Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Чтобы совершить переход междукоординатным и импульсным базисами, мы применим обычныйприем-\jf(X)вставим разложение единичного оператора:=(xl\jf)==(xi(IIP)(plctp )1"')== f (xlp)(Pi'l')dp =-(3.25)1 '°"=--Jе',,- \jf(p)dp;'12nli ~.рх73ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ\jl(p)= (р \jl) =1= (pi(Ilx)(xldx )1 'V) =(3.25)-= J(plx)(xl'V)dx =1-.рх=- - f е·'т, \jl(X)dx .../2rtli ~Решение для упражнения-fЧf*(р) ф(р)dр3.151J J е '' \jl. (х)е '' <p(x')dxdx'dp =-J2rtli=-1-77[7 е;р(х;х') dp]\j/· (х) <p(x')dxdx' (Г~9J-t<ю+оо+оо=i~-i~'_=~~2rtli~~ ~=}_'2 ~/iII[2по х ~х')]('V •(х) <p(x')dxdx' =+== J \jl'(x) <p(x)dx.Решение для упражнения3.16.
Вспомним, что вероятность обнаружить определенное значение импульса равнагде волновая функция Чf(р) в импульсном базисе-это Фурье-образволновой функции \jl(X) в координатном базисе. Поскольку последняядействительна,pr(p)Чf(р)=Чf·(-р)[упр. Г.5, Ь)] и, таким образом,= pr(-p).Матожидание импульса, задаваемое формулой(р)=-fppr(p)dp=O,пропадает, потому что рpr(p) -Решение для упражнения(3.25)74нечетная функция.3.1 7.волны де Бройля, находим:Воспользовавшись определениемРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫлА(р,р') = (vlAlv')3(3.5)=c:;:J JJ (vlx)(xlAlx')(x'lv')dxdx' =Решение для упражненияа) Поскольку потенциал-3.18.это функция координаты, имеет место-fравенствоV(x)=(РЗ.2)V(y)iy)(yidy(где у -переменная интегрирования).
Отсюда следует, чтоV(x,x') = (xl V(x)I х') =-= JV(y)(xly)(ylx')dy == J V(y)8(y-x)8(y-x')dy== V(x)D(x-x').В последнем из приведенных выше уравнений мы воспользовались тождеством (Г.5) с а= х иf(у)= V(y)o(y -х'). Это немногонестрого, поскольку (Г.5) предполагает гладкую функциюf( ·).Чтобы сделать эти рассуждения строгими, мы могли бы, к примеру, заменить о(у- х') гауссовой функцией Gь(У - х') [см.
выражение (Г.1)] и взять предел Ь ~О.Ь) Воспользовавшись уравнением (РЗ.2), а также определением(3.25)волны де Бройля, находимV(p,p') = (vlVCx)lv') =-= J V(x)(plx)(xlv')dx=что эквивалентно уравнению (З.41).75ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения3.19.Записав оператор импульса как+~р=JPIP)(pldp, находим7(xlfJlx')= p(xlp)(plx')dp=-1~7pe;*(x-x'Jdp.2тt1i ~Чтобы вычислить этот интеграл, выразим ре,Е(х-х')hОтсюда1d _;Е(х-х')(xlfJlx') =-(-i1i)- 5е h2тt1idx ~d= -i1i-edx,Е(х-х')h(Г.19)=dp=-1-(-i1i)_0_(2тc1i)o(x-x') =2тt1idx= -i1i-°-ocx-x').dxРешение для упражнения3.20.Вставив единичный операторпосле импульса и воспользовавшись результатом упр.3.19, находимI(xl fJI '1') = (xl p(Ilx')(x'ldx' )1'1') = (xl fJlx')(x'l 'lf )dx' ==-i1iI[~ ocx-x')]'lfcx')dx'=-i1i ~[I ocx-x')'lf(x')dx']== -i1i_0_'1f(X).dxРешение для упражнения3.22.
