Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Полученные выше результаты можно объединить в следующее основное правило элементарного операторного метода. Операторное выражение К(0)), где )т(0) — рациональная дробь от переменной 0 — частное от деления двух многочленов степени р и д соответственно, 1 — функция )'(1) аз пространства й„, равно фуюсции й(1) из пространства 6„+ „„при условии, что т+д— — р ~: — 1. Функция й(1) может бйть получена разложением )т(0) на простые влементы на основе двух следующих формул~ 0 "/ = —,,„при и и О, ~ Е 5м, и < т; (О+а) г) ~, —,), ехр( — аЛ)у(1-Л)йЛ при р)1. Если р=а, т=О и а-предел величины гт(х) при х, стремя- щемся к бесконечности, то функция )г($) испыппивает скачок в каж- дой пючке гь еде 7(г) терпит разрыв.
Величины разрывов обеих функций связаны соотношением (1Й)г —— а (гЛ|)г. (99) ' Зто ограничение можно снять, если ввести пространства В рзспределе. ннй, уавиых нулю слева, ег-кратный интеграл от которых — функция простран. став йэ. Полное н систематическое изложенне операционного исчисления требует знания теории распределений, преобразования Лапласа и произведения сверток; заесь излагаются самые элементарные сведения. Х.3.2. Операторная запись законов поведения. а) Пример модуля релаксации при сдвиге.
Выгода введения операторных обозначений сразу видна, например, из закона поведения (Ч111,83 — 85), который, если обозначить через з,/ и е1 девиаторы пои н зо, может быть записан в виде где и„= Лрт„. Введение скрытых параметров прн применении метода локаль- ного состояния, подобных тем, которые были упомянуты в Ч111.7, сразу приводит к законам поведения типа (101) н (102). Закон поведения может быть представлен в виде з1/(/)=2р,с1/(1)+2~ -Д (т)е,/($ — т)бт, если функция р(г) определяется условиями (103) л р(0)=р„— —,~ Л ехр ( — -~, аи и 41 р тг т. е.
л лЯ=в,— ~, Л тр (1-ехр( — -~), 1 или в другой форме л , п р(/)=1с„+~~~, т ехр( — — ~, 1с„*=1с,— ~ пг . (104) р1 р„~ Сравнивая выражения (103) и (Ч1,37), видим, что р(1)-модуль релаксации прн сдвиге. Сравнение формул (104) и (102) позволяет сформулировать практическое правило определения етого модуля путем разложения р'(Р) на простые злементы. Говорят, что функция р(г) ассоциирована оператору р'(Р). Выше указывалось, что функция р(1)-положительная убывающая функция времени 1. Этим условиям можно удовлетворить, если потребовать, чтобы величины р„, тр и тр были неотрицательными.
969 з, = ~' +~~" л е, (100) 1/ 11 -ь 1/~ и результат вычисления с использованием основного операторного правила совпадает с тем, который следует из формул (ЧП1,88 — 87). Очевидно, что с выражением (100) легче работать, чем е соотношениями главы Ч111. В общем случае можно рассмотреть закон поведения в виде з, =21с'(Р)е1/, (101) где р'(Р) †рациональн дробь операторной переменной Р, которая после разложения на простые элементы запишется в такой форме: л л р'(Р) = р —,~ — ' р.— Х вЂ” ' (102) 1+т,О ' Отметим, что тр — вто время релаксации при сдвиге; р,— мгновенный и р„— длительный модули релаксации.
Заметим, что и, = и (0) = р' ( ~), 1х„= !х ( ~) = р' (0). б) Примеры выражений для других модулей релаксации. Операторные обозначения имеют то преимущество, что они позволяют сразу обобщить на вявкоупругий случай формулы, связывающие различные упругие модули упругой среды. Рассмотрим, например, среду, определяемую законами поведения е = ЗК' (Р), ву = 2р'(Р) е; . (!05) Определим модуль релаксации удлинения при чистом растяже.
нии Е(1) (или модуль релаксации Юнга) как функцию, ассоциированную оператору Е'(Р), выраженному через К' и р' той же формулой, что и в теории упругости (Ч1,33 — 35): !>'+в > (106) Предполагая, что Е' (как н К', р') — рациональная дробь — частное от деления двух полиномов степени и и что для Е' может быть записано выражение, аналогичное выражению (102) для р'. и ч Е'=Ео — ~ ~ =Е +Е ~ ~ > (107) р ~ 1+'с0 р 1 1+т0 получим для Е(!) с учетом формулы (104): ч л Е (1) =Е„+~~ лерехр ~ — = ), Е„=Е,— ~~~ е .
(108) — —,, ° -- ° Р. Операторный закон поведения вида а Е'в расшифровывается следующим образом: о(1) Е(0) з(1)+) — (Л) з(С вЂ” Л)с$Л. (109) Предположим, что Е„, е„и т„неотрицательные величины, с тем чтобы модуль релаксации Е(1) бйл убывающей функцией времени; отметим, что Е, и ń— соответственно мгновенный н длительный модули релаксации удлинения при чистом растяжении. Если п=1.
