Главная » Просмотр файлов » Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 10

Файл №1238819 Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 10 страницаРешения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819) страница 102020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Мы можем переписать стационар­(3.60) какd22М dx2 \jl(X) =(Vo - E)\jl(x)'(Р3.12)что можно упростить доd2- 2 \jl(X)dx= K2\j/(X)'где к= ~2M(V0 - Е) /п не зависит от х. У этого дифференциальногоуравнения второго порядка два линейно независимых решения:\jl(X)=Aeкx +ве-кх.(Р3.13)Множитель к действителен только в том случае, если Е< V0 ,т. е. пол­ная энергия ниже уровня потенциальной. В противном случае к стано­вится мнимым, и (Р3.13) принимает вид волны де Бройля(Р3.14)где k = iк = ~2М(Е - V0 ) / 1i - это действительное волновое число.Решение для упражнениягде Vтinл3.34.Рассмотрим оператор Н - Vтin,- минимальное значение V(x).

Этот оператор - операторэнергии(3.55) -функцийjiпредставляет собой сумму двух неотрицательных/2М и V(x)-Vтin импульса и координаты соответ­ственно и, следовательно, тоже неотрицателен (упр. А. 73, А.87).Такой оператор не может иметь отрицательных собственных значе­ний (упр. А. 72). А значит, у оператораменьших V ..mш82fIнет собственных значений,РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения3Обратимся вновь к уравнению3.35.(РЗ.12). Если и V(x), и \jf(x) конечны при любыхх, то конечна и праваячасть этого уравнения. Это означает, что d 2\jf(x)/ dx 2 тоже конечно прилюбыхх.

Такой вывод подразумевает, в свою очередь, что первая про­изводная волновой функции непрерывна при всех х. Следовательно,\jf(x)тоже должна быть непрерывна при всех х.Решение для упражнения3.36.Предположим, что у некоторогогамильтониана существует собственное состояниеl'Jf)с собственнымзначением Е, которое не может быть выражено в виде линейной ком­бинации собственных состояний с действительными волновыми функ­циями. Запишем волновую функцию этого состояния как сумму дей­ствительной и мнимой частей:\jf(X) = \jf 1(x) + i\jf 2(x), где 'Jf 1 /x) Е R.Тогда стационарное уравнение Шрёдингера (З.60) принимает вид:tz2 d22 М dx 2 ['1' 1 (х) + i\jf 2(х)] = [V(x)- Е][ \jf 1 (х) + i\jf 2(х)].Это уравнение удовлетворяется, потому чтоl'Jf) -собственное состоя­ние гамильтониана с собственным значением Е.

Взяв действительныеи мнимые части обеих сторон этого уравнения, находим, что и\jf 1 (x),и\jf2(x) удовлетворяют ему, поэтому соответствующие состояния l'Jf1 ) иl'Jf2) также являются собственными состояниями fI с собственным зна­чением Е. А значит, состояние l'Jf) можно выразить как линейную ком­бинацию l'Jf) = 1'1') + il'Jf2) энергетических собственных состояний сдействительными собственными значениями. Получено противоречие.Решение для упражнения3.37.

Аргументация аналогична преды­дущему упражнению. Рассмотрим энергетическое собственное состо­яние\jf(x)l'Jf)с собственным значением Е и волновой функцией\jf(X). Еслиудовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера с четнымпотенциалом, то\jf(-x) также удовлетворяет ему. Чтобы убедиться вэтом, заменим хна -х в стационарном уравнении Шрёдингера(3.60):tz2d22M-d(---x)-2 'Jf(-x) = [V(-x)-E]\jf(-x).Поскольку наш потенциал четный,производная имеет свойствоV(-x) = V(x). Кроме того, втораяd2d22 = --2 .

Следовательно,d( -х)dxприведен-ное уравнение можно переписать как83ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯh2d2- 2 \jl(-x)2Mdx=[V(x)-E]\jl(-x),так что состояние l'!Г) с волновой функцией\jl(-x) тоже являетсясоб­ственным состоянием данного гамильтониана.Это означает, что состояния1'1'12 )=1'1') ±l'!Г) также собственныесостояния гамильтониана с той же энергией.

