Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Уточним обозначения (рис. 4). Через Лг обозначим единичный вектор, нормальный к Х и направленный внутрь Ю„а (1 (Р)) будет означать скачок величины 1 при пересечении Е в точке Р в направлении вектора гт' или, что то же, разность)(Р+) — 1(Р ), где Р+ и Р— соответственно предел точек со стороны Ю, и со стороны Ю,. Через У/(Р, г) обозначим скорость точки Р и будем считать, что точка остается на поверхности разрыва Е (которую, впрочем, можно интерпретировать как волну). В дальнейшем мы увидим, что в уравнениях фигурирует лишь одна нормальная составляющая скорости яг= 1т.7т точек поверхности Е. После такого уточнения заметим, что ) ~Сбп= ) ~ Сбо+ ~ ~ Сс(о.
° Эти условия могут быть ослаблены: вполне достаточно, чтобы частные пронзволиыа по пространственным переменным существовалн и были интегрируены в «9. ° ' Можно залать в области Ю поле скоростей Иг, непрерывно лнфференця- руеыое, у коюрого пограничные на дЮ значения ннели бы нормальную составляющую, равную иь 'чь Когда о функция говорят, что онв непрерывно лифференцнруема в эаиыкавин области Ю, то зто означает, чю функция со своими первыми пронзвохнынн непрерывна в Ю+дЮ. Таким образом, приходим к выводу, что а течением времени собственное движение-Ю, и Ю, определяется перемещением границ.
Имеют место равенства дЮ, 5,+Х, дЮ,=З;+Х. Так как Ю изучается в движении, то двйжение систем 3, и 8,— зто движение среды (поле скоросгей О). Движение поверхности Х задается полем ТУ, как зто было показано выше. 6о> уа Если обозначить через — и — операции дифференцирования 6Ф 6Ф по времени собственных движений Юсо и Ю<", то изучаемая величина может быть записана в виде — ~ Сдо= — ~ С<Ь+3-~ Сдо, где каждое нз слагаемых в правой части можно переписать, применяя формулу (16): р.~ Сбо=~ 6 до+~ Со ибо+~ С(Р,1)шип, (21) Сбо= ') 6, до+) С4' пцо — ') С(Р+ 1)або; (22) знак минус в последнем выражении связан с тем, что Ж является единичным нормальным вектором на цоверхности Е, внешним по отношению к Ю,.
Можно теперь написать —,~ Сбо=~ —,бо+~ СП пбо — ~ (С)шбо. (23) -37и ~ С до ~ ( 37.+б(т (С0)~ до — ~~С (Р, 1) У(Р, 1) №Ь, -37 ~ С до= ~ (у+ бЬ (С~)))ба+~ С(Р+, 1) У (Р+ 1) №1о. Для упрощения записи положим о У й(, тогда — ~ Сбо ~ (-3)-+б)т(СС)~до+) (Со)Ы. (24) Теперь можно сформулировать теорему. Теорема 3. Если объем Ю включает поверхность разрыва Е, то формулы (7) должны быть заменены на (24) и (23), в которых в н и обозначают соответственно нормальную к Х составляющую скорости некоторой точки на Е и нормальную составляющую скорости среды относительно Х. Обратим внимание на то, что добавочный член в (23) не зависит от поля П.
Отсюда сразу же следует, что уравнение (19) верно и для случая, когда область Ю имеет поверхности разрывов. (Нормальную составляющую скорости поверхности разрыва обозначим через в, чтобы не путать. ее со скоростью )у, используемой в оп- Если использовать относительную скорость в соответствии с определением (17), то выражения (21) и (22) можно переписать в виде ределении оператора — и применении формул (23) при вычислении б 6« производных —, и б/6« в соотношении (23)). 4 Имеет место теорема. Теорема 4. Уравнение (19), связывающее дифференцирование по времени полей скоростей Р и 1У, остается верным и в случае, когда область Ю включает поверхность разрыва непрерывности.
