Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Именно поэтому предлагаемая книга задумана как курс лекций, а не как учебник, который относился бы лишь к определенной стадии обучения. Невозможно перечислить здесь всех — коллег, ассистентов, студентов, которые помогли мне своими советами или весьма ценными замечаниями. В особенности-благодарю тех, кто взял на себя заботу прочитать отдельные главы рукописи. Я не могу не выразить благодарность Жану-Луи Арману, моему бывшему ассистенту в Стэнфордском университете, который доброжелательно и с больхрой пользой помог мне в столь трудной и неблагодарной работе, какой является чтение корректур.
Поль Жермен П р и меча ни е. Текст книги разделен на главы, параграфы и пункты, Главы обозначены римскими цифрами, параграфы †римскн в сочетании с арабскими; первые указывают главу, вторые †парагр в втой главе, цифры разделяются точками. Например, запись Н.3.2 относится к пункту 2 третьего параграфа пятой главы. Главы в конце книги, где читателю напоминаются основные математические формулы илн даются дополнения, обозначены римскими цифрамн, перед которымн поставлена буква П '. Каждая глава имеет свою нумерацию формул н рисунков.
Например, обо. значение (28) отсылает к формуле (28) текущей главы, а обозначение (Ш,28), где после римской цифры поставлена запятая, однозначно говорит о формуле (28) в главе Ш. В конце книги читатель найдет задачи для каждой изученной главы. Указание «Задача 3», которое может встретиться в тексте, подразумевает третью задачу, относящуюся к данной главе. . Мы старались придерживаться следующих обозначений: векторы и тензоря даны полужирным шрифтом, компоненты в любой системе координат распозна.
ются по индексам; матрица, составленная нз таких компонентов н относнщаяся либо к вектору, либо к тензору, обозначается прямым шрифтом. По аналогии, совокупность координат х,, х», х» некоторой точки в данной системе координат часто будем обозначать прямой буквой х. ' От французского Карре! (повторение, приложение). — Прим. перев. ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ Несмотря на то что курс рассчитан на читателя, имеющего определенные познания в общей механике, представляется полезным напомнить в начале книги основные понятия, которымн оперирует механика при создании моделей, исследуемых физических явлений. В этом кратком введении мы попытаемся осветить наиболее нужные для излагаемого ниже. исследования движений сплошных сред моменты.
В первом разделе при изложении основных положений кинематики движущаяся система будет рассмотрена аналитически (что обычно не делается во вводных курсах кинематики), в итоге обычные выводы кинематики твердого тела будут изложены на языке введенных понятий. Второй параграф отведен кинематике. Далее, в разделе 1.3 схематизируем внешние силы, воздействующие на системы с помощью двух основных методов, что приводит в 1.4 к двум фундаментальным принципам классической динамики. Наконец, в 1.5 изучается природа тех дополнительных закономерностей, которые приходится формулировать при изучении систем твердых тел.
Это дает возможность поставить основные вопросы, ответ на которые служит основанием механики сплошных сред. Большинство выводов дается без доказательств, и лишь торсоры скоростей твердого тела и торсоры действующих на него тел рассмотрены более подробно. Двойственность скоростей и действующих сил, которая проявляется в понятии мощности, является существенной и обнаруживает себя во всех выводах механики сплошных сред.
Полезно всячески подчеркнуть этот дуализм во всех выводах, касающихся классического случая механики твердых тел. ЕЕ КИНЕМАТИКА. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖУФЕИСЯ СИСТЕМЫ 1.1.1. Определение движения. Группа П(Ф', Ф). Кинематика определяет те пространственно-временные понятия, с помощью которых может быть описано движение, Классическая кинематика использует трехмерное евклидово пространство (соответствующее векторное пространство) и определение понятия времени (хронологию), основанное на существовании абсолютной одновременности, поэтому время может быть представлено некоторой действительной переменной 1.
В меха- нике точки, как и в механике твердого тела, необязательно давать определенйе движущейся системы, настолько зто понятие очевидно. Не так обстоит дело с механикой сплошных сред. Нам предстоит Рнс. 1. Транантнвность отображеизучить системы, сильно меняю- ннк П щие свою форму с течением времени н остающиеся, тем не менее, одной и той же системой, составленной из тех же частиц, несмотря на все внешние различия. Таким образом, необходимо дать математический анализ зависимостей, описывающих некоторую физическую ситуацию. Эта задача может быть сформулирована следующим образом.
