Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 9

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 9 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 92020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Чтобы совершить переход междукоординатным и импульсным базисами, мы применим обычныйприем-\jf(X)вставим разложение единичного оператора:=(xl\jf)==(xi(IIP)(plctp )1"')== f (xlp)(Pi'l')dp =-(3.25)1 '°"=--Jе',,- \jf(p)dp;'12nli ~.рх73ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ\jl(p)= (р \jl) =1= (pi(Ilx)(xldx )1 'V) =(3.25)-= J(plx)(xl'V)dx =1-.рх=- - f е·'т, \jl(X)dx .../2rtli ~Решение для упражнения-fЧf*(р) ф(р)dр3.151J J е '' \jl. (х)е '' <p(x')dxdx'dp =-J2rtli=-1-77[7 е;р(х;х') dp]\j/· (х) <p(x')dxdx' (Г~9J-t<ю+оо+оо=i~-i~'_=~~2rtli~~ ~=}_'2 ~/iII[2по х ~х')]('V •(х) <p(x')dxdx' =+== J \jl'(x) <p(x)dx.Решение для упражнения3.16.

Вспомним, что вероятность обна­ружить определенное значение импульса равнагде волновая функция Чf(р) в импульсном базисе-это Фурье-образволновой функции \jl(X) в координатном базисе. Поскольку последняядействительна,pr(p)Чf(р)=Чf·(-р)[упр. Г.5, Ь)] и, таким образом,= pr(-p).Матожидание импульса, задаваемое формулой(р)=-fppr(p)dp=O,пропадает, потому что рpr(p) -Решение для упражнения(3.25)74нечетная функция.3.1 7.волны де Бройля, находим:Воспользовавшись определениемРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫлА(р,р') = (vlAlv')3(3.5)=c:;:J JJ (vlx)(xlAlx')(x'lv')dxdx' =Решение для упражненияа) Поскольку потенциал-3.18.это функция координаты, имеет место-fравенствоV(x)=(РЗ.2)V(y)iy)(yidy(где у -переменная интегрирования).

Отсюда следует, чтоV(x,x') = (xl V(x)I х') =-= JV(y)(xly)(ylx')dy == J V(y)8(y-x)8(y-x')dy== V(x)D(x-x').В последнем из приведенных выше уравнений мы воспользова­лись тождеством (Г.5) с а= х иf(у)= V(y)o(y -х'). Это немногонестрого, поскольку (Г.5) предполагает гладкую функциюf( ·).Чтобы сделать эти рассуждения строгими, мы могли бы, к при­меру, заменить о(у- х') гауссовой функцией Gь(У - х') [см.

выра­жение (Г.1)] и взять предел Ь ~О.Ь) Воспользовавшись уравнением (РЗ.2), а также определением(3.25)волны де Бройля, находимV(p,p') = (vlVCx)lv') =-= J V(x)(plx)(xlv')dx=что эквивалентно уравнению (З.41).75ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения3.19.Записав оператор импульса как+~р=JPIP)(pldp, находим7(xlfJlx')= p(xlp)(plx')dp=-1~7pe;*(x-x'Jdp.2тt1i ~Чтобы вычислить этот интеграл, выразим ре,Е(х-х')hОтсюда1d _;Е(х-х')(xlfJlx') =-(-i1i)- 5е h2тt1idx ~d= -i1i-edx,Е(х-х')h(Г.19)=dp=-1-(-i1i)_0_(2тc1i)o(x-x') =2тt1idx= -i1i-°-ocx-x').dxРешение для упражнения3.20.Вставив единичный операторпосле импульса и воспользовавшись результатом упр.3.19, находимI(xl fJI '1') = (xl p(Ilx')(x'ldx' )1'1') = (xl fJlx')(x'l 'lf )dx' ==-i1iI[~ ocx-x')]'lfcx')dx'=-i1i ~[I ocx-x')'lf(x')dx']== -i1i_0_'1f(X).dxРешение для упражнения3.22.

