Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Найти достаточные условия того, что приведенный вите ал существует и что, следовательно, результат справедлив. Р ели обозначить через ЯУ дополнение Ю в системе 8, то можно записать, дат ~ йг(ч?, М)бам — — ~ бом ) йг(ч), М) бцз. ГЛАВА !Ч !. Поле скоростей У(хт, хз, ха) стационарного движения симметрично атно. сительно плоскости хт О. Уточнить свойства четности компонентов паля У и компонентов 1)у тензорз скоростей деформаций, 2.
Поле скоростей движущейся сплошной среды описывается формулами: У, = — А (я~7+ х,хзз) ехр ( — М), Уз = А (хгхз+ хз) ехр ( — М), Уа = О. Найти поле ускорений, поле тензоров скоростей деформаций и угловой скорости. 8. Для некоторой стационарно движущейся среды поле скоростей задается выражениями: У,= — у(г) х„У,=у(г) х,, Уз й (г), (гз = хг+ «1). Показать, что зта среда несжимаемая. Найти липни тока.
(Это винтовые ливии на круговых цилиндрах.) Определить ускорение у. угловую скорость ы и тензор скоростей деформаций !?. Изучить частный случай, когда й(г)=0, з д(г)=иг при О < г < а и у (г) =мозга при г > а. (Вычисления упрощаются, если заметить, что зто поле скоростей инвариантно относительно поворотов вокруг оси Оха.) !3 ю гетз 4. Стационарное движение задается полем скоростей У~ /(хз) — хзй(г), Уз=хая(г), Уз=О, (гз=х~+хД.
Найти тензор скоростей деформаций и его инварианты, а также вектор угловой скорости. Предзожить интерпретацию движения, сравнив его с движением, рас- смотренным в задаче 3. 3. Движение описывается формулами Уг=йа?йухл где аг и Ьг — компоненты двух заданныз ортогональных векторов а и Ь. Найти линии тока. Что можно сказать о движении частиц, находящихся в некоторый момент времени на плоско- сти, перпендикулярной ректору Ь? Найти главные направления и собственные значения тензора скоростей деформаций и вектор угловой скорости. 9. Рассмотрим движение сплошной среды, описываемое по способу Лагранжа: 1 1 хг — — — (а~+аз) ехр (1)+ — (аз — аз) ехр ( — 1), 2 2 1 1 хэ= — (аз+аз) ехр (Г) — (а, — аз) ехр ( — 1), 2 2 х,=аз.
В исходной конфигУРацни сРеда занимала область аз ) О, — аэ < аг < аз. Найти линии тока, поле скоростей н поле ускорений. В каждой точке определить тензор скоростей деформаций и его главные направления. 7. Пусть Р(м) — вектор скорости чистой деформации в направлении а; и— еэнничный вектор, который введен в 1'ч'.2.2. Полагаем 1/ч а Р(м), Р(а)=г„м+Ут. где ӄ— скорость относительного удзинення в направлении и, (гг — скорость сдвига в направлении и.
Изучить тенэор скоростей деформаций с помощью кру. гов Мора, рассмотренных в 1П.2.7 прн исследованян тензорз напряжений. Определить и характеризовать направления а, дзя которых скорость сдвига макси. мальна по абсолютной величине. 6, Рассмотрим плоскопаразлельиое движение (Уз=0), для которого в точхе О осн Охг н Охз являются главными направлениями тензора Р.
Обозначим через Р, и Рз соответствующие собственные значения (Рд > Рз). Пусть 9 †уг, который составляет с осью х, некоторое направление и. Определять скорости относительного удлинения рз вдоль этого направления как функции Р„ Рз и <р, а также скорость сдвига уг для этого направления (т. е.
проекцию скорости сдвига на ось, получаемую из и поворотом на угол п72). Геометрическое место точек )т' с координатами гч и )гг при изменении ф в плоскости указанных ортонормированных осей Охг н Охз представляет собой круг. Показать, что на этом круге существует точка 1, для которой отрезок !Ф всегда параллелен единичному вектору и. 9. Сплошная среда движется плоскопараллельно и стационарно (Уг н Уев функции хз н хз, Уз О). Показать, что вектЪр угловой скорости параллелен оси хэ, т.е. в=в(хм хз) ээ.
Найти производные от е по ненулевым компонентам тенэора скоростефеФормаций Р,ь Ргм Рю. Проверить то дество Рзц ю+Рю, эг — 2Ры, за=0. (1) Доказать обратное: что три функции Р„э(хм хз), где а=1, 2, можно рассматривать как ненулевые компоненты тензора скоростей деформаций некоторого плоскопараллельиого движения, если зти три функции удовлетворяют тождеству (1). Как в этом случае находятся м, Уг и Уз? Что можно сказать о функциях Уг(хм хз) и Уз(хь хз), если РУ вЂ” постоянные величины, однородные полиномы степени ю относительно хг и хз? Провести полностью вычисления прн щ=1. !О. Какому уравнению в частных производных должна удовлетворять функция А(хм хз) для того, чтобы тензор РУ=Ь, ?д,у был тензором скоростей деформаций движущейся сплошной среды.
