Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Мы можем переписать стационар(3.60) какd22М dx2 \jl(X) =(Vo - E)\jl(x)'(Р3.12)что можно упростить доd2- 2 \jl(X)dx= K2\j/(X)'где к= ~2M(V0 - Е) /п не зависит от х. У этого дифференциальногоуравнения второго порядка два линейно независимых решения:\jl(X)=Aeкx +ве-кх.(Р3.13)Множитель к действителен только в том случае, если Е< V0 ,т. е. полная энергия ниже уровня потенциальной. В противном случае к становится мнимым, и (Р3.13) принимает вид волны де Бройля(Р3.14)где k = iк = ~2М(Е - V0 ) / 1i - это действительное волновое число.Решение для упражнениягде Vтinл3.34.Рассмотрим оператор Н - Vтin,- минимальное значение V(x).
Этот оператор - операторэнергии(3.55) -функцийjiпредставляет собой сумму двух неотрицательных/2М и V(x)-Vтin импульса и координаты соответственно и, следовательно, тоже неотрицателен (упр. А. 73, А.87).Такой оператор не может иметь отрицательных собственных значений (упр. А. 72). А значит, у оператораменьших V ..mш82fIнет собственных значений,РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения3Обратимся вновь к уравнению3.35.(РЗ.12). Если и V(x), и \jf(x) конечны при любыхх, то конечна и праваячасть этого уравнения. Это означает, что d 2\jf(x)/ dx 2 тоже конечно прилюбыхх.
Такой вывод подразумевает, в свою очередь, что первая производная волновой функции непрерывна при всех х. Следовательно,\jf(x)тоже должна быть непрерывна при всех х.Решение для упражнения3.36.Предположим, что у некоторогогамильтониана существует собственное состояниеl'Jf)с собственнымзначением Е, которое не может быть выражено в виде линейной комбинации собственных состояний с действительными волновыми функциями. Запишем волновую функцию этого состояния как сумму действительной и мнимой частей:\jf(X) = \jf 1(x) + i\jf 2(x), где 'Jf 1 /x) Е R.Тогда стационарное уравнение Шрёдингера (З.60) принимает вид:tz2 d22 М dx 2 ['1' 1 (х) + i\jf 2(х)] = [V(x)- Е][ \jf 1 (х) + i\jf 2(х)].Это уравнение удовлетворяется, потому чтоl'Jf) -собственное состояние гамильтониана с собственным значением Е.
Взяв действительныеи мнимые части обеих сторон этого уравнения, находим, что и\jf 1 (x),и\jf2(x) удовлетворяют ему, поэтому соответствующие состояния l'Jf1 ) иl'Jf2) также являются собственными состояниями fI с собственным значением Е. А значит, состояние l'Jf) можно выразить как линейную комбинацию l'Jf) = 1'1') + il'Jf2) энергетических собственных состояний сдействительными собственными значениями. Получено противоречие.Решение для упражнения3.37.
Аргументация аналогична предыдущему упражнению. Рассмотрим энергетическое собственное состояние\jf(x)l'Jf)с собственным значением Е и волновой функцией\jf(X). Еслиудовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера с четнымпотенциалом, то\jf(-x) также удовлетворяет ему. Чтобы убедиться вэтом, заменим хна -х в стационарном уравнении Шрёдингера(3.60):tz2d22M-d(---x)-2 'Jf(-x) = [V(-x)-E]\jf(-x).Поскольку наш потенциал четный,производная имеет свойствоV(-x) = V(x). Кроме того, втораяd2d22 = --2 .
Следовательно,d( -х)dxприведен-ное уравнение можно переписать как83ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯh2d2- 2 \jl(-x)2Mdx=[V(x)-E]\jl(-x),так что состояние l'!Г) с волновой функцией\jl(-x) тоже являетсясобственным состоянием данного гамильтониана.Это означает, что состояния1'1'12 )=1'1') ±l'!Г) также собственныесостояния гамильтониана с той же энергией.
