Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Используя (Р4.40), находим, чтотакой гамильтониан получается при действии на спин электрона магнитным полемв1t•=-в направлении;.yt183ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнениялн-;--;_4.64.По аналогии с упр.4.62 запишемп~-=-µ·B=-yS·B=-2ya·B=ti (л=--у В0 а,2л)-П 0-уВгr cosoot).+ Brra х cos oot == -ti (2 -yBrr cos ootП0Чтобы найти эволюцию матрицы спинового вектора, запишем уравнение Шрёдингера в матричном виде подобно(1.32):-yBrr cosoot)('l';(t)),По'1' t (t)получая таким образом(4.81).Решение для упражнения4.65.Состояниеl'lf(t)) сматрицейв стационарном базисе соответствует вектору Блоха с полярнымикоординатами(4.83),(8,ф). Во вращающемся базисе, согласно уравнениямэто состояние характеризуется матрицейчто физически эквивалентнопоэтому соответствующий блоховский вектор имеет полярные координаты184(8, ф + wt).РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияуравнения(4.81),4.66.Подставив уравнения(4.83)4внаходим(Р4.43а)(Р4.4ЗЬ)iДомножив обе стороны уравнений (Р4.43а,Ь) на еf-(J)/2соответственно иперенеся второе слагаемое из левой части каждого уравнения в правую, мы получаем(Р4.44а)(Р4.44Ь)Теперь, выразивcos rot =(ei"'1 + e-iwt) / 2,Решение для упражненияющейся волны уравнения4.67.(4.84)выводим уравнения(4.84 ).В условиях приближения вращапринимают видФr =-±ЛЧf r+±n\jli;(Р4.45а).:.i i 'l'i =2Л'lf i +2!1\lfr'(Р4.45Ь)где мы подставили Q = уВп/2.
Это такая же система дифференциальныхуравнений, как и та, что мы получим, записав уравнение Шрёдингера в"1:(t )) и гамильтониана (4.85):матричном виде для состояния l'l'Ct)) = ( "' (t)~i(t)] = _i_~( Л( Чfi(t)112 -Q-Q)(~i(t)) = _i_( Л\j!!(t)-Q~t (t) ) .-Л'lfi(t)Решение для упражнения(4.87),2 -Q'l'r(t)-Л'lfi(t)4.68. Гамильтониан, связанный с полемвычисляется через уравнение (Р4.40) как-Q) '-Лчто то же самое, что(Р4.46)(4.85).185ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения4.69.Как видно из рис.4.10,а, векторБлоха в нижней точке траектории имеет сферические координаты= О).ф(8 = 28 0 ,е е iф ] = ( sin eJ 'cos2[.Этому соответствует состояниеcoseosш-е2поэтому•prlmax= SlП28в2о(4.87)х= В2 + В202Q2 + Л 2 'zх4. 70. Эта задача эквивалентна упр.+ Л 2 • Эволюция состояния задается уравнеРешение для упражнения4.62(с) приQL= уВ =.Jn2нием (Р4.41), а вероятности получения состояний «спин-вверх» иpr1 наблюдается при sin (QLt/2)=1 (т.