Найти главные направления и собственные значения этого тензора !1. Все компоненты поля тензоров скоростей деформаций некоторой движущейся среды равны нулю, кроме компонентов Р„ и Рэз, причем эти последние 370 зависят только от хг и хз. Найти наиболее общую форму соответствующего поля скоростей. Убедиться в том, что обе данные функции от хг и х, удовлетворяют найденному уравнению. Рассмотреть одно из таких полей, для которого (/т н (/з равны нулю на оси хз, предполагая двнжение стационарным.
Показать, что линии тока опоясы- вают поверхность круговых цилиндров с осью Охз. Показать, что окончательный знд уравнений линий тока и временной закон движения вдоль траекторий получзегся в форме двух квадратур. 12. Пусть дано стационарное плоскопараллельное течение, определяемое через ункцию ~р(хз, х,) по формуле (/=угад ф, где ф †потенци скоростей течения.
оказать, что в каждой точке вектор угловой скорости равен нулю (зто позво- ляет называть движение безвихревым). Найти поле тензоров скоростей деформаций и их элементарные инварианты. 13. Условия н обозначения такие же, как н в предыдущей задаче. Какому условию должна удовлетворять функция ф в случае несжимаемой среды7 Пока- зать, что в этом случае кинетическая энергия области Щ имеющей форму ци- линдра с высотой, равной единице, и осью, параллельной оси хз, прямое сечение которого в плоскости хз 0 ограничено замкнутой кривой Ь, равна К= — и — дз, рР дф =2 Зэ дл где р — плотность среды, а др/дя — производная по внешней нормали от функции ф Уточнить направление, в котором следует обходить кривую Ь. Распространить результат на случай беввихревого стационарного трехмерного движения несжимаемой среды.
14. Пусть дано, как и в задаче 12, стационарное и безвихревое плоскопарал- лельное течение несжимаемой среды. Обозначим через ф(хы хз) и Ч'(х„х,) соот- ветственно потенциал скоростей и функцию тока (каждая иэ этих функций опре- делена с точностью до аддитивной постоянной). Показать, что в этом случае 0 йтадЧз й к йгад'Р, где й — единичный вектор на оси хз. Вывести отсюда соотношения между частнымн пронзводнымн первого порядка.
от функций ф(хы хз) и '.р(хз. «г) н показать существование в окрестности каждой тонки некоторой функции /(г) одной комп. лексной переменной г хг+1хз, для которой /(г) ф+РУ. принято говорить, что /(г) — комплексный потенциал течения. Показать, что функция (/г — 1(/з равна производной от / (г). Функцию ь называют хомялехсной схоросгюю движения. Полученные результаты применить к следующим случаям: /(г)=уег, /(г)=рее-'ог, /(г)= — !ойг, 0 2н /(г) = — — !Ояг, /(г)= —, 1Г К 2л ' 2нг ' (1) где Уз, а, О, Г, К вЂ” некоторые положительные константы. В каждом случае найти линии тока. Принято говорить, что (Цг и (!)з определяют равномерное движение, (1)з — источник в начале координат с дебитом Р, (!)е — одиночный вихрь с цирку- ляцией в начале координат(приведенная интерпретация 0 н Г будет обоснована); функция (1)е определяет диполь в начале координат с осью Охг и моментом К.
!5. Пусть задано стационарное безвихревое осеснмметричное течение некото- рой несжимаемой среды. Обозначим через ~р (х, у) н Чг (х, у) соответственно потен- циал скоростей н функцию тока, причем переменные х и у имеют тот же смысл, что и в 11.4.Б (х — расстояние по оси, у — радиус). Показать, что а (/=асад ~р = — к асад 'Р.
у Построить систему уравнений, решениями которой являются частные произ- водные от ~р(х, у) н Чг(х, у), и уравнения в частных производных второго по- рядка о решениями соответственно ф(х, у) и Ч'(х, у). Найти Ч'(х, у) при ~р=ре и интерпретировать полученный результат. 13е 37! 18. Условия такие же, как н в предыдущей задаче. Полагаем х=гсоз В, д= эШВ. Показать, что г и  — две пространственные сферические координаты, если ось х взята за полярную. Выразить через эти переменные потенциал скоростей н функцию тока ~р(г, В), Чг (г, В). Найти систему уравнений, решения которой— частные производные от этих функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