Более того,четную волновую функцию, а1'1'2 )1'1'1 )имеетнечетную. Поэтому состояние-1'1')можно выразить в виде следующей линейной их комбинации:1'"') = 2 (1 '1'1 ) + ' "'2 ) ) •Решение для упражнения3.38.Как говорилось в упр.3.33, энер­гии Е ниже постоянного уровня потенциалаV0 связаны с собствен­ными волновыми функциями \jl(x) = Ае±к:х, где к= ~2M(V0 - Е) / h .Из-за условий нормирования у волновых функций не может быть ком­понентов, экспоненциально возрастающих на бесконечности, поэтомудолжно выполняться соотношение\jl(x) ~ {ле-""' прих ~ +ооА'е""' при х ~ --ооИными словами,\jl(X)~ О приlxl~ ±оо, так что имеет место связан­ное состояние.Напротив, когда энергия превышает потенциал на бесконечности,то собственные волновые функции стремятся к \jl(x) ~ Ае;ь-+ A'e-ikxпри k= ~2M(E-V0 ) / h.

Если по крайней мере один из множителей Аили А' не исчезает, то состояние не связанно.Решение для упражнения3.39.Запишем обобщенное решениестационарного уравнения Шрёдингера в этом потенциале с использо­ванием результата упр.3.33:В1 е""' + В2 е-ю:, х <-а/ 2\jl(x)= { А1 coskx+~sinkx,В3 е""'+ В4 е-к:х,-а/25'х5'а/2х >а/(Р3.15)2Мы можем сразу же исключить слагаемые В2 е-""' и В3 е""', которыеэкспоненциально84pac'IYI' при х ~±оо и потому нефизичны.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Далее, поскольку потенциал есть четная функция от х, достаточно (какмы выяснили в упр.3.37) искать четные и нечетные решения стационар­ного уравнения Шрёдингера.

Рассмотрим два эти случая по отдельности.Запишем общее нечетное решение как!-Векх, х<-а/2\jl(x) = Asinkx, -а /2 5, х 5, а /2ве-кх'(Р3.16)х >а/ 2с действительными А и В иk=1(Г2МЕ1i(Р3.17а)'~2M(V0 -Е)=1i.(Р3.17Ь)Поскольку потенциал конечен, то как волновая функцияи ее производная'V'(x)\j/(x), такдолжны быть непрерывны. Записав эти усло­= а/2, находимвия для границы ямы хА sin kx lx=a/2 = ве-кх lx=a/2 ;илиА sin ka = ве-"а 12 •2'kaАkсоs-=-кВе-ка/ 22(Р3.18)•Условие непрерывности для х(Р3.19)= -а/2 дает тот же набор уравнений.Эти уравнения ограничивают множество значений энергии, прикоторых стационарное уравнение Шрёдингера имеет решение. Чтобыубедиться в этом, разделим уравнения (Р3.18) и (Р3.19) друг на друга.Получаемkaк(Р3.20)ctg2=-k.Данное уравнение устанавливает связь междуkи к.

Еще одно соотно­шение между этими величинами следует из уравнений (Р3.17), которые85ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯможно включить в наши вычисления следующим образом. Обозначимka/2 = 0 и ка/2 = 01• Тогда из упомянутых уравнений мы можем получить:где(РЗ.21)Уравнение (РЗ.20) теперь принимает виде1(РЗ.22)ctg0=--eили~•(РЗ.23)-ctge = ~вz- J.Последнее уравнение содержит только одну неизвестную перемен­ную,0, связанную с собственным значением энергии.

К сожалению, онотрансцендентно и не может быть решено в элементарных функциях.е181161-ctg8111142//32;ir7t7t27237t82Рис. РЗ.1. Графическое решение трансцендентных уравнений (Р3.23) и(Р3.27). Левые части показаны пунктирными линиями, правыеЗначения8600 = 3/2 и 00 = 7/2 дают V09 li 2=- - -22Маи49 li 2V0 =- - 22 Ма-сплошными.соответственно.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Общее четное решение задается выражениемВекх, Х<-а/2'Jf(X)= { Acoskx,ве-кх'-а/2<;,х5,а/2(Р3.24)х >а/ 2По аналогии с нечетным решением находим условия непрерывностина границах ямыkaАсоs-=Ве-ка12(Р3.25)•'2-Aksin ka = -кВе-ка/ 22(Р3.26)'и трансцендентное уравнение для8~(Р3.27)tg8=~02-1.Построив левые и правые части трансцендентных уравнений(Р3.23) и (Р3.27) как функций от8,получим графическое решение,показанное на рис.

