Решения к учебному пособию - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238819), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ch r2 1+ е=22{1 ехр[-а 2 thr].~~2Далее, раскладывая правую часть согласноthr] =L,-,~ a 2 m[ -thr]m2m=O m.2ехр [ -а 2,получаемI(nlSCr)IO)~=~n=OJni.а:21[-thr]mChr m=O2m.f•(РЗ.117)Поскольку данное уравнение верно для всех значений а, длякаждого п должно соблюдаться следующее: член суммы в левойчасти, содержащий а", должен быть равен соответствующемуему члену, содержащему a 2 m, где п(2mlS(r)IO)~=~.J2m!= 2m, в правой части.Поэтому1 [-thr]m azm .chr2m!Этот результат эквивалентен(3.191), потому что одномодовое сжатое состояние содержпr только члены с четным числом фотонов.Решение для упражнения3.117а) Используя волновую функцию (З.18ба) двумодового сжатоговакуумного состояния, находим:140РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ3(РЗ.118)-= J J '1'а(Хл)'1'а(Хв)'Рsq2(Хл,Хв)dХлdХв =1-=~L J ехр[ (Х -aJ2)2+(X -aJ2)2+X2e2r+X2e-2r]лв 2+dХлdХв=1[ Х 2 +Х 2 -2.fia(X +Х )+4а 2 +X 2e2r +X 2e-2r]= ~ L Jехр - лвл ;+dXл dX в =1[ Х 2 +Х 2 -4аХ +4a 2 +X 2e2r+X 2e-2r]=~LJexp++ 2+dX_dX+ =--J1[ - 2 а 2]-_ -ехр7tехр[ - x=c1+e 2r)]dX -J2-- -ехр[ - x:c1+e-2r)-4aX+]dX -2+24а 2 112х+2(1 + е _2r) - 4аХ+ + 4а 2 - --2= - ехр[ -2а2 ]~ 7tJexp l+e-r l+e-r dX+=7tl+e 2r _2r12а 2 ] ~--ех__п_[ -2а 2 + l+e-2rl+e2rр- 7t1=-ехр7t[-2e-2 rl+e-2rа-2[ --аl+e 2rех[- 1 +е -2r ( Х - 2 а ) 2] dX 2+ l+e-2r+-2 ]~7t- - ~7t =2=ехр[~аl+e2r ]=ехр+<оLрl+e2rl+e-2r4(er +e-r)2 =2] -1- .chrВ определенный момент этого преобразования мы изменилипеременные интегрирования с (Хл, Х8 ) на (Х+, Х_).
Соответствующий якобиан равенJ=дХ+дХ_дХАдХлдХ+дХ-дХвдХв1=1J2. J2.11=1.J2. - J2.141ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯЬ) Теперь разложим когерентные состояния в левой части пофоковскому базису и вспомним, что вклад вS2(r)IO,O)вносяттолько члены с равным числом квантов. В этом случае приведенный выше результат принимает вид] 1-2[a 2nл2 =е-а L,(п,nlS2 (r)I0,0)2,.
а 2 1 =ехр Ch rе+1·nn=Oилил=a2nL,(п,nlS2 (r)I0,0)1 =ехрn.n=O[-l+e2•· 2l2r а =l+e= ехр[а 2 th r]-1-.chrс) Разложив экспоненту в правой части уравнения выше в степенной ряд по а, имеем1 = а2"a2nл=L,(n,nlS2(r)I0,0)1 th" r.1 =-L,-n.n=OСЬ rn=On.Теперь приравняем члены с одинаковыми п друг другу и получим уравнение(3.193).Решение для упражненияа) Из(3.191)3.118имеем:1 ( h )2m (2m)!Pr - - - t r2 2m(m!) 2 'т - chrтак что среднее число квантов равно(2m)'1 ==(m)=L,mprm=-L,2m(thr) 2m 2m ; 2 .2 (m.)Chr m=Om=O(Р3.119)Это значение можно вычислить, написав)2m (2m)!~(~122mch r = ch r ~ prm = ~ thr2 (m .)m=Om=Oи взяв производные от обеих сторон поch r = 1 /142.J1 - th2r , находим(Р3.120)thr.А так какРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫdchrdthr--=сьз rt h r,3(РЗ.121)и, следовательно,сhз rthr= ~ 2m(thr)2m-1 (2m)! (Pз~20J(m)chr~22,,,(m!) 2thrиз чего вытекает, что (m) = ch 2 rth 2 r = sh 2 r.
