Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. l'V) = АIЛ, µ + 1i), где А - некотораяконстанта.НамнужнонайтиА.Дляэтогоотметим,что('VI = (л.µ1t: = (л.µI i_, и вычислим:157ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯлл('Vl'V) = (ЛµIL_L+ IЛµ)упр.4.18(с)=л(ЛµIL2лл-L; -пLZ 1Л.µ) = Л.-µ 2 -µп(в последнем равенстве мы воспользовались тем, что IЛµ)ственное состояние и-это собf 2 , и fz ). Однако же(Р4.13)поскольку собственные состояния оператора момента импульса нормированы. Отсюда находим А= е;а ~Л.-µ(µ + n) , где а - произвольноедействительное число.Подобным образом для понижающего оператора имеет месторавенство 1<р) = i_ IЛ.µ) = В 1Л., µ - n) .
Тогда, с одной стороны,(<i>l<i>) = (Лµlf)_ IЛ.µ) = (Л.µ1 i 2 -Ц + пi, IЛµ) = Л.-µ 2 + µпа с другой-(<i>l<i>) = IBl 2 (Л.,µ- nl Л,µ- п) = IBl 2 •(Р4.14)Следовательно, В= eia ~Л- µ(µ - n) .Решение для упражнения 4.21. Рассмотрим оператор i 2 -Ц.Состояние 1Лµ) - его собственное состояние с собственным значениемЛ - µ 2 • Но этот оператор равен Ц + i~ и потому неотрицателен (упр.А.87), так что все его собственные значения тоже должны быть неотрицательными (упр.
А.72).Решение для упражнения4.22.Нам известно из упр.4.20,чтосуществование состояния IЛµ) подразумевает, через многократное применение повышающего оператора, существование цепочки состоянийIЛ,µ + jtz),гдеj-неотрицательное целое число. Но тогда в некоторойточке(µ+ jtz) 2 станет больше Л, а это, как мы выяснили в упр.4.21, невозможно. Цепочка разрывается только в том случае, если существуеттакое значение j (мы обозначим его j 0 ), что i+ Л, µ + j 0 n) =О .
Согласноуравнению (4.32), так происходит, если Л. = [µ + j 0 n][µ + (j0 + l)n].1Сходным образом, цепочка состояний, генерируемых понижающимоператором IЛ,µ - kn), разрывается только в том случае, если существуетk 0 , что Л. = [µ-kon][µ-(ko + l)n]. Удовлеттакое неотрицательное целоеворение условий разрыва обеих цепочек одновременно дает нам[µ + j 0 n][µ + (j0 + l)n] = [µ -kon][µ-(ko + l)n].158РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫОбозначивµ+j/z =х иµ- (k 0 + l)tz4=у, перепишем данное уравнение какx(x+n)=y(y+n).Поскольку должно выполняться условие х >у, уравнение имеет толькоодно решение: у = -(х+ tz).Это означаетµ-Clca + 1)n =-µ-(j0 +1)nилиµ = ko- jo2n(Р4.15)'из чего, в свою очередь, следует, что'А=[µ+ jon][µ + Ua + l)n] = ko; jo ( ko; jo + 1) п2.Определив l = ko + jo , мы видим, что Л = tz2l(l + 1), где число l должно2быть неотрицательным полуцелым.Теперь мы можем переписать (Р4.15) какmnдля заданного l,µ=чения только от - l до l с шагом 1.Это означает, чтоµ = (l - j 0 )n = (-l + k 0 )n.где т может принимать знаРешение для упражнения 4.24.
ПосколькуIZ'm') -собственноесостояние f 2 с собственным значением А= n2 l'(l' + 1) и ix коммутирует с f 2 , состояние ix l l'm') - это собственное состояние f 2 с тем жесобственным значением. Действительно, имеет место равенствоПоскольку собственные состояния L2 образуют ортонормальныйбазис, ix ll'm') должно быть ортогонально собственным состояниямL2 с другими собственными значениями.Те же рассуждения применимы ко всем остальным элементамматрицы.4.25.
Так как состояние llm) и ix , можем записатьРешение для упражненияственное состояние иf2 ,это соб159ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ(lmlf2 ll'm') = h2 l'(l' + l)(lmll'm') = h2Z(l + l)ou,omm';(Р4.16)(lmlf, ll'm') = hm' (l,mll',m') = hmou,Omm'.(Р4.17)Действие повышающих и понижающих операторов на состояниеIЛm) известно из упр.4.20:(lml i± ll'm') = h~l'(l' + 1)- т'(т' ±1) (lmll', т' ±1) == h~l'(l' + 1)- т'(т' ± lЩ, 1 .om,m'±l.(Р4.18)Наконец, х- и у-компоненты момента импульса могут быть записаны как линейные комбинации повышающего и понижающего операторов в соответствии с определениемf = L+ +L_.2хлLу(4.31)последнего:(Р4.19),= L + -L-(Р4.20)2iи отсюда(lmlix ll'm') == ~[ ~l'(l' + 1)-т'(т' + lЩ, 1 .om,m'+l + ~l'(l' + 1)- т'(т' -lЩ, 1 .om,m'-i];(lmlfyll'm')=h= 2i [ ~l'(l' + 1)-т'(т' + lЩ, 1 ,om,m'+l - ~l'(l' + 1)- т'(т' -lЩ, 1 .om,m'-i JРешение для упражнения(Р4.21)4.27а) Согласно постулату об измерениях, возможные значения, которые может дать измерение наблюдаемого, являются собственными значениями этого наблюдаемого.
