Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 69
Текст из файла (страница 69)
В самом деле, левую часть можно рассматривать как поток тензора Т через дЮ, а правую — как объемный интеграл от дивергенции этого же тензора. Если применить эту теорему к тензорам фб,, з, «А», то получим классические формулы ': ~ ва~рдо ) ~ягад~рбо, )авпЛАбо=)яго$Або. (90) Если функции <р и ф дважды дифференцируемы в Ю и имеют непрерывные первые производные в замкнутой области Ю+дЮ, то поток вектора фдгабф через поверхность дЮ описывается формулой ) ая фф балт Йп ) я ф,ррл бо+ ) я ф9>, и бэ, вектора А, то придем к известному тождеству (94) представляющему собой, как видно, частный случай формулы Стокса га го(Або= ~ А тбз, (95) которую можно вывести из соотношения (93) для случая, когда Š†многогранн поверхность, такая„ как зто изображено на рис. 3.
Следует иметь в виду, что граница дХ и направление внешней нормали к поверхности Х должны быть взаимно ориентированы по правилу правого винта, т. е. непрерывный контур дХ должен обходиться против часовой стрелки относительно внешней нормали к поверхности. Все приведенные результаты могут быть выведены нз общей теоремы Стокса, которая с нспользованнем внешннх днфференцналов имеет внд (96) где ро — р-мерное, кусочно-днфференцнруемое н ориентированное многообразяе; дРе — соответству>ощнм образом орнентнрованная его граннца; ю †днфференцнальная форма степенн (р — 1), непрерывная на 7~+д$о; бе — ее внешний днфференцнал, который, по предположенвю, определен в любой точке на 7'з. В каждой точке на 7е орнентацня определяегся упорядоченной последовательностью 8, р векторов, непрерывно ~) меняющихся на т'~ такам образом, что тря нз ннх ннкогда не лежат в одной плоскоств.
Орнентацня зЕ д$е определяется такой же последовательностью 8 1 р= 1 векторов н соответствует орнентацнн 9'з, если внешняя нормаль и в точке поверхности д7е, касательной к области $'~, образует с последовательностью Зр д в втой точке упорядоченную последовательность нз р векторов (и, Рнс, З. Иллюстрация форму- Яг Д (котораа обозначена чеРез Ер), имеющУю л Стокса в случае, когд ту же орнентацню, что н Лр, Š†многогранн поверх- Выше говорнлось о том, что в рассматрнва- ность. емом здесь ориентированном пространстве трех нз. порнуха <аз> прааеяеетее ат. ь'ереннй объемный интеграл отфункцнн >Р по объ леаьао к аежкоа трава. царят- ему 1х) н поток вектора А через границу а>к), лявва еаза>твеааехвеззехпва орнентнрованную надлежащим образом, связаны саомеааа азевмао уаечгожаются.
Равенспюм где 1 / 1 ы= б змьебх!Лбх|Л4 ь ~б б емьбх;Лд удб ь), 1 / 1 ы= — е,уаА>бх>дбха ~л>бо= — еыьдхудбха) . Отметнм тождество 1 дх>дбхУЛбха= — еыьере, бхрЛбхеЛдх,. (йу) зез Если положить 1 = й виара )ЛВхь, то из равенства (96) получаем формулу (88), так как нз соотношений (97) н (43) следует, что 1 1 ВЫ= — ЗПЯл Вас Л ВХ7 Л Вла = — З17ааыаерегрлВХрЛ Влд Л Влг = 1 =~е„,рдВ „ЛВхеЛВ,.
Точно так же, если Š— поверхность с краем дЕ н ы=Агйхь то циркуляция вектора А цколь границы дЕ при соответствующей ориентации запишется согласно формуле (96) в виде ав Агйхг=~ВАС 7Вх7ЛВхо (98) С другой стороны, из антнснмметрнн ВхгЛВху н определения (45) вытекает, что 1 1 АЦ 7 ВХУ Л Ы; — Зр17егреА р, е ВХ) Л ВХ; = й а 1) (З яеАр, е) ВХ1 Л ВХЛ Таким образом, правая часть равенства (98) представляет лоток-ротора вектора А (с компонентами е А„,е) через поверхность Е, а если ориентация нормального к Х вектора и соответствует ориентации на границе дХ.
ПРИЛОЖЕНИЕ П ПОНЯТИЕ О ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ И ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЯХ Излагаемые ниже сведения имеют целью собрать воедино некоторые простые результаты, касающиеся выпуклых множеств и функций, используемых в настоящем курсе и, в частности, в главе ЧП. Как видно, выпуклые функции играют немалую роль в механике сплошных сред, так как термодинамический потенциал и диссинативная функция (или заменяющий ее в общем случае псевдопотенциал) обладают свойствами «выпуклости». Вначале напомним некоторые общие определения и свойства и затем рассмотрим функции одной действительной переменной, после чего перейдем к выпуклым функциям в конечномерном векторном пространстве с тем, чтобы выявить весьма важные свойства непрерывности, сепарабельности (отделимости) и сопряженности.