е. когда D./ = :л, З:л, ".) и равно= sin 2 80 в соответствии с упр. 4.69. Например, при Л = -Q / J3pr,«спин-вниз» -уравнениями (Р4.42). Наибольшее значение2З7t... maxимеем ео= -3 ' так чтоpr,+max= -4 .Решение для упражненияа) Воспроизводя4. 71решениеупр.4.66,ноприменивcos(wt + р) = (eiыr+;p + e-iыr-;p )/2, мы получаем следующие дифференциальные уравнения для эволюции во вращающемся базисе:(Р4.47а)(Р4.47Ь)Пренебрегая быстро осциллирующими членами, находимгамильтониан вращающейся волны и раскладываем его по операторам Паули:Pz( ллН Rwл СР) =2Pz(=2-Qe;p-QcosP-insinp)Л=-Л-Qcosp+insinpл • )АлPz( Лал -Qcrxsшр .cos1-1+QcrY=22186(Р4.48)РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫлЭтот гамильтониан можно записать как HRwл (р)фиктивным магнитным полемпB=(Q/ycosp, -Q/ysinp, -Л/у).В резонансе (Л-;: -= - 2 ycr· В4с(Р4.49)= О) оно направлено горизонтально под углом-Ркосих.Ь) Гамильтониан(4.80)принимает видН = _!!_y[B0 &z + Вгr&у cos(wt + р)]""2""!!_(2-iyBгr(Р4.50)iyBгr cos(wt+P))'-Q 0cos(wt + р)Q0эволюция во вращающемся базисе(Р4.51а)(Р4.51Ь)а гамильтониан вращающейся волны-лп( л-i.Qei~)Н Rwл СР) ""2 -i.Qe-i~-Л =п(лi.Qcosp-nsinp)=2 -i.Qcosp-Qsinp-Л=(Р4.52)n(Лcrzлл • АлА)=2-Qcrxsшf-'-Qcry cosf-'.Соответствующее фиктивное магнитное полеВ= (Q/ ysinp,.a/ усоsр,-л /у).(Р4.53)В резонансе оно направлено горизонтально под углом -Р к осиу, или л/2-Р к оси х.В обоих случаях-задается уравнениемкак в (а), так и в (Ь)-амплитуда поля(4.86).Мы видим, что изменение полярного угла и фазы амплитудыrf-поля имеет во вращающемся базисе аналогичный эффект: оноизменяет полярный угол фиктивного магнитного поля.187ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения4.
72. В этом случае гамильтониан (4.80)становится диагональным:(Р4.54)так что дифференциальные уравнения для эволюции имеют вид\jf i = i_(Q 0 + уВп cosrot + P)'Jf i;2(Р4.55а)\jf i = _i_(Q 0 + уВп cosrot + IO'Jf i.2(Р4.55Ь)Такая эволюция может изменить только квантовые фазы компонентов состояния, соответствующих базисным векторам «спин-вверх»и «спин-вниз», но не их абсолютные значения.Решение для упражнения4. 73.Чтобы определить оператор,задаваемый л/2-импульсом с произвольной фазой р, воспользуемсярезультатом упр.i "е--HRWA (~)thiQt4.71, а)"-ii·a=е 2'ii = (cos р, - sin р, О) -гдепри Л= О:единичный вектор. Теперь, с учетом упр. А.
93,находим:i .е--HRWA (~)th= cos(Qt=(лл=cos(Qt / 2)1+isin(Qt/2)ii ·а=;2{~ ~)+isin(Qt /2)[ cosp(~ ~ )-sinp(~ ~i) ]=cos(Qt /2)isin(Qt /2)(cosP+isinIO)=isin(Qt /2)(cosP-isinp)cos(Qt /2)= ( cos(Qt / 2) .i sin(Qt / 2)е-Фi sin(Qt / 2)еФ).cos(Qt / 2)Конкретно в применении к л/2-импульсупринимает вид188{!lt =л/2) этот результатРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ4(Р4.56)Применим последовательность из двух таких импульсов с фазамиО и р к состоянию «спин-вверх».
В результате получимтакчто=cospri2окончательная<Р / 2). Случай Рвероятностьсостояния«спин-вниз»= О соответствует двум л/2-импульсам, примененным подряд безо всякого фазового сдвига и образующим потомуодин л-импульс, так что спин переворачивается:pri = cos 2 О=1.Напротив, сдвиг фазы на р = л означает, что фиктивные магнитныеполя (Р4.49) во время первого и второго импульсов имеют противоположные направления, поэтому прецессия при этих импульсах будетидти тоже в противоположных направлениях. Следовательно, частицавернется в состояние «спин-вверю>:Решение для упражненияpri = cos 2 (7t / 2) =О.4.
