Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Говорят, что поле скоростей и, удовлетворяющее уравнениям (4!) или (42), в некоторый заданный момент времени 1 для любой пары точек (М и Ц) является полем торсора скоростей «й). Вектор е представляет собой вектор мгновенной угловой скорости в момент 1, оператор Я задает антисимметричный 'тензор мгновенной угловой скорости. Этот тензор в системе Я представлен матрицей мгновенной угловой скорости П. В некоторый фиксированный момент поле скоростей задается вектором мгновенной угловой скорости и вектором скорости некоторой точки 41 абсолютно твердого тела.
Пара ю, и! составляет элементы приведения в 1е торсора скоростей «6). Если в текущий момент в качестве (е взять точку абсолютно твердого тела, находящуюся в начале координат системы отсчета Я, то компоненты вектора им в Я задаются уравнениями и,-),+а,,л,, (43) ГдЕ )Г1 И П17 ПОСтОяННЫ В фИКСИрОВаННЫй МОМЕНТ ВРЕМЕНИ 1, а )г,— компоненты вектора и7 в Я. В действительности 1', и Цу являются функциями времени, а уравнение (43) дает эйлерово описание движения абсолютно твердого тела. Таким образом, получены основные формулы лагранжева (31) и эйлерова описания движения абсолютно твердого тела.
Переход от зйлерова описания к лаграпжеву рассматривается в задаче 15. Описание движеивя через фуикпии 1Гг представлено в задаче 17. !.1.6. Переход от одной системы координат к другой. Напомним, что в классической кинематике время не зависит от системы отсчета, относительно которой изучается движение, а формула для сложения скоросзей такова: ил(м) - и, (м)+ и, (м), (44) где и,(м) — скорость точки М в системе отсчета Я, называемая абсолютной скоростью; и,(М) — скорость той же точки М в системе отсчета Я', называемая относительной скоростью; и, (М) — скорость относительно систем Я той точки из Я', которая в данный момент совпадает с М; зта скорость называется переносной скоростью.
В каждый момент поле переносной скорости и,(м) представляет собой поле торсора скоростей, называемого переносом. Аналогичным путем строится уравнение для сложения ускорений: уе (М) = уа (М) + уг (М) + уч (М) ~ (43) где у, (М) — дополнительное ускорение (ускорение Кориолиса), равное 2в Л У,(М); а — мгновенная угловая скорость торсора переносной скоростй. Читателю предлагается самостоятельно вывести этн уравнения из формулы (31), в которой х' будет функцией времени 1. !.1.7. Первое понятие о полной производной. Рассмотрим некоторую вещественную функцию 1(М, 1), значения которой даны для одной и той же точки М при ее движении в системе отсчета А; эта функция эквивалентна некоторой функции п(1) единственной переменной Е По определению, полной производной функции ((М, 1) в, момент 1 называют производную от л(1) в тот же момент времени.
Понятие полной производной может быть применимо к любой скалярной или векторной величине, заданной в некотором континууме, который прослеживается в движении. Например, ускорение Т некоторой точки †э полная производная скорости У втой точки. Пусть йй-некоторый объем, а К задается формулой К=~,~(М, 1)сЬ, тогда полная производная от К получается дифференцированием по времени функции К, и при этом прослеживается объем Ж> в его двяжении (т. е. функция зависит только от одного действительного переменного 1). Формулы, по котбрым находятся полные производные, выведены в главе П. ЕЗ.
ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕТНКИ Кинематика строится на основе геометрии путем введения нового понятия — времени; кинетика, в свою очередь, строится на базе кинематики путем введения еще одного нового понятия — массы. !.2.1. Определение массы. В механике сплошных сред масса вводится как обобщение удельной массы — плотности р(М, 1), которая считается известной для каждой точки М изучаемой системы 3 в любой момент времени 1. По определению, масса некоторой части йй системы 5 задается в момент времени 1 объемным интегралом М(йй)=~ р(М, 1)бп. (46) Здесь уместно напомнить об условности, принятой в классической механике.
Тот идеальный мир, с которым имеет дело классическая механика и который признай схематизировать механические явления реального мира, является миром непрерывным. Классическая механика систематически игнорирует молекулярное или атомное строение вещества. Такой подход позволяет с геометрической точки зрения уподоблять пластины или оболочки кускам поверхности. В этом случае масса может быть определена с помощью поверхностной плотности, заданной на изучаемой поверхности. Точно так же стержни, нити, балки могут рассматриваться в некоторых случаях с чисто геометрической точки зрения как части кривых линий.
