Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 5
Текст из файла (страница 5)
д( аг ( Рис. 5. Траектории частиц в прогрессивной волне. Жирнмм» л»виям» всхсз»вс а»»сися»с част»ц в мсмсвт ( О. в»ход»шахе»» рвввсвссвв» влас»ссс»х», сса»( Рис. 6. Прогрессивная д волна: — -всесрх»есть»с=э в м»нсвт П вЂ” —.—.— псвсрхвость», О ь мсмсвт (+ам ------ — тр»с»тор»е греб»в; д-ххыв» со»вм; » эм/эл» ° — — п»Ь (аю-мб; ак, с»с (м/эра] Можно дать интересное истолкование такою движения.
Если направить ось хз вертикально, то отсчетную конфигурацию 8» можяо интерпретировать как объем воды, яаходящейся в покое под действием силы тяжести. Рассматриваемое движение в этом случае не что иное, как волна, бегущая в данной массе воды. В вертикальной плоскости (например, прн к»=0) частицы, соответствующее в исходной конфигурации горизонтальным плоскостям (а, сонэ(), находятся в некоторый фиксированный момент ( яа волнообразных кривых, которые в первом прнблюкении при малом т( можно считать сянусоидами с периодом Х(рнс. 6): хэ аз+с)еа ь аю (йх,— в() (при переходе нз к, в (хг+ь) х, остается неизменным]; )с — длина волны.
При изменении ( гребни кажутся бегущими параллельно осн х, со скоростью с=в/й в =Хм/(2я) (так как если величина к( — ( постоянна, то и хэ остаегся иевзй пенным), с — скорость бегущей полны. Фиксируем, например, внимание на вершине А какой-либо волны — зто ие частица, а некоторый геометрический образ; оиз перемещается горизонтально со скоростью с.
Можно легко убедиться, не прибегая к вычислениям, что линии тока имеют вид, показанный на рис. 7. Течение не является стационарным, н линни то«а, следовательно, не совпадают с траекториями. В заключение заметим, что поля сноростей и ускорений определяются уран нениямн дФ дсФ (а, (); у= —,(з, (). д( ' ' д(с (22) 19 Рис. У.
Линии тока: — — в некоторый еккскравтакиа момент т; - -- — - — — в кончат (+(нтв! При необходнмости выразить н(х, !) н т(х, !) в явном виде, следует заменить а на Чт(х, !). Итак, лагранжево опнсзнне определяется единственной функцией Ф(а, !) с компонентами Фг(а, !), представляющнмн собой переменные Лагранже, которые задают двнженне всего объема. Такая функция Ф(а, !) должна прн любом ! нметь обратную — 'У(х, !); никаких дополнительных ограннченнй функцнн Ф не требуется (требуется иногда наложить условия регулярностк). 1.1.4, Метод Эйлера. В методе Эйлера, как н в методе Лагранжа, используется четыре независимых переменных: х„х„х„г, называемых независимыми переменными Эйлера.
Координаты х, определяют положение частицы М в момент 1; компоненты скорости частицы М в этот же момент Уг(х„х„х„!) называют искомыми переменными Эйлера. Для обоснования такого определения необходимо доказать, что значение функцпй (у! позволяет найти функции ег„ введенные в 1.1.1. Но этн последние являются не чем иным, как решениями системы дифференциальных уравнений (16), т. е.
х;(!), удовлетворяющими следующим начальным условиям: прн ' ! = !1 х,(!)=х'„так как х,' н !' считаем заданнымн. Здесь допускаем, что все Ог(х, !) достаточно регулярны, с тем чтобы существование н единственность такого решения были обеспечены. Остается теперь проверить, удовлетворяется ли групповое свойство, например уравнение (7). В этом случае удобно оперировать в пространстве и времени, полагая е «,=г, 0~=(гг, Уз Уз, Уз=(гэ, 0ч 1 ° Если ввеств некоторую переменную з, для которой бз бг, то снстема (!6) запишется следующим образом: — "=О (хт, хз, хз, «~), и 1, 2, 3, 4, бз (24) нля в более сокращенном ваде бх — - и (х).
бз * На языке математики движущаяся снсгема Ю определяет пространственновременнбй контниуум н в нем некоторую группу П преобразований с о>нзнм параметром. Поле скоростей В есть ннфннитезнмальный генератор втой группы. Таням образом, задача сводится к пестр осин ю группы П по ее инфнннтезнмальному генератору. решення уравнений (24), которые прн з О равны хп, будут вмять вн)( ха яа (з з) (25) н удовлетворять тождеству Ф (у, о) = р.
(26) С другой стороны, четвертое уравненае в системе (2Я есть не что иное, как ( к+з. (27) Возьмем некогорое конкретное анзченне з, например зы н положим х„=й~(х', зг). (28) Следующее замечание приведет нас к искомому результату: йа(х", з — з,) н 2„(х', з) являются двумя решеннямн уравненяй (24), которые прн з=з, прнннмают одно н то же значенне х" [согласно (26) н (28)); следовательно, в силу теоремы едннственностн онн тождественны.