Более того,четную волновую функцию, а1'1'2 )1'1'1 )имеетнечетную. Поэтому состояние-1'1')можно выразить в виде следующей линейной их комбинации:1'"') = 2 (1 '1'1 ) + ' "'2 ) ) •Решение для упражнения3.38.Как говорилось в упр.3.33, энергии Е ниже постоянного уровня потенциалаV0 связаны с собственными волновыми функциями \jl(x) = Ае±к:х, где к= ~2M(V0 - Е) / h .Из-за условий нормирования у волновых функций не может быть компонентов, экспоненциально возрастающих на бесконечности, поэтомудолжно выполняться соотношение\jl(x) ~ {ле-""' прих ~ +ооА'е""' при х ~ --ооИными словами,\jl(X)~ О приlxl~ ±оо, так что имеет место связанное состояние.Напротив, когда энергия превышает потенциал на бесконечности,то собственные волновые функции стремятся к \jl(x) ~ Ае;ь-+ A'e-ikxпри k= ~2M(E-V0 ) / h.
Если по крайней мере один из множителей Аили А' не исчезает, то состояние не связанно.Решение для упражнения3.39.Запишем обобщенное решениестационарного уравнения Шрёдингера в этом потенциале с использованием результата упр.3.33:В1 е""' + В2 е-ю:, х <-а/ 2\jl(x)= { А1 coskx+~sinkx,В3 е""'+ В4 е-к:х,-а/25'х5'а/2х >а/(Р3.15)2Мы можем сразу же исключить слагаемые В2 е-""' и В3 е""', которыеэкспоненциально84pac'IYI' при х ~±оо и потому нефизичны.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Далее, поскольку потенциал есть четная функция от х, достаточно (какмы выяснили в упр.3.37) искать четные и нечетные решения стационарного уравнения Шрёдингера.
Рассмотрим два эти случая по отдельности.Запишем общее нечетное решение как!-Векх, х<-а/2\jl(x) = Asinkx, -а /2 5, х 5, а /2ве-кх'(Р3.16)х >а/ 2с действительными А и В иk=1(Г2МЕ1i(Р3.17а)'~2M(V0 -Е)=1i.(Р3.17Ь)Поскольку потенциал конечен, то как волновая функцияи ее производная'V'(x)\j/(x), такдолжны быть непрерывны. Записав эти усло= а/2, находимвия для границы ямы хА sin kx lx=a/2 = ве-кх lx=a/2 ;илиА sin ka = ве-"а 12 •2'kaАkсоs-=-кВе-ка/ 22(Р3.18)•Условие непрерывности для х(Р3.19)= -а/2 дает тот же набор уравнений.Эти уравнения ограничивают множество значений энергии, прикоторых стационарное уравнение Шрёдингера имеет решение. Чтобыубедиться в этом, разделим уравнения (Р3.18) и (Р3.19) друг на друга.Получаемkaк(Р3.20)ctg2=-k.Данное уравнение устанавливает связь междуkи к.
Еще одно соотношение между этими величинами следует из уравнений (Р3.17), которые85ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯможно включить в наши вычисления следующим образом. Обозначимka/2 = 0 и ка/2 = 01• Тогда из упомянутых уравнений мы можем получить:где(РЗ.21)Уравнение (РЗ.20) теперь принимает виде1(РЗ.22)ctg0=--eили~•(РЗ.23)-ctge = ~вz- J.Последнее уравнение содержит только одну неизвестную переменную,0, связанную с собственным значением энергии.
К сожалению, онотрансцендентно и не может быть решено в элементарных функциях.е181161-ctg8111142//32;ir7t7t27237t82Рис. РЗ.1. Графическое решение трансцендентных уравнений (Р3.23) и(Р3.27). Левые части показаны пунктирными линиями, правыеЗначения8600 = 3/2 и 00 = 7/2 дают V09 li 2=- - -22Маи49 li 2V0 =- - 22 Ма-сплошными.соответственно.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3Общее четное решение задается выражениемВекх, Х<-а/2'Jf(X)= { Acoskx,ве-кх'-а/2<;,х5,а/2(Р3.24)х >а/ 2По аналогии с нечетным решением находим условия непрерывностина границах ямыkaАсоs-=Ве-ка12(Р3.25)•'2-Aksin ka = -кВе-ка/ 22(Р3.26)'и трансцендентное уравнение для8~(Р3.27)tg8=~02-1.Построив левые и правые части трансцендентных уравнений(Р3.23) и (Р3.27) как функций от8,получим графическое решение,показанное на рис.
