Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 81
Текст из файла (страница 81)
ной волны (2У Найти двпженпе свстемы, зная, что в начальный момеят 1=0 поле скоростей ие(х)=и(х, 0) таково: ие х. Для пэображення траекторий раэлпчных частно используйте полуплоскость. (х, 1) (Г > 0), обозначаемую уе. Показать, что решение может быть легко найдено н в более общем случае, когда ие(х) — некоторая непрерывная невоэрастающая функция. Показать, что существует только одно решение и(х, 1), непрерывное дая любого Г > О, нагорав прп 1 0 прпннмаат начальные значения ие(х) О, еслв х(0, н ие(х) 1, если х> О. (4) Такое решение в плоскости уэ представлено на рнс.
2, на котором пзображены траекторпп частяц [называемые также характернстнкамн уравнепня (2)). найти в явном виде решение — функцию и(х, 1). Убедятесь, что первые производные втой функция кусочно-непрерывны. 3. Рассмотрнм прямолинейное двпжеппе (как н в задаче 4), удовлетворяющее закону сохраненпя б гь ! — 3 и(х, 1) бх- — (иэ(Ь, 1) — ив(а, 1)) О, буде ' 2 (1) где область Я) — интервал (а, Ц на ося х, которая прп движения меняется (прн изменении 1).
Нвйтп уравнение в частных пропзводных, которому подчнпяется это двнженне н соответствующее уравненне нераэрывностн. Показать, что скорость ударной волны ы равна среднему арпфметнческому скоростей перед п зз фронтом ударной волны. 363 Показать, что движеняе, описываемое уравненяями и(х, 1)=1 прн х < — и и(х, 1)=0 при х> —, С 2 2' удовлетворяет условию (1).
Указание. Обратить внимание на то, что из (1) действительно вытекает общее уравнение движения, если,4=и, а= — из?2, А=О, где и — скорость. 6. Рассмотрим уравнение в частных производных — + — (С (и)]=0, ди д д1 дх (!) где и (х, 1) — некоторая функцяя действительных переменных х и 1. Это уравне. ние обобщает уравнение (2) задачи 4. Функция С (и) предполагается действитель- ной функцией действительной переменной, дважды дифференцируемой к строго выпуклой (/" (и) > 0). Показать, что если ~р (и) — функция от и, то всякая функция и (х, 1), непрерывно дифференцируемая в некоторой области б н определяемая неявно уравнением х — /' (и) 1= ф (и), удовлетворяет уравнению (1) в области б.
Показать, что, задав значение и.,(х) поля скоростей в момент 1=0, можно определить в области л. (1 > 0) решение, которое представятся парзметрнчески в виде (9, =3+]'( ($))1 тогда и только тогда, когда ие(х) — непрерывная невозрастающая функция от к. Найти такое решение уравнеивя (1), непрерывное при 1 > О, для которого ие(х)= — 1 при х < 0 и ие(х) +1 прй «> О. Следует ввести фуйкцню и=я(т), обратную функцян э=С' (и), которая, по предположению, возрастающая. 7. Пусть среда движется так, как это описано в задаче 4, но в начальный моиент 1=0 поле скоростей ие (х) задается теперь в виде ие= — 1Ь л.
Показать, что характеристики определяемого таким образом решения (прямых на полуплоскости а. (х, 1 > 0), проходящих через ось 1=0, вдоль которых и сохраняет постоянное значение] имеют огибающую Г, определяемую параметрическим представлением к= — зЬ $сЬ 3, 1=ойтуз. Начертить на полуплоскостя Я' кривую Г и касательные к ней характеристики. Проследить, в частности, движение частиц (найти их положения и скорости), которые в начальный момент были в сегменте а > х < Ь(а и Ь вЂ д заданных отрицательных числа). На основании этого показать, что полученное таким путем решение и(х, 1) приемлемо только для значений 0 < 1 < 1.
Что можно сказать о движении среды для значений 1 > 1? 8. Показать, что если в стационарном движении ]поле скоростей этого движения обозначим О(х)] существует поверхность, на которой (С=О, то тогда в каждой точке втой поверхности б!т (С равна производной по нормали от нормальвой составляющей скорости К го!(С вЂ” вектор, касательный к втой поверхности, который можно выразить через производную по нормали от скорости (С. 9. Рассмотрим суэцнонарное течение жцнкостн в трубе достаточно малого сечения, такого, чтобы можно было предполагать, что в любом прямом сечении скорость У перпендикулярна плоскости сечения, а модуль схоростн У и плот.
ность р постоянны. Показать, что произведение рУА, в котором А †площа сеченая, является константой. 1О. Найти функцию тока однородного течения, скорость которого (С параллельна оси Ох,: а) если течение †плоскопараллельн в плоскости Ох,хэ; б) если течение †осесимметричн с осью Окг. 11. Найти функцию тока плоского течения около круга, рассмотренного в эатаче 1, 1. 364 12. Рассмотрим осесимметричное движение некоторой несжимаемой среды (Ох — ось вращения, Оу — полуось, перпендикулярная Ох).