Еслн положнть з, з — зы то будем иметь Ф (9 (х', зг), зз) 9 (х', зз + ~) (22) нлн Ф( зз)09(х. зг) 9(х, за+за), что как раз является групповым уравненнем. Можно проверить, что зто соотно. шенне переходит в (7), если положить согласно (23) н (27): ДГг(х', г', г)=йг(х', з)=йг(хг, ха. хз, б г — и), г=!, 2, 3, 4, так как, полагая «з=Г', будем иметь зз П вЂ” Г', за Замечанне.
Преимущество записи системы в форме уравненай (24) заключается в том, что становятся очевидной ннварнантнасть решения относительно нзменення переменной з. В случае стацяонарного движения система (!6) сама является ннварнантной прн трансляцнн по переменной а Рассуждения можно вести теперь непосредственно с точки зрения системы, не прибегая к замене переменных по формулам (23). Отсюда вытекает следующнй результат (такой же вывод, впрочем, можно сделать, заметив, что переменная кз не фнгурнрует в правыл частях уравненнй (24) н, следовательно, в функциях йо): движеляз яагяетсл ста. ционарямм глззда и люлько глогда, когда функция ф' илеегл зад ~(х', Г, г)=9(х', г — Е). (30) Здесь участвует только разность ) — б (а не моменты Г н б). Таким пугем устанавлнваетса аналогия, существующая между семействами траекторий, линяй тока н линий испускания в случае стационарного двнження.
Итак, мы рассмотрели три способа аналитического описания движения некоторого объема среды. Непосредственное описание, основанное на понятии группы и функций згь является исчерпывающим, ио неудобным для выкладок. На практике предпочитают иметь дело с методом Лагранжа и методом Эйлера; эти последние используют три скалярные функции четырех независимых скалярных аргументов. Метод Лагранжа хорош тем, что следит за частицами среды, траектории которых получаются автоматически. Метод Эйлера, скорее косвенный, основан на использовании тех переменных и функций, которые имеют физический смысл в текущей конфигурации У и поэтому употребляется весьма часто.
Однако, как было показано, оба метода эквивалентны приведенному вначале аналитическому описанию движения с помощью функций азр где с(1) представляет компоненты некоторого вектора в М, Р(Г)— ортогональная матрица "; Рт †матри, транспонированная Р: Ррт = Ртр = 1 (32) где 1 — единичная матрица. Точно так же некоторый вектор задается в системе М своими компонентами Х„которые в сокращенной записи будем обозначать через Х. В системе Я' этот же вектор будет иметь компоненты Х; или Х'. Тогда, естественно, Х' = Р (1) Х, Х = Рт (1) Х', что выразится через компоненты в виде Хг'==Р; (1) Х, Хг — — Р,(1) Х", если условиться использовать правило суммирования по повторяющимся индексам, которые фактически являются немыми индексами (использование этих обозначений объяснено в П1.1.2).
Если вектор Х жестко связан с 3, то компоненты Хг будут постоянными при изменении 1 и, следовательно '*', (34) где орвг ак/ — г Рв, =(бг) (35) Матрица й антисимметрична, так как, дифференцируя уравне- ° В уравнениях (ЗЦ прнняты обозначеняя Рт согласно П1, где сведены для справок есе обозначения н выводы, касающаеся векторов, матрнц я тензоров, нспольауемых в книге. В то же время все выкладкн сделаны таким образом, чтобы сведующему читателю не потребовалось прв чтении взглядывать в выше. упомянутую главу П1. чв Само собой разумеется, что векторы н тензорм определяются в векторном евклндовом пространстве, соответствующем аффннному евклндову пространству, задаваемому снстемой отсчета Я.
"' Хорошо известные формулы кинематики твердого тела небесполезка поаучнть такнм методом, который позволял бы легко сравнить нх с результатами, получаемымя ниже для сплошных сред. 1.1.Ь. Движение абсолютно твердого тела. Торсор скоростей. Обозначим через 5 некоторое абсолютно твердое тело, движущееся относительно системы отсчета М. Тело можно отнести к некоторой сопутствующей ему и жестко связанной с ним ортонормнроаанной системе отсчета М *, Координаты хг' точек М тела в сопутствующей системе М' будут постоянными во времени Г и составят вместе с ним лагранжевы переменные.
По определению, преобразования П(1', Г) являются изометрическими. Формулы, задающие координаты точки М в Я в некоторый момент времени, будут, таким образом, формулами замены одной ортонормированной системы координат другой. Теперь движение абсолютно твердого тела может быть описано в переменных Лагранжа е (х' здесь играет роль переменной а): х = с (1) + Рт (1) х', (31) так что Х у — х определяет в системе Я вектор МЦ, связанный с 3, который в Я' представлен уравнением Х' у' — х'. Используя результаты, полученные в (37) и (40), находим с помощью диффе- ренцирования ич им+ 3 (Мч)) ио им+ю Л М(че, (41) или (42) гДе им — вектоР скоРости точки М в системе отсчета Я в момент 1. Это вторая основная формула кинематики абсолютно твердого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