то равенство (!07) может быть записано в форме, аналогичной (100): Еа0+Е тд' Р ! > > Е (!) = Е„+ (Е, — Е„) ехр ( — — ) . (1 10) т„> Это и есть трекпараметрический закон, в котором т,— время релаксации при удлинении. его в) Функции запаздывания. Так же просто определяются для такой среды функции запаздывания или функции вязкоупругой ползучести.
Положим: М'=(ЗК') ', «"'=(2рв) ', С'=(Е') '. (111) Ассоциированные функции М (1),,/(8) и' С(1) являются функциями запаздывания прн сжатии, при сдвиге и при чистом растяжении. Например, соотношение (101) примет такой вид: е, =«'в(0)э«р (112) Предполагая, что ./'(О) можно разложить на простые элементы / 9«> (0)='( +~ «+» =У- ~ 1»1+О»0 в ! в~! имеем в в ( (1) = у,~~ /»ехр ~ О ) ° (" (в+ ~~„')»' (113) и в развернутом виде е, (1) = у (О) э«»(1)+) — (Л) э«» (1-Л) дЛ. (114) Х.З.З. Чистое растяжение цилиндрического стержня. Рассмотрим снова эту очень простую задачу, изученную в Х.1.4.
Среду на этот раз считаем вязкоупругой, а величину вт — зависящей (возможно) от времени. Очевидно, что формулы овв К ои «'вв овв = пвв авв О> авв=*С'г, е,«звв * — У'г", з«в а> — — звв 0 Х, хвС'Р, Х, — х«У'Р, Х, — хвУ'7 (116) эт! Эта формула обобщает зависимости, указанные ранее в Ч111.7.2 для случая трехпараметрической модели, Для того чтобы функция .«(1) была возрастающей, предположим> что величины >'в 1„, λ— неотрицательны. Параметры ΄— времена запаздывания (или времена ползучестн) при сдвиге; Ув и l„, равные соответственно (2рв) ' и (2р„) ', называются мгйоеенной и длительной аодаовлиеостыо нри сдвиге. Очевидно, аналогичные рассуждения могут быть проведены и для других функций запаздывания М(1) и С(1).
В последующем придется пользоваться функцией запаздывания У(1), ассоциированной У'(О) †операто, соответствующему упругой константе чЕ ', входящей в формулировки законов поведения. С учетом формулы (Ч1,33) имеем простую зависимость У»-Я) = '(С вЂ” М)-,( -С. и] с определяют, с одной стороны, поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесия н граничным условиям, а с другой— поле деформаций и поле перемещений, полученные из данного поля напряжений через ,законы поведения.
Таким образом, формулы '(115) дают решение задачи единственное с точностью до движения тела как абсолютно твердого. Применим эти результаты для различных видов нагрузки Р (1); наиболее важными будут следующие зависимости: о Е'и, е С'о, в которых введены обозначения: о„= о, вав в; и представляет собой равномерно распределенную поверхностную нагрузкуР, приложенную к торцу Х„ а †относительн а-Иеесрнепии ппи постояв. нса скорости; б-анненские Оеенос удлииснИЕ.
напряжении; наклон не каса- а) Испытаяиг при постоянпой скорости телеков н начале координат; наклон е асииптет» Деформации. Предположим, что в опыте от" носительное удлинение е(1) равно нулю при г'<О и пропорционально времени 1 при 1>0, иными словами, в а(. Используя зависимость (109), интегрированием по частям находим, что для положительных значений г .(1)пп ~'.~()~~. Если измерить о(1), можно получить интеграл от модуля Е((); результаты приведены на рис. 15. Если положить о= — , то будем иметь ее Ге о(те) =ее ~ ' Е(л) бд. График функции Е(Г) представляет собой кривую, обращенную выпуклостью вниз, понтону напряжение а(те), соответствующее данной деформации ее, достигнутой при постоянной скорости деформации за время Сю бУДет тем меньшим, чем большим будет интервал времени ге (илн чем меньше будет скорость деформации).
Точно так же можно показать, что соответствующая заданному напряжению ое деформация за время Ге при условии постоянства скорости увеличения нагрузки о оа †) будет тем большей, чем больше отрезок времени ~е. те б) Поспюянная нагрузка, приложенная в гпечение конечного отрезка врелсени. Итак, по предположению, нагрузка о(1) равна нулю везде, кроме интервала 0 <1<1„в течение которого о(г)=ос. Тогда е=о,С(1) при 0<1<(„а при (<ге е ое~ — дХ=оа(С(()-С(1-(е)], су 6' Для трехпараметрического модуля имеем Ез Ев е Е +Еевьта г~7 Е в з, . е, (+втт (Ее — Е„) вте (120) (+вес~» ыси Таким образом, Е, и Е, положительны и, следоваРис.
!7. изменение тангенса сдвига фзз б тельно, 6 представляет сов зависимости от беаразмерной частоты вт, бой угол, содержащийся ме- жду 0 и и/2 (при в 0 и в — оо угол 6 бесконечно мал, т. е. для коротких и длинных волн). График (ц6 представлен на рис. 17, Заключение. Для реализации периодических колебаний (1! 8) в вязкоупругой среде (т, ~ 0) при пренебрежении переходными процессами требуется приложить периодическое возбуждение (!19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