И. и. ОСНОВНАЯ ЛЕММА ФИЗИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД Вывод, к которому придем в настоящем параграфе, будет часто использоваться в дальнейшем, и имеет смысл сформулировать его более четко. Но сначала дадим определение. Определение. Семейство 1Г открытых мноясеств Р некоторой обласяш Ю называется илоп~ным в Ю, если для любой точки М внутри Ю и для любой окрестности У втой точки, существует яо меньшей мере одно множество Р иэ семейства, расположенное внутри У.
Пример. Если Ю вЂ” иекоторзя трехмерная облзсть, то множество всех шаров внутри Ю является плотным семейством в облзстн Ю. Тзк же обстоит делон для всех кубиков, грани которых параллельны координзтным осям. Определение применимо также и к случаю, когда Ю вЂ” поверхность нлн отрезок кривой линни. В послеянем случае, есле дуга Ю зздзстся кряволянейной збсцяссой з (а < з < Ь), то множество криволниейных отрезков з«< з < зз является плотным семейством йг в области Ю, если только а < з, < з, < Ь н з«я з,— рзцноизльные числа. Во всех зтих случаях совокупность всех открытых множеств из Ю составляет семейство йг, плотное в Ю.
Теперь можно сформулировать основную лемму. Лемма. Пусть «р(М) — некоторая функция, определенная и непрерывная в области Ю, а семейство 3Г является плотным в Ю. Если для любого Р из зг" интеграл от «р(М) по области Р равен нулю, то функция «р(М) тождественно равна нулю в Ю. Здесь под интегралом следует понимать объемный, поверхностный нли, наконец, криволинейный интеграл в зависимости оттого, является Ю обьемом, поверхностью илн отрезком кривой линии. Для каждого из этих случаев основная, гипотеза леммы формулируется следующим образом: фйоОз«рфйаО~з«рфбз~0 (25) Доказательство очень просто. Предполо- жим, что Ю вЂ” трехмерная область.
Если в д~йр некоторой точке М, внутри Ю функция «р(Мз) отлична от нуля («р (М,) ) О), то в силу непрерывности ф можно найти для М, окресту(ьгз) ность У, такую, что «р(М) в У будет боль- ше, чем з/з «р(М,). Пусть теперь Р— неко- О торое множество из семейства у', располо- женное внутри У (рис. В). Интеграл от «р Рис. б по области Р ограничен снизу строго поло- 4$ жительным числом '7, щ(М,)чоЦО), где чо1(Р) — объем У. Это, однако, противоречит гипотезе (25). Такие же рассуждения можно применить и к случаю поверхности или отрезка кривой. Естественно, вывод не изменится, если у — некоторая вектор- функция, непрерывная в О. В этом случае достаточно применить лемму к компонентам вектор-функции по осям координат.
н.з. Овшие следствия 3АкОЙА сОхРАнения Итак, будем считать, что закон сохранения (1) справедлив в любой области Ю, лежащей внутри изучаемой системы 5, и сделаем из этого некоторые выводы. Если не будет оговорено обратное, будем считать, что уравнение (1) применимо ко всем областям Ю, лежащим в тех частях пространства, где 0(х, 1), 4(х, 1), А(х,1) непрерывно днфференцируемы. Предположим также, что а(х, 1, л)— некоторая функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргументам. Случай, когда эти функции кусочно-непрерывно дифференцнруемы, рассмотрен в 11,ЗА.
11.3.1. Закон поверхностных взаимодействий. Теорема 1. Величина а является нечетной функцией аргумента л, иначе говоря а(х,(, л)*=а(х,г, — л), (26) Будем рассуждать, фиксируя момент времени 8. Пусть Р н М— соответственно точка и выходящий из нее луч, для которых необходимо доказать соотношение (26). Рассмотрим плоскость П, проходящую через точку Р перпендикулярно М, н область Ю„содержащую Р и образующую при пересечении с плоскостью П поверхность Х„на которой все величины непрерывно дифференпируемы. Пусть, йаконец, Ю-область внутри Ю„при пересечении с которой плоскость П дает поверхность Х, содержащуюся в Х,. Плоскость П делит Ю на части Ю, и Ю,. Употребим те же обозначения, что в П.1.5 и на рис.
