Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 14
Текст из файла (страница 14)
А(j,N;)(t),j=Oгде С- это постоянный коэффициент, а каждыйАИ,О(t)1раторовллA 1 (t), ... ,~(t).-один из опе-Подставив выражение для эволюции Гейзен-берга этих операторов, находимf (А.1 (t), .. ., А.т Ct)) ==f cj [ cJtct)A.cj,l)co)uct)][ cJt(t)A.и· 2 Jco)uCt)J. .. [cJt(t)Au,N;)(o)UCt)]=J=O= L CjU' (t )А (j,lJ (О)А (j, 2 J(О) ... А (j,Nj J(O)U(O) =j=O=U' (t)[~ cjA.(j,l)(O)A(j, 2 )(0) ..
.A(j,Nj )(0) ]uct) == u' (t)f (А СО), .. .,A.m(o))uct) == u' (t )B(O)U(t) == B(t).119ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения[x(t), f>Ct )J3.84= x(t)f>Ct )- f>Ct)x(t) =i"-Ht= eh1"-Нt= ehi"-Ht= ehi"х(О)е--Нthi"-Htehi"р(О)еi"х(О)р(О)е--Hth[х(О),р(О)]еi"--Нth-Ht-ehi"р(О)еi"-Нt-ehi"--Нth--Нthi"-Htehi"х(О)е--Hth=i"р(О)х(О)е--Нth=== ili.Решение для упражнения3.85.Подставляя решениегамильтониан (3.83) и используя ro = Ш, находимi>C о2к.хе t(3.131)в)2--+--=2М2=~[x(O)cosrot +-1-f>(O)sin rot] 2 +-1-[f>(O)cosrot-~x(O)sinrot] 2 =2р(О) 2Mro2МroкХ(О) 2=--+--2М2Решение для упражнения3.86.
Уравнение Гейзенберга для координаты и импульса принимает видЭволюция для момента времени t 0 = х0 /~ приведет к смещению(3.143).Решение для упражнения3.87. Оператор смещения -комплексная экспонента эрмитова оператора, поэтому она унитарна согласноупр. А.92. Отсюда .Ь;(х)=D; 1 (х). Далее, воспользовавшись (3.145),находимследовательно, D)-x)=D; 1 (x).120РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияа) Сначала перепишемlx)33.88в импульсном базисе:Каждое собственное состояниеIP) оператора импульса являетсятакже собственным состоянием оператора e-iPxofh. Поэтому приведенное выше выражение можно переписать какЬ) Обозначая волновую функцию смещенного состояния как 'Vd(x),находим:'V d(x) = (xl e-if>xo/h1'1') =7= (xle-iPxu/h lx')(x'l'l')dx' сз~бJ-= J Ь(х' +х0 -X)\jl(X')dx' == \jl(X-X0 ).с) Это следует непосредственно из упр.
А.85.d) Если-l'V)= J\jl(p)lp)dp, тоe-iPxo/h l'V)=-Je-ipxo/h\jl(p)lp)dp.(РЗ.95)Волновая функция этого состояния в импульсном базисе-\jld(p)= e-ipxo/h\jl(p).Решение для упражненияа) Впредставлении3.89Гейзенбергаимеютместоравенстваx(t)=x(O)+x0 и p(t)= р(О). Отсюда121ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯиВ представлении Ш рёдингера мы можем утверждать, что,поскольку оператор смещает всю волновую функцию на х0 (рис.3.12), он должен также добавлять х0 к среднему значению координаты.