А чтобы найти дисперсию числа квантов, вычислим производные от обеих сторон(РЗ.120) еще раз:ch 3 r + 3 ch 5 r th 2 r == ~ (2m)(2m-l)(thr)2m-2~(2m)! = (\m2)-(m))chr22 ,,,(m!) 2th 2 rтак что имеем окончательно, чтоЬ) Аналогично из (З.193) находим, чтотак что1(n)= In prn = 2- In(thr) 2"n=Och r n=O~~и~~ch 2 r= Ich 2 r prn = ICthr) 2 m.n=On=OВзяв производные от обеих сторон поthr,получаем с использованием (РЗ.121)~21n)ch 2 r2ch 4 rthr= L2n(thr) 2"- 1 = \,n=Oth rследовательно, (n) = ch 2 rth 2 r = sh 2 r.
Вычисляя производныееще раз, имеем:143ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ~2ch 4 r+8ch 6 rth 2 r= IC2n)(2n-l)(thr) 2 "- 2n=Oтак что=(4(n 2 )-2(n))ch 2 r2th r,ГЛАВА Р4РЕШЕНИЯК УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫРешение для упражненияl+4.1а) Взяв скалярное произведение выражения в правой части уравнения(4.4)с произвольным координатным собственным состоянием f ') , получим1(r'{III 'l'(r)lr)dxctydz)=((x'I ®(y'I ®(z'l)(III \jf(X,y,z)lx) ®ly)®lz)dxdydz )(~)(2.4) _ _ _= J J J 'fl(X,y,z)(x'lx)(y'ly)(z'lz)dxdydz =---= J J J 'fl(x,y,z)8(x-x')8(y-y')8(z-z')dxdydz=='fl(X',y',z'),так что равенство(4.3) выполняется.Ь) Подставив выражение(4.4)вместо1'1')и его аналог вместоlq>)в('1' 1<р), находим+оо +оо +оо+оо +оо +оо('l'lq>)= J J J J J J 'l'*(x',y',z')q>(x,y,z)(x'lx)(y'IY)(z'lz)dxdydzdx'dy'dz'=+оо+<><>+«>+оо +оо +оо= J J J J J J 'fl*(x',y',z')q>(x,y,z)8(x-x')8(y-y')8(z-z')dxdydzdx'dy 'dz'=---= J J J 'fl*(x,y,z)q>(x,y,z)dxdydz.145ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯРешение для упражнения4.2.Согласно определению скалярногопроизведения для пространств тензорных произведений,=1e*(xpx+YPy+zp,)=(27tn)З/2__l__ e*"ft(27tn)З/2Решение для упражненияследует из упр.4.3.
Утверждение данного упражнения2.26 и определения собственного состояния вектораlii)= liiJ®lpY )®lii,). Однако мы можем также доказатьимпульса какего явно, записав по аналогии с(4.2),чтор~ р) = р~ Р) ;(Р4.1)11л21-) Pz21-)Р •Р =PzРешение для упражненияV(r) =м2 2ю r24.4.М ю2 х2М ю2 у222---+так что условие упр.Потенциал разделИм:М ю2 2 2+--22.26 выполняется. Следовательно, базис энергетических собственных состояний для трехмерного гармоническогоосциллятора состоит из состояний 1 пх 'пу 'nz) ' где 1 nx,y,z) - фоковскиесостояния гармонических осцилляторов, связанных с отдельнымиосями. Энергия состояния 1пх, пУ,n,),согласно упр.2.26, такова:+п +п +~].,+_!)]=nю[пЕп п п =nю[(пх+_!)+(пУ+_!)+(п2222Хх• У''УZ3] , где2[Поэтому возможные собственные значения энергии равны nю п + п-любое неотрицательное целое число.