Приводимые сведения не претендуют на полноту и строгость, их основная задача †объясни и показать основные свойства рассматриваемых объектов. пп.1. ИРОстейшие ОпРеделеиия и сВОЙстВА ПП.1, 1. Выпуклые множества. Напомним прежде всего определение выпуклого множества векторного пространства. Определение 1. Мнозсество С векторного пространства Е называется вьтуклым, если все элементы АХ+ИХ', где Х и Х' — элементы Е, принадлежаи(ие С, 1, и р„— положительные числа, для копшрых Х+)«1, также принадлежат множеству С. Такое определение можно интерпретировать как определение выпуклого множества в аффинном пространстве б», которому соответствует векторное пространство Е. Выбрав начало координат О в ау, точке Х в 8 ставим в соответствие вектор Х 'в Е, который, таким образом, будет определен двумя точками (О, Х). Выпуклое множество С в 8 содержит все точки сегмента ХХ', концы которых находятся в С или, в более общем случае, все центры тяжести р точек Х"', ..., Х'э1, содержащихся в С, массы которых либо положительны, либо равны нулю.
Иными словами, С представляет собой наименьший многогранник„содержащий данные р точек и называемый выпуклой оболочкой данного множества точек. Св ой с тв о 1. Пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством. Свойство 2. Проекция выпуклого множества на аффинное многообразие из б» является выпуклым множеством. Ограничимся случаем, когда Е и 8 в конечномерные пространства, например п-мерные, которые обозначим Е„ и 8„. Предположим также, если не будет оговорено противное, что С вЂ” п-мерное, т. е.
что оно не содержится в любом аффинном многообразии из 8„, размерность которого меньше и. Назовем гипер- 316 плоскостью Н из 8„всякое (и — 1)-мерное аффинное многообразие из 8„. Уравнение гийерплоскости можно записать в виде Ь(Х) =О, где ь(х) р,х,+... +р„х„— у. Здесь Х„Х„..., Х,— компоненты Х в базисе пространства Е„; р„р„..., р„— действительные числа, определяющие вектор р прострайства Е„', сопряженного пространству Е„, называемый наклоном аффинной функции; о — действительное число. Для упрощения терминологии будем считать, что базис-ортонормированный и что в пространстве Е„ введена обычная норма 1 Х~: 1Х(*=Х*,+Х,*+...
+Х*„. В этом случае говорят, что вектор р нормален к гиперплоскости Н. Множества Н+ и Н, определяемые неравенствами Ь (Х) ) О, Ь(Х)(0, представляют собой два полупространства из 8„, определяемые гиперплоскостью Н. Определение 2. Гиперплоскость Н называется опорной гиперплоскостью выпуклого мнозсества С, если С расположено полностью в одном из полупространств, определяемых Н, причем Н имеет по меныией мере одну общую точку с замыканием С мноясества С. Точки, принадлежащие НОС (которое является непустым замкнутым подмножеством границы С), являются точками контакта С с опорной гиперплоскостью Н. Не уменьшая общности, можно предположить, что С всегда лежит в полупространстве Н+ (Ь)0), определяемом опорной гиперплоскостью Н (заметим, что числа р„р„..., р„, д определены с точностью до постоянного множителя).
Свой ство 3. Пусть а(Х') множество векторов р из Е', задающих наклоны опорных гиперплоскостей пространства С в точке Х' границы. Множество а (Х') — выпуклое. Пусть, например, р и р' — два элемента из множества а(Х'). По определению, им можно поставить в соответствие два числа д и д', для которых в любой точке С выполнены неравенства Ь(Х)=р-х-д)0, Ь'(Х)=р' Х-д',3:О, и что Ь(Хь)=Ь'(Х~) О. Если Ь и р — два положительных числа, сумма которых равна 1, то выражение )Ь+рЬ'=рр+рр') Х вЂ” Ьо — ио' в любой точке С вЂ” неотрицательная линейная форма, равная нулю в Х'. Эта форма определяет опорную гиперплоскость множества С в Х'. Таким образом, вектор Хр+рр' принадлежит множеству а (Х'). П1!.1.2.
Выпуклые функции. Напомним теперь определение выпуклой функции ( (Х) со скалярными значениями, определенной и 311 извечной в некоторой области пространства Е, называемой «бош Д)в е. Условимся придавать функции у значение + оо в любой точке Х из Е, где у не определена и ие конечна. Это избавит от необходимости всякий раз уточнять область определения. Определение 3. Функция ((Х) со скалярными значениями, определенная на Е, или ) (Х), определенная на еу, называется выпуклой в том и только в том случае, когда при любых Х и Х' выполняется неравенство ~ (ЛХ+РХ') < Л~ (Х)+РФ (Х'), (1) где Л и р — два действительных положительных числа, для которых Л+р=1 В случае, когда неравенство (1) всегда остается строгим, функция ~ (Х) строго выпукла.
Функция 1(Х) называется вогнутой, если — у (Х) — выпуклая функция. Свойство 4. Пусть г(Х) — выпуклая функция. Если Х"', ..., Хоч принадлежат бошД) и Лы Л„..., Л,— действительные неотрицательные числа, не все одновременно равные нулю, тогда УЛ,Х< +Л,Х«>+...+Л,Х<Ю ~ Л,)(Хп»+...+Л,У(Х~» 1( ' „,+,,+ "+Л ~~ +„+' +, . (й) Свойство 5. Если у(Х) — выпуклая функция, то множество бош (1) — выпуклое множество. Предположим также, что Е (или ао) — и-мерное пространство и что область бош Ц) также п-мерна. Обозначим через Х„Х„..., Х„ компоненты вектора Х в пространстве Е„и рассмотрим (и+ 1)-мерное пространство еУ„+, с координатами Х„Х,...., Х„, Х„+, (или Х, х„+,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