Обозначим через Чг (х, у) фуиицию тока данного течения. Положим Ч.'(х, у)=Ч" (г, 6), где г и 6 определя- ютси нз соотношений: х=гсоз6, у гзпз6. Дать интерпретацию пространствен- ных координат г н 6. Найти простое определение вектора скорости через функ- цию Ч' (г, 6). 13. Если в каждой точке М, пространства вектор скоростя течения несжи- маемой жидкости параллелен ОМ, а скорость течения зависит только от рас- стояния г= (ОМ(, то в точке О имеется стационарный источняк несжимаемой жидкости.
Показать, что течение будет осесимметричным относительно любой оси, проходящей через О. Выбрать одну нз таких осей Ох и, положив (Ох, ОМ) О, определить в каждой точке пространства вектор скорости и найти такую функ- цию тока, которая обращалась бы в нуль на Ох. 14. Поле скоростей некоторой стационарно движущейся среды задается выра- жениями Уз=аулу, где ау — злементы заданной числовой матрицы. Найти усло- вия несжимаемостн среды. Изучить поаедеияе линий тока, когда ам=1, аз,= — Х, азз="ь — 1, а остальные аУ=0. Рассмотреть частный случай, когда Х 1/2.
1б. Пусть в некоторой сплошной среде распространяется волна, которая в каждый момент времени 1 может быть описана в зйлеровых переменйых урав- нениямн вида г'(хы хз, хз, 1)=0. Показать, что нормальная составляющая ско- рости волны ш= — ~-) йгаб г ) -з. (Положить Ьг/И=О н применить (15)). дг бг 16. Интенсивность освещенности частицы жидкой движущейся среды в момент 1 равна (=Аг-зехр( — Ут), где г — расстояние от начала координат, гз=хг,-(- +4+4, а А и г — константы. Зная выражение в зйлеровых переменных для поля скоростей У (хм хз, х, 1), рассчитать скорость язменения освещенности для частицы, которая в момент 1 находится в точке с координатами «ы хз, «з.
Опре- делить частицы, освещенность которых постоянна. 17. Рассмотрим плоскопзраллельное течение, линии тока которого ф= сопз1 задаются параметрическн как функции некоторого параметра Чс х=~р+евсозф, у=ф+евз1пф, где ф меняется в пределах от — еэ до + ее, ф — от — и до +и. Что представ- ляют собой линии тока ф=0, ф=п, ф= — п) Исследовать вид линий тока, заключенных между — я и + и. Зная, что среда весжимаема, определить компо- ненты вектора скорости как функции ф и ф.
Дать физическую интерпретацию течения. 18. Доказать справедливость формулы б г — я го1 Убп= ( л го1 убо, М 3 х,) х в которой У вЂ” скорость; 7 — ускорение; Х вЂ” некоторая движущаясв поверхность. 19. Доказать справедливость формулы — )в~ бе= ) ~( — яг+) (Уь «яг — Уд гяу) ~ Йо, йг ~ х =3х~бт где ) — некоторая скалярная функция, определенная иа движущейся поверхности 2. 20. Пусть даны функции а(хм хз, хз)=сопз1 и й(хь хз, хз)=сопз1; а н Ь— другая пара поверхностей тока, для которых (как зто сделано в выражении (70)] можно написать в случае стационарного движения рй=йгаб и л йгаб ().
Показать, что сс и () являются в действительности функциями а и Ь, а функцио- нальный определитель д(а, ())/д (а, Ь) =1. ГЛАВА ГП 1. Пусть Тд и Т,— векторы напряжений в точке М на площадках с нормалями пд и лэ. Как направлен вектор напряжений иа площадке, лежащей в плоскости векторов Тд н Тдр 2. Показать, что в любой точке сумма квадраюв модулей трех векторов напряжений на трех взаимно ортогональных площадках имеет постоянное значение, не зависящее от выбора площадок. 3. Пусть и н о — два единичных вектора н Х вЂ” вещественное число. Исследовать тенэор напряжений, ваданный в некоторой точке свояки компонентамн оО=Х(идоу+иусд).
Найти главные направления и главные нормальные напряжения (вычисления упрощаются при подходящем выборе осей), 4. Рассмотрим в некоторой среде поле одноосных тензоров напряжений, осн которых параллельны фиксированному направлению А Показать, что если объемные силы у равны нулю, то градиент главною нормального напряжения необходимо ортогонален А б. Изучать тенэор напряжений с компонентами оду=)дагау+рбдьо где ад— компоненты заданного вектора аь Показать, что все тензоры напряжений, квадрнкн напряжений которых являются поверхностями врмценнв, получаются прн произвольных )д, р, и единичном (произвольном) векторе а. 6. Показать, что тензор напряжений оН является одноосным тогда и только тогда, когда оддоэд =аддодз оддодз = оддодз, оюодз о,заза. 7.
Выписать два соотношения, которые выполняются ддя компонентов оН тенворз напряжений, если это тензор напряжений простого сдвиге. Исследовать случай, когда все оО=О, кроме одэ иозз, определить главные направления н главные нормальные йапряження. 8. Показать, что квадрикн напряжений являются поверхностями вращения тогда и только тогда, когда оддодэ — оддодз о,эощ — ад,одз оааодз — одэпзэ одз одз Показать, что эа направляющие косинусы ося вращения можно принять (озд)-д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