Найдя собственные знаЬ)чения матриц (4.34) и (4.35) для ix и fY, мы получим множества (1) {h/2, -h/2} и (2) {h, О, -h} соответственно.Соответствующие нормированные собственные состояния - это1)(Р4.22а)160РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ\ту=~)==_!_(l)·2J2 i ' \mу =-~)==_!_(l)2J2 -i дляLу4(Р4.22Ь)2)1m,=IH[~J im.=0)= ~UJ 1m,=-IH[-~J -(Р4.23•)L,1m, =!)=~[ +J 1"' =0)= ~UJ 1m, =-lн[-~i) - (Р4.2ЗЬ)L,Решение для упражнения4.28а) Координаты вектора ~ равны [см.
уравнение (4.lla)] (sin0соsф,sin0 sinф, cos0). Следовательно, нам необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицылL0фл= sinecosфLxл+sinesinфLYл( 4 -34)/i( •cose.+coseLz == 2sinee-iф)SШ0е'Ф• (Р4.24)-COS0Воспользовавшись стандартным методом, находим собственныезначения {1i/2,-1i/2} (ер. с упр. А.93) и соответствующие им нормированные собственные векторы(Р4.25)Ь) Используя тригонометрические тождества для косинуса и синуса~::~:~~:~л~:о(:;м sin~e •)(О 1)[22210cos%.еiф]=sш-е2пее.ф=-cos-sin-(e'222.ф+е-• )=li .=-sшесоsф;2161ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ. е -iф)(ое=-п( cos-sш-е222пе22.есi.lеcos-~I) sin%~" ~].
iф )=. iф +1е-=-COS-Slll- -1е2..п=-sш8sшф;2I li8Ф )л/jеф Lz\. е -iф)(1Оп( cos2е sш2е=2так что (( Lx), ( LY ) , ( Lz )) = ~ 1\эФ в состоянии 1iдля IJ- 0"'} аналогично.Решение для упражнения4.29.8"') •ДоказательствоСогласно уравнениям (Р4.18) и(Р4.19), находим(lml Lx llm) = (lmlLY llm) =Ои(ЛL:) =(lmlf: llm)=~(lmlf: + i)_ + i_i+ + i= llm) <r~12 Jп2=-[2l(l + 1)-m(m+l)-m(m-1)] =4п2=-[l(l+l)-m 2 ].2Такаяжеимпульса:162дисперсияполучаетсядляу-компонентамоментаРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫПоскольку в соответствии с упр.неопределенности(1.21)4.11 [Lx, LY] = itzLz,4то принциппринимает видf, llm) = mtz ,Подставив найденные неопределенности, а также (lm 1получаем:tz2tz4-[l(l+l)-m 2]2 ?.-(mtz) 244или просто[l(l + l)-m2]2?. m2.lml.Это соотношение непосредственно следует из того факта, что l?.Неравенство становится равенством при т = ± l, в этом случае<лi~) = <лi~) = tz 2 l/2.4.30. Если У (8, ф) - это волновая функция собственного состояния оператора f, с собственным значениемт, мы используем (4.25с) и записываемРешение для упражнения-itz_i_ У(8,ф) = mУ(8,ф).(Р4.26)дфРешение этого уравнения равно eimФ , умноженному на любую функцию, не зависящую от ф, т.
е. задается уравнением(4.37).4.32(4.39) становитсяРешение для упражненияа) При т =/уравнение(Р4.27)Применив повышающий оператор (4.38а) к этой волновой функции, мы находим( lll)1 8eilФ ==tzeФN1 .j(2l)![_i_+ictg8_i_JsinдФде= tzeФ NI .j(2l)! [l cose sinl-l ее' 1 ф -[ ctg8sin1 ееi/ф] ==0.163ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Чтобы проверить нормирование, посчитаем скалярное произведение (4.15Ь) состоянияlll) с самимсобой.