Применяя результаты упр. 3.19 и3.20, получимI(xlfJ 2 l'I') =(xl P(Ilx')(x'ldx' )PI '1') = (xlfJlx')(x'I Pl'lf )dx' ==-i1i I[ ~ о(х-х') ][-i1i :, 'lf(X') ]dx' ==C-i1i)2 ~[I осх-х') : , '1'Cx')dx']=-1i 2 ~[~ 'l'Cx)]=-1i 2 :Решение для упражненияа) Поскольку(xlx=x(xl,(xlЧJl'I') = x(xlfJl'I')763.23(З.44)d= -i1ix-'lf(X).dx2'l'Cx).РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3xl'V)=l<J>); тогда волновая функция этого состояниябудет равна: <р(х) =(xlxl 'VJ =X\jl(x). ПоэтомуЬ) Обозначим(х 1f>.XI 'V) =(xl i> 1<р) =-in_O__<p(x) =dx= -in-°--[x\jl(x)] = -in\jl(x)- inx-°--'V(x).dxdxОбратите внимание, что данное соотношение возможно найтитакже при помощи разложения единичного оператора.

Читательможет попробовать сделать это самостоятельно.с) Воспользовавшись двумя предыдущими результатами, находим:Следовательно, применение оператора [х,р] к любому векторуi'V) эквивалентно умножению этого вектора на in. Делаем выводо том, что [x,pJ= iпi.Решение для упражнениясти(1.21) для любого3.24.

Записав принцип неопределенно­нормированного состоянияi'V), находим('VI л.x2 l'V)('VI лJ32 l'V) ~ il('V inil'V/12 =1=_!_ п2 I('V l'V/12 =4= _!_ 112.4Решение для упражнения3.25а) Плотность вероятности, соответствующая волновой функции(3.51), -это1i'V(x)J 2=-eаГп- (х-а)2dz(Р3.3)что идентично плотности вероятности гауссовой функции (Б.15),нормирование которой мы проверяли в упр. Б.18.Ь) Чтобы снизить количество вычислений, преобразуем сперва изкоординатного базиса в базис волнового числа (вместо импульс­ного).

Применим прямое преобразование Фурье согласно(3.38).77ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Г.14)(х-а)'1=---F[eikoxe-2d'](k)(ттd2 )1;4\ji(k)=)1;41JJ_174~e-i(k-k,,Ja.F[e2d')(k-k)е(Г.16)о(ттd2 )114 е-(где f<o=](k-L-)2 d'-~-1(ттd2(Г.13)_(х-а)'1= (ттd2 )1;4 F[e=Ро )п(Р3.4)=-i(k-k,,)ad -(k-k,,) 2 d2 /2е-i(k-ko)а е -(k-k,, ) d /2 .221tТеперь мы можем переписать результат в импульсном базисе сиспользованием(3.39):(Р3.5)с) В координатном базисе плотность вероятности_(х-а) 2lpr(x)=i'lf(x)l 2 = се d''11tdесть гауссова кривая ширинойd,симметричная относительнох =а. Воспользовавшись результатами упр. Б.18, находим, что(х) =а и (Лх2 ) =d 2 /2.dДля импульсного базиса pr(p) = с е(р)=р 0 и (Лр 2 ) = n2 /2d 2 •(ЛХ2 )(Лр2) = ~_d2(P-Po)2112•Следовательно,'11tftПроизведение неопределенностей равно:'что соответствует минимуму, разрешенному принципом неопре­деленности.Решение для упражнения3.27а) Волновую функцию в импульсном представлении (для удоб­ства мы используем физически идентичное ему представлениев базисе волнового числа) можно найти с использованием стан­дартной формулы конвертации(3.38).необходимо применить и к хА, и к х8 .78Преобразование ФурьеРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ'f(k kА' В)=_!__J _J 'l'(x Х )e-ikлxлe-ikнx•dx27t -~ ~А'1=-JJ8(х27t+оо+~~~1= 27tl+ооАВ-Х )e-ikлxл-ikнxнdxВe-i(kл +kн )Хл dx АААdxdxВВ3==(Г.19)=Ь) Волновая функция 'l'(хл, х8 ) = о(хл-х8 ) системы в координат­ном базисе подразумевает, что координаты частиц Алисы иБоба должны быть одинаковыми.