Формально это можно выразить следующим образом.Для среднего значения координаты в состоянии l'V d) = е ~ifJXo /h l 'V)-получаем:(x)= J xl\jf(x-x0 )l 2 dx=1jfd)1= J (x-x 0 )1\jf(X-X0 )12dx+x0-J l\jf(X-X0 )1(Р3.96)2dxПервый член в данном выражении равен(x) 1j1)1(мы можем убедиться в этом, заменив переменную интегрирования на х' = х - х0 ).Второй член равен х0 , потому что волновая функция нормированна.Для вычисления среднего импульса заметим, что из упр.3.88, d)вытекает l\j/ d (р )1 = l\j/Cp )1 , отсюда(p)lljfd)==2-f2f Pl\jld(p)l 2 dp=(Р3.97)Pl\j/(p)l 2 dp ==(p)lljf).Ь) Идентичность неопределенностей координаты и импульса у смещенного и исходного состояний опять же интуитивно понятна(рис.3.12).Строго это можно доказать следующим образом.В представлении Гейзенберга:( ЛХ(t )2 )=(x(t) 2 )-(x(t) )2 == ((х(О)+ Х0 ) 2 )-С(х(О)) + Х 0 ) 2 == ( х(0) 2 ) + 2х0(х(О)) + х; -(х(О)) 2 -2х0 (х(О))-х;= (хСО) 2 )-(х(О)) 2 == (лх(О) 2 )122=РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3и(лp(t)2)=(vCt)2)-(vC0)2=(р(О)2)-(р(О))2===(лр(О) 2 ).В представлении Шрёдингера мы имеем для координаты(лx2)l'l'd) = J(x-(x)l'l'd)) l'l'd(x)lz dx=-=2f (x-(x)l'll)-xo)2 l'V(X-Xo)l2 dxx'=~-xu-2= J(x'-(x)1'1')) l'V(x')l 2dx'=(РЗ.98)= (лх2) 1'1').и импульса= f (v-(v) '1')) lo/Cv)l 2dp=-21(РЗ.99)=(Лpz)l'I').Решение для упражнениягично проведенному для упр.eiXPo /h17 Х)lx)dx =р) = _1_ eiXpo /h2ттп=-1-7eix(p+po)/112ттп ~3.90.
Доказательство3.88. К примеру:eipx/h-~1ведется аналоdx == lv)+ Ро·123ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения3. 91а) Аналогично случаю, рассмотренному в упр.3.88,с), действиеоператора смещения импульса в координатном базисе соответствует умножению на комплексную экспоненту:Здесь мы воспользовались тем, что векторсостояние оператора(xl - собственноеeipox/h.Ь) Подействуем оператором смещения координаты на состояниеeipoxfh1'1'), волновую функцию которого мы нашли в пункте а).Это даст нам сдвиг аргумента на х0 , т. е. состояние с волновойфункциейс) Применив сначала оператор смещения координаты к состояниюмы получим состояние с волновой функциейl'JI),'Jl(X -х0 ).Последующее применение смещения импульса умножает этуволновую функцию на[мы выяснили это в пункте а)], поэeipox/hтомуРешение для упражнения3.92.Уравнение (З.148) непосред-ственно получается из формулы Бейкера(А.54),еслилустановитьi-лА=-р 0 хп1 л л1с= i[A,B] = hx0 p 0 •Хаусдорфаилi-КэмпбеллалВ=--х0 р.пТогдаРешение для упражнения 3.
93. Гамильтониан, дающий смещениев фазовом пространстве, равен Н = Px.P-Pi, где Рх = x0 /t0 и РР = p 0 /t0 ,а t0 -продолжительность его действия. И в самом деле, в данном случае мы имеем в представлении Гейзенбергаd лi [ л л]i р-х=- н х =dtпп хd лdt'124·х'i А с· ) А~п ='"' .' =--'"'п ррi [ л л]-р=- н рп(-in. )= рРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражнения3. 94. Чтобы убедиться в том, что векторi.е--Hth13,х) является собственным вектором оператора х подвергнем егодействию этого оператора.хе_i_fft_i_ift i_ift_i_ifth х) = е h е h хе h х)1(3.149)=(З.149)=1_i_iftе h f(x,t)lx)=i.=е--Hthj(x,t)lx)=i.--Ht= j(x,t)e h lx).В третьем равенстве мы воспользовались тем, что собственное состояние оператора с собственным значением х представляет собой такжесобственное состояние функции этого оператора с собственным значением.f{х,t) (упр.