Семейство множеств 5', зависящих от времени 1, можно интерпретировать как семейство 5пконфигураций некоторой движущейся кинематической системы 5 тогда и только тогда, когда при любых 1' и 1 существует точечное взаимно однозначное отображение П (1', 1) множества 5н на множество 5', причем совокупность всех отображений образует непрерывную во времени группу ». Так как отображение П (1', 1) точечное, то оно ставит в соответствие точке М' множества 5п одну точку М' множества 5'. Групповое свойство зтого отображения может быть выражено следующими зависимостями: П(1, 1)м» (, (() П(1, 1)=П(1", 1)ОП((', 1"), (2) и (с ', 1) О и (1, Р) = 1, (3) где г' — тождественное отображение (5г на 5г).
Второе соотношение отражает транзитивность (рис. 1). Последнее соотношение, являясь следствием двух первых, говорит о том, что П(1, 1') есть отображение, обратное П(1, 1'). Семейство подмножеств Й1г из 5г, гомологичных по отображению П(1„1) некоторому подмножеству Ю" нз 5", определяет часть Й1 движущейся кинематической системы 5. Если семейство йй' рассматривать при переменном 1, то принято говорить, что семейство Ю изучается в движении.
Введенные выше точки М' задают кинематическую точку М из 5 (называемую также частицей), точки М' могут быть истолкованы как последовательные положения изучаемой в движении частицы М. Необходимым и достаточным условием того, чтобы система 5 при любых 1 и 1' могла считаться с кинематической точки зрения абсолютно твердым телом, является изометрия отображения П (1', 1). Кинематическая точка Р считается принадлежащей абсолютно твердому телу 5'е, если система, состоящая нз объединения 5 н Р, является также абсолютно твердым телом. Будем называть системой отсчета Я совокупность точек, принадлежащих 5 таким образом, что 5' содержит по меньшей мере четыре точки, не лежащие » Практнческн ата непрерывнан группа определяется в системе пространство — времн (1.1Л).
»» Ллк простоты прилагательное кннематнческнй в дальнейшем будет опу. скатьсв. 13 в одной плоскости. Очевидно, что геометрия системы Я может быть и евклидовой. Рассмотрим общий случай кинематической системы 3. Говорят, что система 5 находится в равновесии относительно системы отсчета Я, если все точки М из 5 жестко связаны с Я. В противном случае говорят, что Б движется в системе координат Я нли находится в движении относительно Я. Следует подчеркнуть, что точное определение движения любой системы требует задания системы отсчета, в которой она будет наблюдаться.
В сйстеме отсчета Я удобно ввести точку О и ортонормированный базис н„е„е, (в дальнейшем для простоты, если только не будет оговорено обратное, будем рассматривать только ортонормированные базисы). Ортонормированный базис определяет систему отсчета, которую также обозначим через Я и в которой точка М' в фиксированный момент времени 1 определяется координатами х„ хм х„ задающими положение частицы М в Я. Отображение П будет аадано в атом случае соотношениями вида (1= 1, 2, 3) хг=3 !(Хт~ Хт, Хн, 1, 1), (4) определяющими положение М' в момент 1 той частицы М, которая в момент 1' занимала положение М' с координатами х~. В общем случае функции У', будут предполагаться непрерывными и непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам столько раз, сколько зто окажется необходимым для рассуждений. Часто соотношения (4) будем писать в сокращенном виде: х йг(х', 1', 1), где под х подразумевается совокупность трех координат х;, х„х, нли, иначе, матрица-столбец, состоящая из зтих координат.
'Функции (Гг не могут быть заданы произвольно, так как соот- ношения (1) и (2), определяющие групповые свойства ' отображения П, могут быть записаны в виде (необходимые и достаточные условия): х =йтг (х, 1, 1), (6) У-(х , 1, 1)= 4Г (К'(х', 1:, 1 ), 1, 1) (7) или в другой форме К (х', 1', 1) = К ( °, 1", 1) О йг (х', 1', 1"). С другой стороны, условие (3) означает, что если х йг(х', 1', 1), то х' К (х, 1, 1'), что следует из тождества х=К(, 1', 1)ОК(х, 1, 1'). Заметим, наконец, что л' и х" являются положениями в моменты и 1 одной и той же частицы М, если только существует такое ь Вынос было сказано, что условие (3) вытекает нв (1) н (2), что легко про.
вернетсн, если прннять в (2) Г*юп . значение 1, при котором ~(х', 1', 1) л (х', 1", 1) (8) верно при любом г. 1.1.2. Траектория. Линия испускания. Поле скорости. Линия тока. Теперь мы введем (или напомним) некоторые понятия кинематики. Траектория частицы М вЂ э геометрическое место положений М~ в системе отсчета й при переменном 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