Масса определяется тогда на основе линейной плотности. Не будем напоминать здесь физических соображений, согласно которьи понятие масса определяется на основе двух понятий — инерции н гравитации. С математической точки зрения масса отождествляется с положительной мерой нз движущейся системе.
Положительная мера ставит в соответствие с подмножеством нашей системы (называемым измеримым множеством) некоторое положительное число илн нуль, и получаемое таким путем соответствие между измеримым множеством и нестрицательнымв действительными числами является полностью аддитивным (мера конечного илн счетного числа отдельных измеримых множеств есть сумма мер данных подмножеств). Данное выше определение является частным случаем меры, когда эта последняя задается плотностью. Поскольку будем иметь дело с физическими моделями, представляется обоснованным опираться при нх математическом описании на гипотезы об их регулярности, которые упрошают исследованяя, не нарушая прн этом обшности результата.
Так, например, в общем случае допускаем, что объемная плотность (или, если об этом пойдет речь, поверхностная, нлн линейная, плотность) являегся кусочно-непрерывной функцией в тех областях, где она задана (э(ЕЗ, г — действительно). !.2.2. Закон сохранения массы. Закон сохранения массы — фундаментальный закон классической механики — формулируется следующим образом: масса любой части материальной системы, прослеживаемой в ее движении, остается постоянной во времени. Этот закон показывает, что зачастую имеет смысл выражать интегралы, прибегая к распределению масс.
Если, например, масса определяется на основе понятия объемной плотностн ' р(М), то ~яф(М)б)э(М) ~ ф(М)р(М)йо, где йр (М) — элементарная масса окрестности точки М. В этом случае легко доказать*', что в силу закона сохранения массы ф (М) б)э (М) = ) — Р (М) д)э (М); (47) ч для простоты ие используем переменную ( в явном виде. если это не повлечет никакой путаницы. ° э Не будем останавливаться на доказательстве втой формулы обшей механики, которая после нескольких преобразований сводится к правилу дифференцнрования кратных интегралов, взятых по фиксированному объему.
здесь — — полная пронзводная. в т Таким образом, полная производная от интеграла, взятого по распределению масс по некоторому объему Ю, составляющему часть движущейся системы 3, равна интегралу от производной. Следствия, вытекающие из общего закона сохранения массы, будут даны в главе П. !.2.3. Кинетическая энергия. Кинетнэгеская энергия К(Ю) объема Ю, составляющего часть системы 3, определяется своей массовой плотностью 1/2 ~ сг (М) )э, где ~ П(М) ~ — модуль скорости. Таким образом, имеем К(Ю)= 2 ~,и и Ьр(М)= 2 ~ и,и,й~ (М). (4В) 1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ Теперь стоит задача ввести новое основное для динамики понятие †понят сил, действующих на систему Я.
Не будем останавливаться на коренном различии между внешними силами, действующими на 5 со стороны других систем или их частей, и внутренними силами, называемыми иногда силами сцепления, так как эти силы чаще всего вызваны сопротивлением, которое оказывает среда ее деформации. На данном этапе ограничимся тем, что дадим математическое определение усилий, которые являются внешними для системы 5; напомним два классических способа их определения. Предлагаемая схематизация не претендует на полноту и будет достаточной для приложений. !.3.1. Определение внешних сил через поле сил.
Классический путь определения усилия †обобщен понятия силы, действующей на материальную точку. Самый простой математический объект, который можно ввести для описания того, что прикладываемое усилие имеет точку приложения, направление и интенсивность, это, очевидно, вектор. Общее определение характеризуется заданием внешних сил в каждый момент времени векторным полем у(М) и положительной мерой е (или распределением фиктивных масс), заданной на системе 5. Тогда для такой меры ~(М) будет плотностью сил. Но в этой книге примем менее общее определение и ограничимся случаем, когда такая мера является либо распределением действительных масс в системе 5 — в этом случае говорят, что ~(М) является массовой силой, заданной на системе 5, либо мерой-объемом ее частей Ю вЂ” в этом случае говорят, что у(М) есть объемная сила, задаваемая на системе, а также мерой площадей участков некоторой поверхности Е, принадлежащей 5; тогда у(М) — поверхностная сила, заданная на Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