Эти собственные значениявырождены для п ~состояния1461. Например, при п= 1 вырожденность тройная:11, О, О), IO, 1, О), IO, О, 1) имеют одинаковую энергию52-nю.РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫВырожденность энергетического уровня с заданным пное число комбинацийп(n , п , п z), таких что п =ухх4это пол-+ п + пz . Найдем его.уЗначение пх может быть любым целым числом от О до п. Для заданного п х значение п у может быть любым целым числом от О до п(всего п+ 1- пх-пхвариантов).
Наконец, если выбраны и п, и п, остаетсяхтолько одно значение, которое может принятьуnz, оно равно п -пх-пУ.Соответственно, вырожденность рассчитывается следующим образом:I(n+l-nx)=(n+l) 2 _ п(п+l) = (n+l)(n+2).22nx=OРешение для упражнения4.5а) Утверждение вполне очевидно с учетом(3.44 ), но если мы попытаемся доказать его строго, то вывод получится довольно длинным.Сначала предположим, чтоl'V)- разделимое состояние: l'V) = l'V) ®® l'V) ® l'VJ Затем, сосредоточившись на х-компоненте импульсаи воспользовавшись уравнениями(2.4) и (2.7), получим(rlf>xl'V) =((xl®(yl®(zl)(px®l®l)(l'Vx)®l\j/Y)®l\j/z))=(3.44)=(xlf>xl'Vx)\Yl'Vy)\zl'VJ == -iп а: (х1'Vх) \у 'V у) (z 'V,) =11= -iп а: ((xl ®(YI @(zl)(l'V х )®I 'Vy )®l'VJ) == -in~\jl(r).дхЕсли же состояниеl'V)неразделимо, то вспомним, что любойэлемент пространства тензорного произведения может бытьзаписан как линейная комбинация1\jl;) -1\jl) = L \jl;),1где каждоеiразделимое состояние.
Линейность оператора импульсаи скалярного произведения позволяет нам записать(rl Рх 1'V) =L (r 1Рх1 'V;) =-in L, ~'V;(r) = -in~\jl(r).iiдхдхЬ) Воспользовавшись результатом пункта (а), находим(rlPl'V) =((rli>x l'V),(rli>Y l'V),(rli>z l'V) )==-iп (~ 'V(r), ~ 'V(r), ~ 'V(r)),дхдудz147ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯчто можно записать кратко как -inV\jf(r).с) Гамильтониан представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий:лН"'2=рхлz+р"'2+рУ2Мzл+ V(r) .Используя результат упр.3.22,по аналогии с пунктом а) находим, что в координатном базисеЗаписав стационарное уравнение Ш рёдингера Н1'1') =Е 'V)lвкоординатном базисе и подставив полученный выше результат,получаем уравнение(4.9).Решение для упражнения4.6.
Воспользовавшись соотношениями(4.11) между декартовыми и сферическимидхдедхдфдудудудrдедфдхдrJ=дz-дrдz-де=дz-дфsinecosфrcosecosф-rsinesinф= sinesinфrcosesinфrsinecosф-rsineоcoseкоординатами, находим== r 2 cos 2 esinecos2 ф+ r 2 sin 3 esin 2 ф + r 2 cos 2 esinesin 2 ф + r 2 sin 3 ecos 2 ф == r 2 cos2 esine+ r 2 sin 3 е == r 2 sine.Решение для упражнения4. 7Ь) Нужно доказать, что для любых двух пар состоянийв®vrl'Р 1 )ии1'111)IRI) ®IR2)® l'Р2)равноалгебраическомупроизведениюскалярных(R 1 IR 2) и ('11 1 1'112), задаваемых уравнениями (4.15).произведений148IR 1)и у соответственно скалярное произведение состоянийРЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫПоскольку волновые функции состоянийведениям R1IR 1)® l'11 1 )4равны произ./r) '11 12. (0, ф), воспользуемся (4.13) и запишем27t((R1 l®(Y1l)(l~)®IYJ)=л00JJJR;(r)Y;(e,ф)~(r)Y2 (0,ф)r 2 sin0drd0dфо о оЭто то же самое выражение, которое получится при перемножении правых частей двух уравненийРешение для упражненияимпульса определяется как4.8.(4.15).Например, х-компонент моментаix = ур, -zpY .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
