Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 7
Текст из файла (страница 7)
И наконец, мера будет характеризовать длины отрезков некоторой кривой .(., принадлежащей 5; в этом последнем слу. чае принято говорить, что у(М) есть линейная сила, задаваемая на кривой Ь. Если же мера определяется конечным числом единичных фиктивных масс, размещенных в точках ЄЄ..., Рр, то внешние силы будут определяться как силы у(Р,), ..., ~(ре), приложенные к 5 в точках Р,— эта ситуация типична для элементарной механики.
1.3.2. Определение внешних снл посредством виртуальной мощности. Существует еще один путь моделирования сил, действующих на систему,— путь несколько обходной, ио тем не менее вполне естественный. Когда хотят получить представление о весе чемодана, приподнимают его; если нужно получить представление о силах трения, тормозящих стоящую машину, пытаются подтолкнуть ее вперед; когда желают знать силу натяжения приводного ремня, пробуют привести его в движение. Такова отправная точка нашего второго метода моделирования, заключающегося, как будет показано, в определении сил посредством виртуальной мощности, развиваемой этими силами в виртуальном движении.
а) Виртуальное движение системы 5. Рассмотрим систему В, У=лс (Ф), число У равно виртуальной мощности действующих в движении Ф сил. Итак, если Ф=ХФм+рФм1, то У=АУ"'+рУм'. Если же (ф!) О, то У вЂ”.О. в) Примеры. 1'. Если в качестве системы 5 принять точку М, то в качестве Уь можно выбрать трехмерное векторное пространство скоростей; Я~ — некоторая линейная функция виртуальной скорости Ц(М) и задается вектором ~(М). Здесь приходим к определению силы, действующей на материальную точку. 2.
Если действие Д на 5 задается объемной плотностью у(М), то пространством Уь может служить множество Ф, на котором задана равномерная сходимость; Уь (Ф) можно в этом случае задать в виде У = ) ~(М). П(М) бо. (50) Таким образом, равенство (бО) определяет виртуальную мощность движущуюся в системе отсчета Я, и ее конфигурацию Р в некоторый фиксированный момент Г. Говорят, что определено виртуальное движение системы в момент 1 в системе отсчета Я, если задано на конфигурации Р векторное поле Ф. Векторы этого поля обозначим через Е1(М); б'(М) — виртуальная.
скорость точки М. Векторно-значная функция Ц(М) может иметь самый общий вид, Она отнюдь не должна удовлетворять кинематическим условиям, которые накладываются на поле действительных скоростей. Обычно предполагают, что она является кусочно-непрерывной на Р. Если рассмотреть другую систему отсчета Я' и другое векторное поле Ф', описывающее виртуальное движение 5 относительно Я', то получим описание того же виртуального движения системы 5 при условии, что в каждой точке М выполняется равенство й(М) =П,(М)+О (М), (49) где П,(М) — переносная скорость точки М, т. е. скорость относительно Я точки, жестко связанной с системой отсчета Я* и совпадающей с М в момент Г. Пространство Фз виртуальных движений (системы 5 в момент г) является нормированным векторным пространством с элементами Ф; устанавливается непосредственно линейность: ХФц1+рФм1=Хгла'(М)+рйсв(М).
Нормой может быть, например, норма равномерной сходимости ((Ф) < е, если )П(М)~ < в для любой точки М из 5). б) Виртуальная мощность действия некоторой системы Х на систему 5. Будем считать, что воздействие Х на систему 5 в момент 1 в области еь возможных движений этой системы определяется лннейной непрерывной в Уь функцией, значения которой— действительные числа: сил, определяемых объемной плотностью Т"(М).
Этот пример показывает, каким образом можно перейти от усилий, задаваемых с помощью поля векторов и соответствующей меры о», к приведенному выше определению. Действительно, в общем случае вместо (50) напишем У ),г(М) й(М)бо». г) Движения систелан с ватвердеваниел«. Определение торсвра реалий. Очевидно, чем больше ограничена область возможных движений, тем грубее (менее «тонко») характеризуются усилия. Но именно в этом и заключается гибкость метода возможных движений, который находит широкое применение в аналитической механике н который позволяет, характеризуя усилия, выбирать наиболее удобные представления. Напомним классический пример, который естественным и исчерпывающим образом приводит к широко известному в общей механике понятию торсора усилий. Рассмотрим такое пространство уо (или з), для которого элементы Ф являются полями, заданными на 5 торсором (в).
