Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Аналитически соотношения х;=3Г~(Хо Хм Х„Т, 1), (9) где Х„Х„Х„Т фиксированы, параметрически определяют траекторию частицы М, которая в момент времени 1 находится в точке Х. Семейство траекторий некоторой системы 5 зависит, вообще говоря, от трех параметров; оно получается при постоянном Т и изменении Х в множестве ог. Линия испускания для данной точки Х в момент времени Т есть геометрическое место положений х в этот же момент тех частиц, которые прошли или пройдут через Х в некоторый момент 1. Таким образом, линия испускания задается параметрически функциями х,(1): х,=У,(Х„Х„Х„1, Т), где значения Х,, Х„Х„Т фиксированы. Скорость в момент 1 частицы, находившейся в момент 1' в х', представлена вектором О, компоненты которого в М определяются соотношениями (11) Можно показать, что это выражение не зависит от выбора точки . М'(х', 1'), которая используется для определения траекторий М.
В самом деле, при другом выборе М'"(х", 1") можно написать [при- нимая во внимание, что соотношение (8) удовлетворяется для всех 11 (12) Во избежание путаницы функцию К, запишем как 3Г,(3„$„$„ т', т), чтобы отличить ее аргументы от значений, которые могут принимать эти последние. Компоненты вектора скорости 0 могут быть в этом случае выражены непосредственно как функции от х и от П и,(х, 1)--'ф-(х, 1, 1).
(13) Точно так же получаем компоненты ускорения частицы М в системе отсчета Я в момент П у,(х, 1) ~+(х, 1, 1). (14) Линии тока определяются для фиксированного момента 1. В этот момент они являются линиями поля скоростей, т. е. линиями, каса- 18 тельная к которым в каждой точке параллельна вектору скорости. Таким образом, зги линии являются решениями системы дифференциальных уравнений бхг бх, дхз КТ*.К: еь О и.и„*.. *., и и,и,. *..
*.. и (15) в которых ! фиксировано (играет, таким образом, роль параметра). Не следует смешивать траектории с линиями тока. Первые определяют последовательные положения в разные моменты времени. Из определения скорости следует, что траектории являются решением системы дифференциальных уравнений (16) в которых ( — переменная величина, и поэтому их нельзя путать (несмотря на сходство уравнений (15) и (16)1 с линиями тока, кото- рые являются линиями поля скоростей в некоторый данный момент времени !. Движение называется стацаонарнзгм, если поле скоростей 0(х, !) не зависит от времени 1. Линии тока тогда определяются независимо от ( и не меняются с течением времени.
В этом частном случае и линии тока и траектории представляют одну и ту же сетку кри- вых. Они же представляют собой и линии испускания, что следует из равенства (ЭО), приводимого ниже. Пример. Пусть необходимо изучить течение жидкости, заданное в системе от- счета Я полем скорости: яз яз Уз Ур ( ! — — сов ВР); У~ — Уз — зпзВР; У~ О! гэ )' з хг=гсоз~р; хз теизм, где йт — заданная длина; Уз — некоторая заданная скорость.
Переменные г, и, язв цилиндрнческне координаты в системе отсчета Я. Течение является стационарным н легко показать (задача !), что траектории (онн же линии тока) определены в области г)Я в цилиндрических координатах уравнениями Ь Г й аггз х, с; г= — ~!+ ~~ (+ — з3пзи], где Ь в с — постоянные величины.
Таким образом, это плоские кривые, образующие множество, которое остается инвариаитным относительно перемещения вдоль оси хз. Зто схематически показано нз рис. 2. Жидкость (нлн газ) обтекает неподвижный цилиндр С, задаваемый равенством г Й, и в бесконечности движение происходит с постоянной скоростью Уэ, параллельной осн х, Теперь проследим это же течение в системе отсчета Х1, которая движется по- ступательно относительно системы б1 вдоль оси хт таким образом, что в бесконеч- ности жидкбсть (или газ) находится в покое относительно этой новой системы отсчета. Координаты «г в системе Я частины, которая в Я имела коордннагы хь будут задаваться уравнениями «1 «1 Уэй хэ хз; хз хз. В вовой свстеме отсчета Я движение уже ве будет стационарным. Теперь это (б х, ЬХз 1 Ряс. 2.
Стационарное обтекание неподвижного цилиндра. Ляпин тока являются одновременно траекториями. С некстормм приближением такое течение устакавлнвается прн напитанная в авродннамнческоа труба больюик размеров, если поместить а нее наподвижкма цнлиидр (ке принимая во внимание аавнхренник Течение происноднт слева направо Рис. 3. Линии тока в иекогорый фиксированный момент при обтека. ияя цилиндра, движущегося в покоящейся бесконечности жидкости.
Обретите внимание ва то, что ликии тока не являютсн касательямми к поверхности цилиндра течение представляет собой обтекание движущегося поступательно цилиндра покоя. щейся жидкостью. В некоторый задаияый момевт, например Г О, линия тока в плоскости х, О представляют собой дуги окружностей, касающихся оси хь как покззаио иа ряс.