А.85). Результат этого вычисления показывает, чтоi •действие оператора х на вектор ескаляр ftx,t),--Hth1х) эквивалентно умножению начто и требовалось доказать.Решение для упражнения3.95.функция, скалярное произведениеПосколькуftx, t) -(JCx,t)IJCx',t))принимает ненулевые значения только в бесконечно малом интервале хftx', t)в окрестности х какftх',t):::: ftx, t) + f'(x, t)(х'-:::: х'.3.96.Разложивх), находим\JCx,t)IJCx',t)) = o(JCx,t)- JCx',t)) == o(f 'cx,t)Cx-x'))Решение для упражненияобратимая(r.бJ ()(х=-х')гсх,о .Применив (З.150) к произвольным х их' и взяв скалярные произведения обеих частей двух получившихся уравнений, получаем:(xlx') = IKCx,t)l 2 (JCx,t)IJCx',t)).Теперь, используя(РЗ.100)(xlx') = о(х-х'), а также (З.151), приходим к искомому результату.Решение для упражнения(3.150) для3.97.Мы можем записать уравнениеотрицательного времени следующим образом:i.-Htehlx)= K(x,-t)IJCx,-t)).125ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯВзяв теперь сопряженные для обеих частей данного уравнения и воспользовавшись определением волновой функции, запишем'lf(x,t) = (xl'lf(t)) =(xle-iйri'lf(O)) = K'(x,-t)(JCx,-t)i'lf(O))=.= K'(x,-t)'lf(j(x,-t),O)i'Решение для упражнения3.
98.Пусть оператор эволюциисоответствующий отрицательному временироны(3.150).i"-Нt,действует на обе стоПолучаемi"'i"--Hteh е h-t,-Нteh-Нtlx) = K(x,t)eh IJCx,t)) = K(x,t)K(x,-t)IJCJCx,t),-t)).lx) для любого х. Это означает, чтоK(x,t)K(x,-t)=l.f(x,-t)=f- 1 (x,t)] иЛевая часть этого уравнении равнаf(f(x,t),-t)=x[т. е.Объединяя последний результат с уравнением(3.152),находим, что1кcx,-t)i2 = IJ'C~,t)I.Решение для упражненияи3.99.Объединяя результаты упр.3.973.98, получаемРешение для упражнения3.100. Заметим, что оператор смещенияв перемасштабированных переменных можно записать как эволюциюл"АD ХР (Х0' Р,О ) = eiPoX-iXoPi'h= е --Ht•(Р3.101)гдесw = 1/t. Следовательно,(Р3.102)Операторы координаты и импульса эволюционируют под действием гамильтониана в представлении Гейзенберга в соответствии с126РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫdлiл.ллл-Х=-[Н,Х]=1юХ0 [Р,Х]dtdл1iiлл-Р =-[Н,Р]dt1i(3.87)=3юХ0 ;лл= -iwP0 [X,P] = wP0 •ОтсюдаX(t)=X(O)+X0;P(t)= Р(О)+ Р0 •Как мы знаем из(3.127),Сведя эти результаты вместе, мы получаем уравнения (3.155а, Ь).Для оператора уничтожения используем его определение(3.97),чтобы записатьл( )- X(t)+ ift(t) _ Х(О)+ ift(O) Х0 + iP0 _ л(О) Хо+ iPOа t J2 J2+ J2 -а + J2Решение для упражнения3.101.Из уравнения (3.155с) мы знаем,что в представлении Гейзенберга оператор смещения преобразует опе-лратор уничтожения а в функцию от негоствии с упр.3.94f (ал) = ал + Хa.J2+iPа.• В соответ-это означает, что данная эволюция в представленииШрёдингера должна преобразовывать вакуумное состояниеное состояние а с собственным значением О-- в один из собственныхвекторов того же самого оператора с собственным значениемРешение для упражненияа) Используя а=х+iPa.J2а.собственХ+iPa.J2а.3.102и уравнение(3.100),запишем:127ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(Р3.103)=(лtехр а.а-* л)а а.Ь) Поскольку коммугаторпредставляет собой число, мы можем использовать формулу Бейкера-Хаусдорфа-Кэмпбелла (А.54) и получить(3.158).с) Раскладываем экспоненту в ряд Тейлора:Последнее равенство здесь верно потому, что, поскольку аоператор уничтожения, все члены суммы обнуляются, за исключением п =О.Из этого следует, чтоРешение для упражнения3.103.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