Р3.1. Соответствующие энергии и примеры волно­вых функций изображены на рис.3.2.Остается ответить на вопрос о зависимости числа связанных состо­яний отV0 •Как видно из рис. Р3.1, существуеттрансцендентных уравнений приNрешений для обоих(N - l):ri:/2 < 8 0 < N:ri:/2. Это соответ­ствует неравенству(лhN) 2[лn(N -1)] 2 V-----< <--2Ма2°2Ма 2Решение для упражнения3.40.ЕслиV0бесконечна, то беско­нечны и правые части уравнений (Р3.23) и (Р3.27). Тангенс в урав­нении (Р3.27) принимает положительное бесконечное значение при8 = (2j + l):ri:/2, а отрицательный котангенс в уравнении (Р3.23) - при8 = :ri:j, где j - произвольное натуральное число. То есть общее реше­ние в пределе V0 ~ со можно записать как 8 = n:ri:/2, где п - произволь­ное натуральное число: четное п = 2j дает нечетное решение, а нечет­ное п = 2j + 1 - четное.

Применяя 8 = ka/2, находим значения волно­вого числа kn = n:ri:/ а, которые соответствуют собственным значениямэнергии87ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯПодставляя этот результат в уравнения (Р3.18) и (Р3.25), определяем,что колеблющиеся части волновых функций внутри ямы'l'п(х)=!Asin( п: ). четное пAcos( п: ). нечетное побнуляются при х(Р3.28)= ±а/2. Из этого следует, что В= О как для четного, таки для нечетного случаев и что волновая функция вне ямы обнуляется.Теперь мы можем найти постоянную нормирования А.

Для этогопроинтегрируем квадрат абсолютной величины волновой функции подействительной оси. Находим и для четных, и для нечетных решений....,J l'l'Cx)lа/22J l'l'Cx)l2 dx =IAl 2 ~,dx =-а/2т. е. A=,J2/a.Решение для упражнения3.41. Поскольку потенциал есть четнаяфункция от х, мы можем ограничиться четными и нечетными волно­выми функциями. При х *О потенциал равен нулю. Тогда энергиясвязанного состояния должна быть отрицательна, а общее нечетноерешение иметь вид\jf(X) = {-Ве''Х,ве-кх,х <0(Р3.29)х>Опри к= ,J2M(-E) / h. Эта функция не имеет разрыва в точке х = О,только если В= О (т. е.\jf(X) =О);следовательно, такая функция нефи­зична.Четное решение задается формулой\jf(X) = {Ве'°',ве-'°',х <0х>О.(Р3.30)(Р3.30) верно для произвольного к при всех значениях х, кроме нуле­вого. При х88= О его производная имеет разрыв:РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫЛ\j/'(х) lx=o= -2Вк.3(Р3.31)Здесь нет противоречия с условием непрерывности волновой функ­ции (упр.3.35), потому что потенциал сингулярен при х = О.

Однако,как мы увидим далее, амплитуда потенциала налагает на разрыв про­изводной волновых функций условие, которое выполняется толькодля определенных значений к.Проинтегрируем обе стороны стационарного уравнения Шрёдин­гера(3.60)по бесконечно малому интервалу вокруг х= О:li2 d 2-J-2 \j/(X)= f[E-V(x)]\jf(X).dx-0-+{)-+{)(Р3.32)-02МВоспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, а также уравне­нием (Г.9), находимli2-2М Л\j/'(х) lx=o= Wo \jl(O).Подставив в эту формулу(Р3.33)\j/(O) =В, а также уравнение (Р3.31), видим,что к= W0 M / li 2 и таким образом(liк) 2MW02Е=---=--2М21i 2•Теперь найдем коэффициент нормирования.

Поскольку яма бес­конечно узкая, нам достаточно принять во внимание только ту частьволновой функции, которая расположена вне ее. Из системы уравне­ний (Р3.30) получаем71\j/(X)21dx=2B2~j е-2кхdх= В2'отак что В= JК(Р3.34)1(.Решение для упражнения3.42.ПосколькуV0 a = W 0 ,мы можемпереписать (Р3.21) какео=~2MW0 Га.li2Так как а стремится к нулю, а(Р3.35)W0 постоянно, 8 0 тоже стремится к нулю.Сплошные кривые на рис. Р3.1 сжимаются в вертикальную линию89ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯрядом с вертикальной осью. Поэтому имеет место только одно, четное,энергетическое собственное состояние, и мы переписываем (Р3.27) сучетом того факта, чтоtg еz е для малых0:0=~ 028 ~-1(Р3.36)или(Р3.37)Следовательно,02 -1±~1+40~=--~-2Разложим последнее решение в ряд Тейлора по малому параметру0~ до второй степени (причина, по которой это необходимо, вскорестанет ясна): ~1+40~ "'1+20~ -20~.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,44 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее