с поня- тием матрицы.
Пусть Š†векторн пространство « измерений, аг (1= 1, 2, ..., «)— базис Е. Пусть также Š†векторное пространство измерений, ЬГ()= 1, 2, ...,г«)— базис 1.. Пусть, с другой стороны, Я вЂ линейн отображение Е на Е. Положим й(ад- ч,', ьеэр 1 Ю Существует взаимно однозначное соответствие между отображениями Я и матрицами ь с г«строками и «столбцами; ЕЛ вЂ” матрица отображения 3 а базисах « аг и Ьу пространств Е и ь соответственно. Пусть Г= ~~ угаг — один из злемеи1=1 П!.2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