Применяя результаты упр. 3.19 и3.20, получимI(xlfJ 2 l'I') =(xl P(Ilx')(x'ldx' )PI '1') = (xlfJlx')(x'I Pl'lf )dx' ==-i1i I[ ~ о(х-х') ][-i1i :, 'lf(X') ]dx' ==C-i1i)2 ~[I осх-х') : , '1'Cx')dx']=-1i 2 ~[~ 'l'Cx)]=-1i 2 :Решение для упражненияа) Поскольку(xlx=x(xl,(xlЧJl'I') = x(xlfJl'I')763.23(З.44)d= -i1ix-'lf(X).dx2'l'Cx).РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3xl'V)=l<J>); тогда волновая функция этого состояниябудет равна: <р(х) =(xlxl 'VJ =X\jl(x). ПоэтомуЬ) Обозначим(х 1f>.XI 'V) =(xl i> 1<р) =-in_O__<p(x) =dx= -in-°--[x\jl(x)] = -in\jl(x)- inx-°--'V(x).dxdxОбратите внимание, что данное соотношение возможно найтитакже при помощи разложения единичного оператора.
Читательможет попробовать сделать это самостоятельно.с) Воспользовавшись двумя предыдущими результатами, находим:Следовательно, применение оператора [х,р] к любому векторуi'V) эквивалентно умножению этого вектора на in. Делаем выводо том, что [x,pJ= iпi.Решение для упражнениясти(1.21) для любого3.24.
Записав принцип неопределеннонормированного состоянияi'V), находим('VI л.x2 l'V)('VI лJ32 l'V) ~ il('V inil'V/12 =1=_!_ п2 I('V l'V/12 =4= _!_ 112.4Решение для упражнения3.25а) Плотность вероятности, соответствующая волновой функции(3.51), -это1i'V(x)J 2=-eаГп- (х-а)2dz(Р3.3)что идентично плотности вероятности гауссовой функции (Б.15),нормирование которой мы проверяли в упр. Б.18.Ь) Чтобы снизить количество вычислений, преобразуем сперва изкоординатного базиса в базис волнового числа (вместо импульсного).
Применим прямое преобразование Фурье согласно(3.38).77ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Г.14)(х-а)'1=---F[eikoxe-2d'](k)(ттd2 )1;4\ji(k)=)1;41JJ_174~e-i(k-k,,Ja.F[e2d')(k-k)е(Г.16)о(ттd2 )114 е-(где f<o=](k-L-)2 d'-~-1(ттd2(Г.13)_(х-а)'1= (ттd2 )1;4 F[e=Ро )п(Р3.4)=-i(k-k,,)ad -(k-k,,) 2 d2 /2е-i(k-ko)а е -(k-k,, ) d /2 .221tТеперь мы можем переписать результат в импульсном базисе сиспользованием(3.39):(Р3.5)с) В координатном базисе плотность вероятности_(х-а) 2lpr(x)=i'lf(x)l 2 = се d''11tdесть гауссова кривая ширинойd,симметричная относительнох =а. Воспользовавшись результатами упр. Б.18, находим, что(х) =а и (Лх2 ) =d 2 /2.dДля импульсного базиса pr(p) = с е(р)=р 0 и (Лр 2 ) = n2 /2d 2 •(ЛХ2 )(Лр2) = ~_d2(P-Po)2112•Следовательно,'11tftПроизведение неопределенностей равно:'что соответствует минимуму, разрешенному принципом неопределенности.Решение для упражнения3.27а) Волновую функцию в импульсном представлении (для удобства мы используем физически идентичное ему представлениев базисе волнового числа) можно найти с использованием стандартной формулы конвертации(3.38).необходимо применить и к хА, и к х8 .78Преобразование ФурьеРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ'f(k kА' В)=_!__J _J 'l'(x Х )e-ikлxлe-ikнx•dx27t -~ ~А'1=-JJ8(х27t+оо+~~~1= 27tl+ооАВ-Х )e-ikлxл-ikнxнdxВe-i(kл +kн )Хл dx АААdxdxВВ3==(Г.19)=Ь) Волновая функция 'l'(хл, х8 ) = о(хл-х8 ) системы в координатном базисе подразумевает, что координаты частиц Алисы иБоба должны быть одинаковыми.