7 4а) Применение л/2-импульса к состоянию «спин-вверх» преобразует его в состояние со спином, направленным вдоль оси у.После выключения rf-поля фиктивное магнитное полестанет параллельно осиz,(4.87)а блоховский вектор начнет прецессировать вокруг этой оси с частотой -д, так что его полярныйугол в момент времени t будет равен 1 л/2+ дt. Декартовыкоординаты этого вектора1Обратите внимание на знак: фиктивное поле В направлено вдоль отрицательнойz при положительном д.
Это означает, что при положительном д полярный уголосивектора Блоха увеличивается со временем. Все происходит наоборот по отношению к4.62, а), где поле направлено вдоль положительного направления оси z, а полярупр.ный угол вектора Блоха со временем уменьшается.189ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯR=( cos(%+Лt }sin(%+Лt }о )=(-sinЛt,cosЛt,O).Поскольку R= (б-) (упр. 4.48), а магнитный момент связан соспином выражениемлпу л.:µ = yS =-а2, имеет место равенство(µ) = ny R = пу (- sin Лt, cos Лt, О) .22Ь) Как мы знаем из упр.4.65,блоховские векторы в стационарном и вращающемся базисах связаны преобразованием поворота на уголwt вокруг оси z.В пункте а) мы выяснили, что блоховский вектор во вращающемся базисе прецессирует с частотой-Л вокруг этой оси, поэтому частота прецессии в стационарном+ w = fl0 , а значит, полярный угол в момент времени t равен л/2 - f! 0 t.
Следуя логике пункта а), находим векторбазисе равна -Лмагнитного момента:Решение для упражнения4. 75.Воспользовавшись результатомупр. 4.74(а), мы усредняем по всем отстройкам, чтобы найтиПри вычислении интеграла для (µх) мы учли тот факт, что подынтегральное выражение представляет собой нечетную функцию. Привычислении (µУ) мы использовали результат упр.
Г.9(с).Решение для упражнения4. 76.Рассмотрим сначала динамикублоховского вектора отдельного спина, следуя логике рассуждений,примененных для упр.4.74,а). В момент времени t 0 , дол-импульса,полярный угол этого вектора фл-импульс поворачивает спин навектор с полярным углом ф'190(t 0 )(t 0 )равен л/2+Лt0 • Упомянутый180° вокруг оси х, давая= -л/2 -в результатеЛt0 • Этот вектор продолжаетРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫпрецессировать с частотой -Л, а значит, его полярный угол при tравен фCt)= -л/2Лt0-+ ЛСt - t 0 )= -л/2-2Лt0+ Лt,4> t0а декартовы координаты таковы:RCt)=( cos[-~+ЛCt-2t0 )Jsin[-~+Л(t-2t0 )Jo )==Csin ЛСt - 2t0 ),-cos ЛСt - 2t0 ), О).Теперь, проинтегрировав у-компонент этого вектора по всем отстройкам, находим по аналогии с предыдущим упражнением, что(µх)=О;i(µУ)=- е[Л 0 (t-2t0 )] 24(µ,)=О.Решение для упражнения1.4. 77Действие импульса площадью л/2 на состояние «спин-вверх»преобразует его в состояние со спином, направленным вдольоси у, так что сферические координаты блоховского векторасоставят Се = л/2, ф = л/2).
После этого радиочастотное полевыключается, вследствие чего фиктивное магнитное поле указывает вдоль осиz. За время t блоховский вектор провернется Сврезультате прецессии) вокруг этого поля на угол Лt, после чегоего координаты станут се= л/2, ф = л/2 + Лt). То есть блоховскийвектор будет располагаться в плоскости х-у под углом л/2+ Лt коси х. Второй импульс площадью л/2 повернет его на прямойуголосивокруг оси х по направлениюz,к отрицательному концутак что получившийся в результате блоховский векторбудет располагаться в плоскостиx-z под углом л/2 + Лt к оси х,+ Сл/2 + Лt) = л + Лt по отношению к положительному направлению оси z. Следовательно, сферические координаты конечного блоховского вектора составят се = л + Лt,т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