В расчете ниже мы заменяем переменную ингегрирования на х = cos е, агкуда dx = -sin е d0:2п п(lфl) = JJ1r;1ce,ф)l 2 sinededф=о опJ= 27tN~(2l)! sin 21 esinede =оf-l= -27tN~ (2l) ! (1- х 2 )1 dx(4.41)=1= 27tN 2(2l)!1= 47tN21221 (l!)2 .(21+1)(ll l ll)Приравняв2 2/+1 (l ')2. (21+1)!к единице, получаем уравнениес) Применив операторf 2 lll)=-1i 2 N= -1i 2 N1(4.26)(4.40).к уравнению (Р4.27), находим1 ФJ =~(2l)!r_l_i_(sinei_sin 1 e)eitФ +sin1e-12-~ei2l sine деде1-i_(l sin1ecose)eitФ -11 ~(2l)! [-.sшедеsin е дф2sin 1- 2 ееi 1Ф] =1 -(1 2 sin1-1 ecos 2 e-l sin 1+1 е)-1 2 sin1-2 e]eitФ == -1i 2 N ~(2l)! [-.1sше= -1i 2 N 1 ~(2l)! [l 2 sin 1- 2 ecos 2 e-l sin 1е-1 2 sin1- 2 е JeitФ == -1i 2 N 1 ~(2l)! [ -1 2 sin1- 2 esin 2 e-l sin 1 е Jei 1Ф == n2 N 1 ~(2l)! [ l(l + l)sin 1е ]eilФ==1i 2 l(l + 1)У;1 се,ф).d)Нам нужно вычислитьлL llm)(4.38Ь)=-(4.39)=164..
(дд )(4.39)пе-•Ф --+ictge- r;mce,ф) =дедф(l+m)'(дд)[ sin-m0 dl-m. --+ictge1 (l- m)!дедфd(cose)1-mJie-•ФN,. ]sin 21 ee•mФ.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ4Поскольку~=_д_dcos0 =-sine_д_дсоsедедсоsе'deимеет место равенствод-r;mce,ф)де+ N,1= -mctg0y;mc0,ф)+.dl-m+t.(l+m)! .sш 21sш-m е(-sш 0)d(cos0)1-m+t(l - m)!.ее'mФПри этомictge~ у;m(0,ф) = -mctg0y;mce,ф).дфСведя данные результаты вместе, получаемiУ.т (е ф) = nN-11'dl-m+l)1sin 21 eei(m-t)ф =+ т . sin-m+i еd(cos0)1-m+t(l-m)!([= пу;m-!(0,ф)~(l + т)(l-т + 1).Это согласуется с (4.ЗЗЬ).Решение для упражненияуравненияr 2 дrдrпервого члена в левой частиимеет место равенство(4.44)1д[2д- r -R-4.35. ДляElс]r)2 UEl(r)]-д [ r -д - - - _ 1- r 2 дrдrr=__!_~[r2(И~1 (r) _UEl(r))]=r 2 дrrr2= -;-~[rU~1 (r)-UE1 (r)] =r дr= -;-[u~1 (r)+ ru;1 (r)-U~1 (r)] =rU~(r)rгде штрихи обозначают производные.
Подставив этот результат в(4.44),получаем(4.46).165ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражненияв(4.46) -4.36.Приr ~О доминирующие членыr, т. е. первый и второйте, что с минимальными степенямичлены в квадратных скобках. Уравнение принимает видд2l(l + 1)-2-Иш(r) = - - 2-Иш(r);д rr(Р4.28)его решения равны либо И EI (r) ос r- 1 , либо И EI (r) ос r 1+ 1 • Первый вариант приводит к волновой функции с разрывом в точкеr=О и долженбыть отвергнут.Чтобы найти поведение Иш(r) в пределе прив соответствии сr ~ оо, запишем,(4.47),(Р4.29)Теперь доминирует максимальная степень. = ЕАп2---А K 2 rne-IO2М пr, так что (4.46) становитсяrne-кr."Это выражение удовлетворяется при к= -J-2ME /Решение для упражненияжив обе стороны на-[к2jrj=j=l+l2М-tz2-4.37.jAjrj-l+j=l+l2М 2=+l(l + 1) ~ А rj- 2~}j=l+l-Подставив (Р4.29) ви выразив Е-2к f4еr,.27tЕ 0 п(4.46),умно-tz 2 к 2= - - - , получаем:2Мf j(j - l)Ajrj- 1+j=l+l2=~ А rj-l = -к 2~n.=}j=l+l(Р4.ЗО)Л rj .)j=/+1Сгруппировав подобные члены, перепишем это какТеперь изменим индекс суммирования во втором члене согласноj' = j - 1, тогдаполучим:=( 2кJ-27tEofz2м }лjrj~1.166е2j-1=+~[l(l+1)-J(J., .,г-1+1)_]Aj'+1r_-0.(Р4.31)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫЗаметим, что, посколькуl(l + 1) - j'(j' + 1)=О приj'= l,4нижний пределсуммирования во втором члене можно заменить наj' =l + 1.Многочлен в левой части уравнения (Р4.31) равен нулю при всех значенияхr только в том случае, если обнуляется коэффициент при кажстепени r.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