Если Алиса обнаружит своючастицу в точке х0 , то частица Боба будет удаленно приготовленав состоянии с той же координатой, т. е.lx0 ).с) Точно также, поскольку Ф(kл,kв) = 8(kл +k8волнового числаk0l-k0 )ние Боба на(или импульса р 0 =(илиtzk 0 )),получение Алисойспроецирует состояl-p0 ) ).Решение для упражнения 3.28. В отсутствии потенциала гамильтониан является функцией импульса: iI = р 2 / 2М . Поэтому собственное состояниеимпульса автоматически представляет собой энерIP)гетическое собственное состояние с собственным значением ЕСогласно общему решению(1.29) уравнения=р 2 /2М.Шрёдингера, это состояние эволюционирует следующим образом:IР)-нi--EthIP)=e. р2-1-tzюIP)·Предполагая, что волновая функция собственного состояния импульсав момент времениt= О задаетсяволной де Бройля(3.25),его эволюция может быть записана в координатном базисе как(x,t)=(xle'1'IP)_2-Ethi_e:-i_p~tzмh1IP)=--e ,--/27tnРешение для упражнения3.29а) Мы нашли разложение начального волнового пакета в базисеволнового числа в упр.3.25[см.
(Р3.4)]. Перепишем его так:79ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ.Jd +~_ к 2 d2.l'l'CO))=----i/4 Jе-~кае 2 lko +к)dк,(РЗ.б)-7tгде мы определили к= k - ko . Поскольку каждое собственное соС'rояние оператора волнового числа является также собственнымn (ko2+к) 2 /2М,собственнымсгамильтонианасостояниемзначениемимеет место равенство для эволюции состояния1'1'>:.Jd +<ю_.к 2 d2l'l'Ct))=----i/4 J е-1кае 2 е-ih(Jч 1 +к) 2 t2мlko+к)dк.(РЗ.7)-7tб) Перепишем это равенство какl'l'Ct))=~ e-ih2~r7 e-iк(a+h~t)e-к'(~+i2h~)lko +к)dк.(РЗ.8)-7tТеперь снова перепишем этот результат в координатном базисе.Получаем_ .Jd -i~~-тт114 е[-1--J -iк(a+h~t) -к'(~+i 2h~J i(~+к)xd~-.;2тт_еееВыражение в квадратных скобках-к].это обратное преобразование Фурье, что неудивительно, ведь мы переходим от волночислового к координатному базису.
Первая экспонента в приведенном интегралелинейный фазовый множитель, который после-преобразования Фурье переводится, согласно (Г.14), в сдвигкоординаты на а +рая экспонента-nkot / М- движение волнового пакета. Втоэто функция Гаусса, Фурье-образом которойтакже является гауссова функция. Следовательно, результирующая волновая функцияzм (а 2 + i-) е'~хе ( м )'/ ( м) .111(х t) =-е7tl/4.Jd'У'-i мфntм-1/2.-х-а- h~t2d'+i~(РЗ.9)с) Сначала вычислим плотность вероятности, принимая во внимание комплексность гауссовой экспоненты в уравнении (РЗ. 9).Находим:80РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3hkot)'/d '( 1+ м'а•h t )__1_ (~ -1/2 - ( х-а-м)с l+2 4еdvrtМ d2 2tп~tрЭто распределение Га сса с центром в (х)=а+--=а+-0- ишириной Ь=dп2t21+-2Ммd4 •мЧтобы определить дисперсию координаты, воспользуемся упр.
Б.18:(РЗ.10)Решение для упражнения3.30а) В соответствии с уравнением (РЗ.10), ширина гауссова волновогопакета растет при большом t согласно~п\J\ilX 1 - - t .(РЗ.11)MdЬ)Мы можем переписать это как t - ~(ЛХ 2 )Md / 1i • Подставив~(ЛХ 2 ) =10-3 м, d =10-10 ми М"" 10-30 кг, найдем t:::: 1 нс.Для М"" 10-3 кг имеем t :::: 10 18 с, т.
е. порядка возраста Вселенной.с) Согласно уравнению (РЗ.10), искомое время удовлетворяетnt/Md 2 ===1, так что t-lc.Решение для упражнения3.31. Условие, что р 0 много больше неопределенности импульса начального волнового пакета, означает всоответствии с упр.расстояние3.25, чтор0» 1i / d . Инымисловами, пройденноеp 0 t/M много больше, чем lit/Md, т. е. оно много больше,чем ~(ЛХ 2 ), в соответствии с уравнением (РЗ.11).Решение для упражнения3.32.Перепишем стационарное уравнение Шрёдингера81ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯв координатном базисе:и воспользуемся результатом упр.3.22:1i2 d2V(x)\jl(x)-- '; \jl(x) =E\jl(X).2МdxРешение для упражненияное уравнение Шрёдингера1i23.33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