4. Запишем соотношение (1) последовательно в Ю„Ю, и Ю, помня, что — М вЂ” единичный вектор нормали, направленный вне Ю, в некоторой точке Х. Получаем: А, бо+ ) а,(л) до+ ') а, (М) бп ) Агино, А, до+ ~ а, (л) по+ ) а, ( — М) бп ') А,до, ,— ') А~ бо+ ) а~ (л) бп ') А~бо. Складывая первые два равенства и вычитая из результата третье, получаем (а,(М)+а,( — М)~ по=О. (27) По построению, поверхности У, вместе взятые, составляют некоторое плотное семейство, входящее в Х„и, по предположению, подынтегральное выражение в фигурной скобке з (27)-непрерывная в Е, функция.
Согласно основной лемме эта величина тсжде- ~зуагбо = ~зуаг,п~ до. (29) Применяя теперь теорему Гаусса — Остроградского, можно написать )д3ассгпп )уапгх.або, и с учетом (7) представить уравнение (1) в виде Иоаг ,уй)-+(610~),г+аг~,г — Аг~ бо=О. (30) Это равенство справедливо для всех параллелепипедов У, содержащихся в жга н образующих в этой абласти плотное семейство, причем выпажение в фигурных скобках есть функция, непрерывная в Ю„. Основная лемма позволяет теперь сформулировать следующую теорему.
46 дз ственно равна нулю в Еа и, в частности, в точке Р. Таким образом, теорема доказана. физический смысл полученного ре- 1'яви-Ф- зультата станет яснее, когда в двух последующих главах мы уточним природу величин, входящих в закон .со- '1Ъ Я1. хранения. Здесь же заметим, что сделанный вывод и доказательство полностью идентичны выводу и доказательству теоремы действия н противодействия из общей механики.
1 П.3.2, Ассоциированное уравнение Рас. 6. в частных производных. Введем сле- дующие обозначения: пусть е„е„еа— Зйа осла '1 1 ЕДИНИЧНЫЕ ВЕКтсрЫ баэнеа дЕКартОВОй 1ва ваввввввв гпаввк п, ва пока- системы координат х, тогда авва) р аг(х, г', и )=аг~(х, г). (28) Пока будем считать, что зто всего лишь обозначение: величины аг~ представляют девять функций, зависящих от выбранной декартовой системы координат, и пока нензмстно, представляет матрица, составленная из агу, теизор или нет в данной системе координат.
Выпишем для фиксированного момента времени 1 закон сохранения (1) применительно к лежащеау внутри Юо прямоугольному параллелепипеду У», ребра которого параллельны осям координат. Напомним, что внутри области йй„принадлежащей системе 8, изучаемые функции считаются непрерывно дифференцнруемыми. Единичный вектор нормали а, направленный вне Уа, в любой точке на гранях (кроме ребер) представляет собой один из трех векторов ~е„', ~п„~е„и можно легко проверить (рис. 6) с учетом условия (28), что Теорема 2. Функции би А, и а,~ удовлетворяют во всех точках системы 5, гда они имеют непрерывные производные, системе уравнений в частных производных ф+(Л,и,+ам),,- Ар дА (31) Система (31) (1, 1 1, 2, 3) — представляет собой систему уравнений в частных производных, соответствующую закону сохранения (1). Обратим внимание на то, что левая часть равенства есть сумма частных производных по переменным Эйлера, в то время как правая часть считается известной (в частности, она равна нулю, если заданная функция А, в свою очередь равна нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