Если 5 — абсолютно твердое тело, то э определяет любые возможные движения, при которых в 5 не происходит никаких деформаций. Пусть теперь тело 5 может деформироваться. В этом случае говорят, что $ есть пространство виртуальных движений, при которых система 5 остается жесткой («затвердевает». — Ред.). В базисе М объект Ф определяется заданием шести чисел Й, =* — Й,„ '»'; (элементы приведения к началу координат). Имеем, например, в случае движения, задаваемого формулой (43): й,(л) =Р,+а„л,, (51) н 3 — векторное пространство шести измерений.
Линейные формы также образуют на з шестимерное векторное пространство. По определению, такая линейная форма является «движущим» торсором (илн просто торсором) (вР ]. В начале координат ' и в базисе А можем, например, написать д г =Тгуъ+ 7»7»+ 7»Уа+ М«А»+ Мзз(1»з+ Мг»11«з или, полагая Мп — — — М, (1, ) =1, 2, 3), У*=ТИХ,+ — , 'М„И„, (52) где Т, и Мы — — — М~,— шесть чисел, которые определяют 1«Р 1 в начале координат и в А.
Замена одного ортонормированного базиса на другой с тем же началом не должна вызвать изменения левой части (52), которая является инвариантом. Отсюда следует "', что все Т, являются ком«Представляем, таким образом, торсор (в) через компоненты в Я его влементов прнведення к началу координат. '" Доказательство этого вывода дается в конце П1.2.4.
понентамн вектора Т, который в М представлен набором чисел, а все М, — элементы антнснммстричной матрицы М, представляющей тензор второго ранга М; Т н М вЂ” элементы приведения торсора [Ф ] к началу координат. Но торсор (сз) определяется также через элементы приведения к некоторой точке Я: й;,=ац, йч=~,+ар,, (53) откуда следует также равенство ~-ТРйч+ , 'МРй~, (54) в котором появляются величины Т~ч, Мг), определяющие элементы приведения торсора [,й| к точке Я. Подставляя (53) в (54) вновь получаем (52) прн любых )г1 н Й1 . Тч В,+а х )+-МФЦ ТЯ+ — Мцйц.
(55) Видим прежде всего, что Т~с =Т;, вектор Т не зависит от точки М— это главный вектор торсора [а"'1. Для приведения подобных членов нужно разложить Т,хг на симметричную и антисимметрнчную частн: 1 ! Т х (Т~хг)а+ (Т1хг) — (Тахг+ Т х~) + — (Т1хг Т ха). Подставив это выражение в (55), видим, что (Т,х ), исчезает, так как компоненты Иц антиснмметрнчные и, кроме того, М~ч = М1 — 2 (Т,х ) . (56) Последняя формула дает возможность вычислить Мй в пронзволь. ной точке Я, зная элементы приведения торсора [аг ) к началу. В трехмерном пространстве уравнения (56) могут быть записаны для векторов, ассоциированных антисимметричным матрицам, которые входят в равенства (56).
Положим [как и в (38)] 2иа — — еалМц, 2тап = а аМ$ и заметим', что 2 (Т,хг), е,ца~ Т„,ха. Так как в„цегц — — 26а, (здесь б„,— символ Кронекера, равный О, есЛи й~г, и равный 1, если Й=г), то после умноження обеих частей (56) на зал получим ша =и„+за илн в векторном, не зависящем от системы координат виде то — — 'то+ ТЛОЧ то+ агОЛ Т.
(57) Величину нас называют моментом торсора [Х) в точке Я, н из (57) следует, что в общем случае (если Р н Я вЂ” две произвольные точки) имеет место равенство на = о+Р4ааЛТ (58) ' Опарацяп с ац» пряводягся в П1,3. Приходим, таким образом, к фундаментальному тождеству, опи- сывающему поле моментов торсора, которое позволяет определить момент торсора пар, зная элементы приведения в О. Сравнение (Ы) и (42) показывает, что в трехмерном пространстве прярода торсора скоростей и движущего (»моторного») торсора одинаковы. Угловой скоростя вращения ы соответствует момент я»О, скорости (ГΠ— главный вектор Г.
Если пространство более чем трех измерений, то угеержденяе становится неверным. Даже в пространстве трех измерений между зтими двумя понятиями появляется различие, если поменять ориентировку осей: теперь от направлен- ности осей будет зависеть поле язо торсора усилий н угловая скорость ы (не зависящая от О) торсора скоростей. Говорят, что л» является скалярным произведением торсора (Ц на [Х1 и определяется уравнением (52) в зависимости от элементов приведения в О. Так как имеет место равенство (39): М,~ езуртза, Йы — — ер~,вр, то можно также написать У Т,У,+т„в„= Т,Оп+агава, ибо по своему построению правая часть не зависит от того, какая точка выбрана для построения элементов приведения. Тогда: с" (о)'Щ=[йр1'(5) =Т'а»о+газо'~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