Р3.1. Соответствующие энергии и примеры волновых функций изображены на рис.3.2.Остается ответить на вопрос о зависимости числа связанных состояний отV0 •Как видно из рис. Р3.1, существуеттрансцендентных уравнений приNрешений для обоих(N - l):ri:/2 < 8 0 < N:ri:/2. Это соответствует неравенству(лhN) 2[лn(N -1)] 2 V-----< <--2Ма2°2Ма 2Решение для упражнения3.40.ЕслиV0бесконечна, то бесконечны и правые части уравнений (Р3.23) и (Р3.27). Тангенс в уравнении (Р3.27) принимает положительное бесконечное значение при8 = (2j + l):ri:/2, а отрицательный котангенс в уравнении (Р3.23) - при8 = :ri:j, где j - произвольное натуральное число. То есть общее решение в пределе V0 ~ со можно записать как 8 = n:ri:/2, где п - произвольное натуральное число: четное п = 2j дает нечетное решение, а нечетное п = 2j + 1 - четное.
Применяя 8 = ka/2, находим значения волнового числа kn = n:ri:/ а, которые соответствуют собственным значениямэнергии87ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯПодставляя этот результат в уравнения (Р3.18) и (Р3.25), определяем,что колеблющиеся части волновых функций внутри ямы'l'п(х)=!Asin( п: ). четное пAcos( п: ). нечетное побнуляются при х(Р3.28)= ±а/2. Из этого следует, что В= О как для четного, таки для нечетного случаев и что волновая функция вне ямы обнуляется.Теперь мы можем найти постоянную нормирования А.
Для этогопроинтегрируем квадрат абсолютной величины волновой функции подействительной оси. Находим и для четных, и для нечетных решений....,J l'l'Cx)lа/22J l'l'Cx)l2 dx =IAl 2 ~,dx =-а/2т. е. A=,J2/a.Решение для упражнения3.41. Поскольку потенциал есть четнаяфункция от х, мы можем ограничиться четными и нечетными волновыми функциями. При х *О потенциал равен нулю. Тогда энергиясвязанного состояния должна быть отрицательна, а общее нечетноерешение иметь вид\jf(X) = {-Ве''Х,ве-кх,х <0(Р3.29)х>Опри к= ,J2M(-E) / h. Эта функция не имеет разрыва в точке х = О,только если В= О (т. е.\jf(X) =О);следовательно, такая функция нефизична.Четное решение задается формулой\jf(X) = {Ве'°',ве-'°',х <0х>О.(Р3.30)(Р3.30) верно для произвольного к при всех значениях х, кроме нулевого. При х88= О его производная имеет разрыв:РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫЛ\j/'(х) lx=o= -2Вк.3(Р3.31)Здесь нет противоречия с условием непрерывности волновой функции (упр.3.35), потому что потенциал сингулярен при х = О.
Однако,как мы увидим далее, амплитуда потенциала налагает на разрыв производной волновых функций условие, которое выполняется толькодля определенных значений к.Проинтегрируем обе стороны стационарного уравнения Шрёдингера(3.60)по бесконечно малому интервалу вокруг х= О:li2 d 2-J-2 \j/(X)= f[E-V(x)]\jf(X).dx-0-+{)-+{)(Р3.32)-02МВоспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, а также уравнением (Г.9), находимli2-2М Л\j/'(х) lx=o= Wo \jl(O).Подставив в эту формулу(Р3.33)\j/(O) =В, а также уравнение (Р3.31), видим,что к= W0 M / li 2 и таким образом(liк) 2MW02Е=---=--2М21i 2•Теперь найдем коэффициент нормирования.
Поскольку яма бесконечно узкая, нам достаточно принять во внимание только ту частьволновой функции, которая расположена вне ее. Из системы уравнений (Р3.30) получаем71\j/(X)21dx=2B2~j е-2кхdх= В2'отак что В= JК(Р3.34)1(.Решение для упражнения3.42.ПосколькуV0 a = W 0 ,мы можемпереписать (Р3.21) какео=~2MW0 Га.li2Так как а стремится к нулю, а(Р3.35)W0 постоянно, 8 0 тоже стремится к нулю.Сплошные кривые на рис. Р3.1 сжимаются в вертикальную линию89ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯрядом с вертикальной осью. Поэтому имеет место только одно, четное,энергетическое собственное состояние, и мы переписываем (Р3.27) сучетом того факта, чтоtg еz е для малых0:0=~ 028 ~-1(Р3.36)или(Р3.37)Следовательно,02 -1±~1+40~=--~-2Разложим последнее решение в ряд Тейлора по малому параметру0~ до второй степени (причина, по которой это необходимо, вскорестанет ясна): ~1+40~ "'1+20~ -20~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