3 (задача 2). Траектории частиц задаются параматрическя уравкекиямя пв ч соз 2040 ха а+— Ь -Г И у 1+ — зьтва ~з У Ьв Ь Г / 4)ст х, — ~ 1+ у !+ — т-а1па0], х с, где а, Ь, с — некоторые постоякиые. На ряс. 4 изображены некоторые яз втях транкторий (а=о, с О, Ь вЂ” переменное). После встречи с цялкидром частицы, которые были первоначально в точках Ам Аа, Аз, переходят в точки Аь Ав, Ав 17 !.1.3. Изучение движения с точки зрения Лагранжа. Знать в системе отсчета Я движение некоторой совокупности точек (сплошной среды) — это значит знать функции Уь характеризующнеотображение П в этой системе. Таким образом, эти функции являются искомыми параметрами в задачах механики сплошных сред. Их нахождение представляет большую трудность: они должны удовлетворять довольно сложным тождествам, например (7), что, очевидно, связано с введением слишком большого числа переменных.
Для преодоления этих затруднений достаточно отнести конфигурации Зг системы к некоторой частной конфигурации Зо, соответствующей фиксированному моменту 1 О. Пусть а,(! ° 1, 2, 3) координаты.М' в М. Переменные а„а„а„! называются переменными Лагранжа. Положим Ьг (а, 6, 1) Ф(а, 1); У (х, 1, 0) Ч'(х, 1). (11) Тогда х Ф(а, 1); а *Ч'(х, 1). (18) Первое равенство определяет в момент 1 положение х частицы М, которая индивидуалнзнровалась координатой а в той же конфнгура- ",'+ Ае Ае А) А» м.
л» »э о-~о Е,ьэ т-б егка ции 5', второе уравнение дает знала ьтквж чение а частицы, находящейся в Рис. 4. Траектории частиц в течении, положении х. В момент 1 функции изображенном на рнс. 3. Ф н Ч' образуют (составляют) пару невесекм траектории трек частиц, которве взаимно обратных функций: в момент 1 б имели ияибельшсе боковое сммцсвие. Обретите ввимииие ие то, что весле ирокожаеикк цклкклре частицм снес- х = Ф (Чв х, 1), 1); а = телись лервллсльке оси к, кк рлсстеякие.
которое тем болыие, чем ближе чкстицм — 1 (Ф(а» 1)» 1) (19) Чтобы конфигурация 5' была частной конкретной конфигурацией для момента 1 =О, необходимо введение дополнительных условий а=Ф(а, О); х=Ч'(х, О). (20) Обратное утверждение: две взаимно обратных функции вида (18) могут быть истолкованы как задающие некоторую совокупность (систему) точек, находящуюся в движении относительно%. В самом деле, функция ег, введенная в 1.1.1, может быть задана как К(х', 1', 1)=Ф(Ч'(х', 1'), 1)=Ф( °, 1)ОЧ'(х', 1'). (21) Легко убедиться, что функция бг удовлетворяет теперь групповым условиям (6) и (7).
Для условия (б) это следует из (19)„что же касается (7), можно положить а=Ч'(х', 1'); правая часть уравнения (7) может быть записана теперь с учетом уравнений (19): Ф(Ч" [Ф а, 1"), 1"1, 1) =Ф(а, 1) =Ф(Чг(х', 1'), 1), что приводит к левой части уравнения (7). Записав равенство в несколько видоизмененных обозначениях, можно получить следующий вывод: Ф( °, 1)ОЧ'(., 1")ОФ(, 1")ОЧ((х', 1)=Ф( 1)ОЧг(х', 1'), Чтобы доказать это обратное предположение, мы ни разу не воспользовались условием (20).
Следовательно, совершенно необязательным является условие, чтобы множество в значений 5' параметров а, представляло некоторую определенную конфигурацию системы; в этом случае говорят, что 5' есть некоторая отвлеченная (абстрактная) область, нужная для характеристики отдельных частиц. Более того, совсем необязательно, чтобы а, были координатами точек конфигурации 5' именно в системе Я. Такая абстрактная конфигурация 5' может быть задана достаточно произвольно и это широко используется в некоторых приложениях.
е Это множество обозначаем 5к (а не бе), чтобы подчеркнуть, что исходная конфигурация, относительно которой ведется рассмотрение, необязательно относится к моменту ~ =О. Рассмотрим одни нэ примеров. Пусть движение некоторой жидкости задается по способу Лагранжа: к, ах+Чек» соэ (йа,— в(); кз = аз+ т(з""с эШ (йаг — в(); «э аз где и — некоторая длнна; й=2п/)ь; Х вЂ” линейная величина; в — частота.
Область 5» переменных Лагранжа по предположению является полупростраиством аэ(0. Параметр г) считаем малым. Траектория частицы а( является окружностью в плоскости кз аз с центром в к(=ам к =аз; радиус окружности (]эз»с тем меньше, чем больше ] а ] (рнс, 6). Таким образом, ам аз, аэ ни в коей мере не представляют положение в некого. рый момент частицы с этими координатами в конфигурации 5 с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