Если Алиса обнаружит своючастицу в точке х0 , то частица Боба будет удаленно приготовленав состоянии с той же координатой, т. е.lx0 ).с) Точно также, поскольку Ф(kл,kв) = 8(kл +k8волнового числаk0l-k0 )ние Боба на(или импульса р 0 =(илиtzk 0 )),получение Алисойспроецирует состоя­l-p0 ) ).Решение для упражнения 3.28. В отсутствии потенциала гамиль­тониан является функцией импульса: iI = р 2 / 2М . Поэтому собствен­ное состояниеимпульса автоматически представляет собой энер­IP)гетическое собственное состояние с собственным значением ЕСогласно общему решению(1.29) уравнения=р 2 /2М.Шрёдингера, это состоя­ние эволюционирует следующим образом:IР)-нi--EthIP)=e. р2-1-tzюIP)·Предполагая, что волновая функция собственного состояния импульсав момент времениt= О задаетсяволной де Бройля(3.25),его эволю­ция может быть записана в координатном базисе как(x,t)=(xle'1'IP)_2-Ethi_e:-i_p~tzмh1IP)=--e ,--/27tnРешение для упражнения3.29а) Мы нашли разложение начального волнового пакета в базисеволнового числа в упр.3.25[см.

(Р3.4)]. Перепишем его так:79ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ.Jd +~_ к 2 d2.l'l'CO))=----i/4 Jе-~кае 2 lko +к)dк,(РЗ.б)-7tгде мы определили к= k - ko . Поскольку каждое собственное соС'rо­яние оператора волнового числа является также собственнымn (ko2+к) 2 /2М,собственнымсгамильтонианасостояниемзначениемимеет место равенство для эволюции состояния1'1'>:.Jd +<ю_.к 2 d2l'l'Ct))=----i/4 J е-1кае 2 е-ih(Jч 1 +к) 2 t2мlko+к)dк.(РЗ.7)-7tб) Перепишем это равенство какl'l'Ct))=~ e-ih2~r7 e-iк(a+h~t)e-к'(~+i2h~)lko +к)dк.(РЗ.8)-7tТеперь снова перепишем этот результат в координатном базисе.Получаем_ .Jd -i~~-тт114 е[-1--J -iк(a+h~t) -к'(~+i 2h~J i(~+к)xd~-.;2тт_еееВыражение в квадратных скобках-к].это обратное преобразова­ние Фурье, что неудивительно, ведь мы переходим от волночис­лового к координатному базису.

Первая экспонента в приведен­ном интегралелинейный фазовый множитель, который после-преобразования Фурье переводится, согласно (Г.14), в сдвигкоординаты на а +рая экспонента-nkot / М- движение волнового пакета. Вто­это функция Гаусса, Фурье-образом которойтакже является гауссова функция. Следовательно, результирую­щая волновая функцияzм (а 2 + i-) е'~хе ( м )'/ ( м) .111(х t) =-е7tl/4.Jd'У'-i мфntм-1/2.-х-а- h~t2d'+i~(РЗ.9)с) Сначала вычислим плотность вероятности, принимая во вни­мание комплексность гауссовой экспоненты в уравнении (РЗ. 9).Находим:80РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3hkot)'/d '( 1+ м'а•h t )__1_ (~ -1/2 - ( х-а-м)с l+2 4еdvrtМ d2 2tп~tрЭто распределение Га сса с центром в (х)=а+--=а+-0- ишириной Ь=dп2t21+-2Ммd4 •мЧтобы определить дисперсию коор­динаты, воспользуемся упр.

Б.18:(РЗ.10)Решение для упражнения3.30а) В соответствии с уравнением (РЗ.10), ширина гауссова волновогопакета растет при большом t согласно~п\J\ilX 1 - - t .(РЗ.11)MdЬ)Мы можем переписать это как t - ~(ЛХ 2 )Md / 1i • Подставив~(ЛХ 2 ) =10-3 м, d =10-10 ми М"" 10-30 кг, найдем t:::: 1 нс.Для М"" 10-3 кг имеем t :::: 10 18 с, т.

е. порядка возраста Вселен­ной.с) Согласно уравнению (РЗ.10), искомое время удовлетворяетnt/Md 2 ===1, так что t-lc.Решение для упражнения3.31. Условие, что р 0 много больше нео­пределенности импульса начального волнового пакета, означает всоответствии с упр.расстояние3.25, чтор0» 1i / d . Инымисловами, пройденноеp 0 t/M много больше, чем lit/Md, т. е. оно много больше,чем ~(ЛХ 2 ), в соответствии с уравнением (РЗ.11).Решение для упражнения3.32.Перепишем стационарное урав­нение Шрёдингера81ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯв координатном базисе:и воспользуемся результатом упр.3.22:1i2 d2V(x)\jl(x)-- '; \jl(x) =E\jl(X).2МdxРешение для упражненияное уравнение Шрёдингера1i23.33.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее